常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程初值问题的数值解法第一页，共二十二页，2022年，8月28日问题的提出数值求解方法第二页，共二十二页，2022年，8月28日6.1欧拉方法

欧拉公式与改进欧拉公式算法：第三页，共二十二页，2022年，8月28日选择不同的数值积分公式来求近似值就得到初值问题的各种数值解法1.欧拉公式这称为欧拉公式第四页，共二十二页，2022年，8月28日2.后退欧拉公式这称为后退欧拉公式后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。第五页，共二十二页，2022年，8月28日例6.1以

h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9000000.9093629.362x10-3………..….….立表(见表6-1（书121页）)第六页，共二十二页，2022年，8月28日

梯形公式与改进欧拉公式3.梯形公式---梯形公式也是隐式单步法公式图1梯形公式

第七页，共二十二页，2022年，8月28日用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭代计算，即采用下式(1)(2)第八页，共二十二页，2022年，8月28日4.改进欧拉公式这称为改进欧拉公式第九页，共二十二页，2022年，8月28日例6.2仍取步长h=0.1，采用改进欧拉法重新计算例6.1的常微分方程初值问题。(见表6-2（书125页）)这时改进欧拉公式为解xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9095240.9093621.363x10-4………..….….立表第十页，共二十二页，2022年，8月28日6.2计算公式的误差分析

定义6.1

若yi+1是yi=y(xi)从计算得到的近似解，则称y(xi+1)－yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差。

定理6.1

若单步法yi+1=yi+h(xi,yi,h)的局部截断误差为O(hp+1)，且增量函数(x,y,h)关于y满足李普希兹条件，即存在常数L>0，使对成立不等式则其整体截断误差y(xi)－yi=O(hp)第十一页，共二十二页，2022年，8月28日截断误差的估计(基本假设：yi

=y(xi))设y(x)C3[x0,b],则（1）对欧拉公式，有因此，欧拉公式的局部截断误差为O(h2)（2）对后退欧拉公式，有因此，后退欧拉公式的局部截断误差为O(h2)第十二页，共二十二页，2022年，8月28日（3）对梯形公式，注意到其公式可改写为故由式（6-8）和（6-9）得因此，梯形公式的局部截断误差为O(h3)第十三页，共二十二页，2022年，8月28日（4）对改进欧拉公式，有而由，故有与式（6-7）比较得y(xi+1)－yi+1=O(h3)因此，改进欧拉公式的局部截断误差为O(h3)

第十四页，共二十二页，2022年，8月28日

定义6.2

若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法为p阶精度，或称该方法为p阶方法。由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯形法与改进欧拉方法为二阶精度。第十五页，共二十二页，2022年，8月28日6.3龙格-库塔方法由中值定理，有因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜率f(,y())进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。第十六页，共二十二页，2022年，8月28日

二阶Rung-Kutta公式问题：建立二阶精度的计算格式形为在y(xi)=yi的假设下，有故解第十七页，共二十二页，2022年，8月28日变形欧拉公式根据格式为二阶精度，即y(xi+1)－yi+1=O(h3)比较两式系数得而

系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式。当令1=1/2时，解得2=1/2

，a=b=1，即为改进欧拉公式。若令1=0，解得2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式第十八页，共二十二页，2022年，8月28日

四阶R-K公式每一步需计算的f值的个数1234567n8精度阶1234456n-2

1965年，Butcher研究发现显式R-K公式的精度与需要组合的斜率值的个数具有如下关系

可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通常选用如下四阶格式经典R-K公式第十九页，共二十二页，2022年，8月28日这时经典R-K公式为

例6.3取步长h=0.2，采用经典R-K法计算例6.1的常微分方程初值问题。取h=0.2计算得到表6-4(书133页）。与例6.1和例6.2比较可见，用经典R-K法计算得到的解比用欧拉法和改进欧拉法所得到的解精确得多。解第二十页，共二十二页，2022年，8月28日

步长的自动选择对于

p阶精度的计算格式，当取步长为h

时，记为从y(xi)计算得到的y(xi+1)(xi+1=xi+h)的近似解，则有为便于进行事后误差估计，实际计算时通常采用步长减半算法。第二十一页，共二十二页，2022年，8月28日记，则对给定的精度要求，可根据按如下方式调整步长：（1）若