第四章导热问题数值解法

第四章导热问题的数值解法数值解法有限差分：物理概念明确实施方法简便边界元法：将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解有限元法：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值§4-1导热问题数值求解的基本思想数值求解基本思想：

把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。yxnNM§4-1导热问题数值求解的基本思想具体作法：1）建立控制方程及定解条件2）区域离散(连续域离散成不连续节点)3）建立节点物理量的代数方程4）求解代数方程组5）解的分析前处理后处理xyxynNmM(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)§4-2稳态导热的有限差分法研究问题：二维、矩形、无内热源、常物性、稳态导热。1区域离散节点：（m,n）空间步长：△

x，△y当△

x=△y均匀网格单元，控制容积←→（m，n）网格线：△x，△y任意2建立节点物理量的代数方程两种方法物理法（能量守恒）数学法1）内节点（m，n）由能量守恒：净导入微元体热量=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)由能量守恒：净导入微元体热量=0时：2）边界节点a）平直边界上的节点（m，n）净导入（m,n）单元体热量由能量守恒：对流流入（m,n）单元热量+=0xynm(m,n)(m,n+1)(m,n-1)(m-1,n)h,tfb）外部角点（m，n）净导入（m,n）单元体热量由能量守恒：对流流入（m,n）单元热量+=0xynm(m,n)(m,n-1)(m-1,n)h,tf时：xynm(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)(m,n+1)(m,n)c）内部角点（m，n）净导入（m,n）单元体热量由能量守恒：对流流入（m,n）单元热量+=0h,tf时：3

代数方程的求解求解方法直接：（高斯消元）迭代：（高斯—赛德尔迭代法）迭代法：假设初值，迭代初场，重复迭代判据：当停止迭代网格的无关性1.判断2.在其它条件相同的情况下，判断下列哪种情况先达到热平衡3.在其它条件相同的情况下，判断下列哪种情况先达到热平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.试述Fo,Bi的物理意义。λ1λ2t3t2t1δδxtδδxt0h,tfh,tfδδλ1，λ2谁大？§4-3非稳态导热的数值解法1区域离散化（空间、时间）x为空间坐标，将区域划分N-1等份，得N个节点。

i为时间坐标，将时间坐标上计算域划分I个节点，I-1等份。xτiInN(n,i)(n,i+1)(n,i-1)(n+1,i)(n-1,i)一维、非稳态时间步长2建立节点物理量的代数方程物理法——热平衡法非稳态的离散有三种格式向前差分向后差分中心差分以一维问题为例内部节点：净导入n的热量=内能增加△xn-1nn+1△y1左侧：右侧：净导入n的热量：内能的增加相应净导入热量向前差分向后差分中心差分内部节点：净导入n的热量=内能增加△xn-1nn+1△y1若内能增加项选前差格式，净导热量选i层为“显式差分格式”——一旦i时层上个节点的温度已知，可立即算出（i+1）时层上个内点温度，不必求解联立方程式。其优点是计算工作量小缺点是对时间步长及空间步长有一点限制若内能增加项选前差格式，净导热量选（i+1）层△xn-1nn+1△y13稳定性判据步长限制——稳定性判据对一维、非稳态、显式格式n=1,2,3…N-1隐式格式的缺点是计算工作量大优点是对步长没限制，不会出现解的震荡现象上式中，已知的是i时层的值，未知量有3个：因此，不能直接由上式立即算出之值，而必须求解（i+1）时层的一个联立方程才能得出（i+1）时层个点温度；称为隐式差分关于△x及△τ的选取

原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但机时、内存增加，此外△τ与△x之间的关系受到显式格式稳定性影响

物理意义：点n上i+1时刻的温度是在该点i时刻温度的基础上计及了左右两邻点温度的影响后得出的。如两邻点的温度保持不变，合理的情况是：i时刻点n的温度越高，则其相继时刻的温度也较高；反之，i时刻点n的温度越低，则其相继时刻的温度也较低。在差分方程中要满足这种合理性是有条件的，即上式中

前的系数必须大于或等于0。即：对边界节点的限制△xN-2NN-1xh,tf为满足稳定性判据，则：网格模型温度场计算结果

1.判断2.在其它条件相同的情况下，判断下列哪种情况先达到热平衡3.在其它条件相同的情况下，判断下列哪种情况先达到热平衡λ1=236w/mK;ρ=2710ke/m3;Cp=902J/kgK。λ1=39.2w/mK;ρ=7570ke/m3;Cp=470J/kgK。4.试述