常系数线性常微分方程

常系数线性常微分方程第一页，共四十八页，2022年，8月28日常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第六章第二页，共四十八页，2022年，8月28日二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.第三页，共四十八页，2022年，8月28日2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为第四页，共四十八页，2022年，8月28日3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第五页，共四十八页，2022年，8月28日小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.第六页，共四十八页，2022年，8月28日若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:第七页，共四十八页，2022年，8月28日例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第八页，共四十八页，2022年，8月28日例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解第九页，共四十八页，2022年，8月28日例5.解:特征方程:即其根为方程通解:第十页，共四十八页，2022年，8月28日例6.解:特征方程:特征根为则方程通解:第十一页，共四十八页，2022年，8月28日内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.第十二页，共四十八页，2022年，8月28日思考与练习求方程的通解.答案:通解为通解为通解为第十三页，共四十八页，2022年，8月28日思考题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为第十四页，共四十八页，2022年，8月28日常系数非齐次线性微分方程一、二、第六章第十五页，共四十八页，2022年，8月28日二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法第十六页，共四十八页，2022年，8月28日一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为

m

次待定系数多项式第十七页，共四十八页，2022年，8月28日(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解第十八页，共四十八页，2022年，8月28日例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为第十九页，共四十八页，2022年，8月28日例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为第二十页，共四十八页，2022年，8月28日例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日于是所求解为解得第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日第一步利用欧拉公式将f(x)变形第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m次多项式.第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日小结对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为第三十页，共四十八页，2022年，8月28日例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)

设第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日2.

求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日振动问题当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日例2.解:由例1知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率(仅由系统特性确定)第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:n>k临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征第四十页，共四十八页，2022年，8月28日(n<k)小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日(n>k)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日例3.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为例1中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动当p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.第四十六页，共四十八页，2022年，8月28日求电容器两两极板间电压例4.

联组成的电路,其中R,L,C为常数