高二物理竞赛功和能课件

第3章功和能

第3章功和能本章主要内容：1、理解功的概念以及保守力的功的特点2、理解势能的概念，了解势能与保守力的关系3、掌握质点及质点系的动能定理

4、掌握机械能守恒及能量守恒定律3.1

功保守力3.1.1、功（work）由所做的功∶1、外力对质点的功元功：直角坐标下：力对空间的积累状态量？的变化

？2、多个力作用时的功（对质点）合力对质点所做的功，等于每个分力所作的功的代数和。（1）功是标量（可正、可负、可为零）（2）功与路径有关，是过程的函数（过程量）（3）功是力对空间的积累（4）功的单位为焦耳（J）说明例已知质点在力的作用下从（0，0）逆时针运动到（R，R）。

求力所作的功。解：3.1.2、几种常见力的功1、弹簧弹力的功弹簧作用在质点上的弹力为：物体由x1

移动到x2

处时弹性力所作的功为：弹簧伸长时，弹力作负功；弹簧收缩时，弹力作正功。 弹簧的弹力做功只与始、末位置有关，与具体路径无关。2

重力的功

作用于质点上的重力

位移元在由P1到P2的过程中重力做功为:重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。质点下降时重力做正功，质点上升时重力做负功。3、万有引力的功m在M的引力场沿其椭圆轨道由ra移到rb，引力对m

作的功.讨论①万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。②轨道为圆形时，A=0.4

摩擦力的功

质量为m的质点，在固定的粗糙水平面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到末位置P2，路径长度为s，如图所示。由于摩擦力的方向总是与速度的方向相反。所以元功质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为:摩擦力的功不仅与始、末位置有关，还与具体的路径有关。

3.1.3、保守力与非保守力特点：作功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关．1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等保守力的环流等于零。3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的功不为零。这种力为非保守力。

如摩擦力、冲力、火箭的推动力等。2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。证明：平均功率：瞬时功率：3.1.4、功率(power)表示作功快慢的物理量定义：功随时间的变化率.SI单位:焦耳/秒(瓦特)3.2势能3.2.1、势能(potentialenergy)保守力都具有做功与路径无关而仅取决于始末位置的特点：保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有关。把这种蕴含在保守力场中与物体位置有关的能量称为势能。一定位置的势能等于从该位置到势能零点保守力所作的功。1、势能的定义：2、几个典型力场的势能a、重力势能：重力势能函数：

重力势能等于重力与质点和零势能点间高度差的乘积处为零势能点重力势能曲线势能曲线：势能随空间位置变化的函数关系曲线。选无限远为零势能参考点，则某点的势能为a,b两点间引力势能差为b、万有引力势能比较：由a到b引力作功：引力势能曲线两点间的势能差为选自由长度处O为零势能点C、弹簧的弹性势能返回弹性势能曲线则x处的弹性势能：X1到X2弹力作功：注意∶①势能是一个系统的属性,

势能是属于以保守力相互作用的质点系的。例：考虑重力势能一定要把地球包括在内，即系统涉及物体和地球两者。②势能是状态函数，且是位置的函数③势能的大小是相对的，与在零势能点选取有关；但势能差是绝对的。④只有保守力场才能引入势能的概念。

例1、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？abhRo解：取地心为原点，引力与矢径方向相反另解：3、势能与保守力的功A保守的关系（势能定理）保守力在某一过程所做的功，等于物体势能增量的负值。证明：3.2.2、保守力和势能梯度

在保守力场中，质点在某点所受的保守力等于该点势能梯度的负值。—哈密顿算符功的计算：思考：力是位置的函数时可直接积分，当力是时间的函数时如何求力的功呢？

例质量为2kg的质点在力

(SI)的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。解：3.3.1、质点的动能定理末态的状态量初态的状态量导致状态量变化(过程量)1.质点的动能标量由于运动而具有的能量状态量3.3动能定理2.质点的动能定理合外力对质点做的功等于该质点动能的增量。①功是动能变化的量度 外力作正功，质点动能增加

外力作负功，质点动能减少②A为过程量，与过程有关，而Ek为状态量③A与v应对应同一惯性系说明3.用动量表示动能mpEK22=动能定理的微分形式动能定理的积分形式例题3-1

质量为m、线长为l的单摆，可绕o点在竖直平面内摆动。初始时刻摆线被拉至水平，然后自由放下，求摆线与水平线成角时，摆球的速率和线中的张力。解摆球受摆线拉力T和重力mg,合力做的功为由动能定理牛顿第二定律的法向分量式为:

例题补充

在光滑的水平桌面上平放有半圆形屏障。质量为m的滑块以速度v0沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所做的功为：证明：建立自然坐标系，由牛顿第二定律即：分离变量[P61,3-5]作定积分，得：即：故：由质点的动能定理得：质点系所有内力之和为零1、质点系：外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。

质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系受的合外力，即3.3.2、质点系的动能定理：含两个或两个以上质点的力学系统。

对m1:对m2:对各质点应用动能定理：两式相加，得：即2、质点系的动能定理：1）两质点系统：2）n

个质点的系统推广：

所有外力对系统做的功与内力对系统做的功之和等于质点系总动能的增量。4、内力能改变系统的总动能，但不改变系统的总动量。1、功是动能变化的量度。功为过程量，动能为状态量。2、动能是质点因运动而具有的做功本领。3、功与动能必须对应同一惯性系。说明两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。一对作用力和反作用力的功m1、m2组成一个封闭系统在t时间内om1m2注意：1、负号表示：若内力为引力，则当相对位移增大时，内引力作负功，动能减小。2、一对相互作用的内力做功取决于其相对运动。3、为相对位移，所以一对相互作用的内力做功与参考系无关。om1m2一对作用力和反作用力的功TA作负功、T

B作正功，其代数和为零。由动能定理得∶解得：系统初态动能为：

例题3-2如图，物体mA和mB通过一不能伸缩的细绳相连，mA由静止下滑，mB

上升，斜面的倾角为θ，试求物体mA滑过距离S时，mA和mB的速率(摩擦力及滑轮和绳的质量不计)。未态动能为：

解选取物体A、B与细绳组成一系统，系统所受外力为重力支持力N；内力为绳子的拉力。质点系的动能定理复习功势能质点的动能定理1、图中，沿着半径为R圆周运动的质点，所受的几个力中有一个是恒力，方向始终沿x轴正向，即当质点从A点沿逆时针方向走过3/4圆周到达B点时，力

所作的功为A＝__________．练习题2、对功的概念有以下几种说法：（l）保守力作正功时，系统内相应的势能增加．（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零．（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零．

在上述说法中：（A）（l）、（2）是正确的．（B）（2）、（3）是正确的．（C）只有（2）是正确的．（D）只有（3）是正确的．［C

］3、质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动．已知地球质量为M，万有引力恒量为G，则当它从距地球中心R1处下降到R2处时，飞船增加的动能应等于：(A)(B)

(C)

(D)(E)

√①②由质点系动能定理知：—功能原理

系统机械能的增量等于外力和非保守内力对它做的功。由势能定理知：注意3.4机械能守恒定律能量守恒定律一、质点系的功能原理

功能原理和动能定理并无本质上的不同，只不过功能原理中把保守内力的功用相应势能增量的负值来计算在实际应用中更方便。

例题一链条总长为l，质量为m，放在桌面上使其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为

，令链条从静止开始运动，则：1）在链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？2）链条刚刚离开桌面时的速率是多少？

解（1）坐标系如图，设任一时刻下垂部分的的长度为x。注意：摩擦力做负功！a2)对链条应用动能定理：前已得出：[法2]由功能原理求解。将地球、桌子和链条选为系统。取桌面为零势能点。系统不受外力。初态：链条静止在桌面上时。末态：链条刚离开桌面时。非保守内力（摩擦力）作功：初态：末态：二、机械能守恒定律机械能守恒与转换定律：如果一个系统所受的外力和非保守内力对它所做的总功始终为零，或只有保守内力做功而其它内力和外力都不做功，则系统各物体的动能和势能可以相互转换，但其和为一恒量。机械能守恒的条件：或只有保守力做功适合这个定律的系统称为孤立保守系统，且只适合于惯性系。三、能量守恒定律各种形式的能量可以相互转换，但无论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，总量保持不变。１）只有外力和非保守内力做功才会引起系统机械能的改变。２）保守内力的功虽然会引起质点系动能的改变，但不会引起质点系机械能发生改变。3）不要重复计算保守力的功。动能定理中的功，包括外力功和所有内力功。功能原理中的功，包括外力功和非保守内力功。注意：例题3-3

如图，有一质量略去不计的轻弹簧，其一端系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿过圆环并在圆环上作摩擦可略去不计的运动。设开始时小球静止于A点，弹簧处于自然状态，其长度为圆环的半径R。当小球运动到圆环的底端B点时，小球对圆环没有压力。求此弹簧的劲度系数。解

取弹簧、小球和地球为一个系统，系统的机械能守恒。取弹簧为自然状态时的弹性势能为零；取B点处的重力势能为零，由机械能守恒定律可得B点时由牛顿第二定律得方程

例题3-4要使物体脱离地球的引力范围，求从地面发射该物体的速度最小值为多大？

解：选物体m1和地球m2为研究系统，则系统机械能守恒。选取无限远处为万有引力势能的零点：同理得任一天体的逃逸速度：1、一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表达式为：（其中a、b为常量），则该质点作：A）匀速直线运动。B）变速直线运动。C）抛物线运动。D）一般曲线运动。[B]2、某物体的运动规律为：式中k

为大于零的常数，当t=0时，初速度为，则速度与时间的函数关系是：[C]练习题

4、（本题3分）质点作曲线运动，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，at表示切向加速度，下列表达式中，(2)(A)只有(1)、(4)是对的．(B)只有(2)、(4)是对的．

(C)只有(2)是对的．(D)只有(3)是对的．

(1)(4)(3)√3、在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以便2m/s的速率匀速行驶，A

船沿x轴正向、B船沿y

轴正向。今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系，那么在A船上的坐标系中，B船的速度为：[B]5、某人骑自行车以速率V向正西方向行驶，遇到由北向南刮的风（设风速大小也为V），则他感到的风是从

A）东北方向吹来B）东南方向吹来

C）西北方向吹来D）西南方向吹来6、质量分别为mA和mB的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动。如突然撤消拉力则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为[C][D]7、（本题3分）一物体作斜抛运动，初速度与水平方向夹角为q，如图所示．物体轨道最高点处的曲率半径r为8、（本题3分）质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为(SI)，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为an=

角加速度=16Rt2m/s2

4rad/s2

10、一质点在平面上作曲线运动，其速率V与路程S的关系为：V=1+S2，则其切向加速度以路程S来表示的表达式为：at=（）。9、设质点运动方程为(R、为常量)，则质点的速度

考点：非惯性系的力学问题。考点：牛顿运动定律综合应用。√√11、升降机内地板上放有物体A，其上再放另一物体B，二者的质量分别为MA、MB。当升降机以加速度a向下加速运动时(a<g)，物体A对升降机地板的压力在数值上等于

A）MA

g。

B）(MA+MB)g。

C）(MA+MB)(g+a)。

D）(MA+MB)(g-a)。12、一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗，以匀角速度绕其对称OC旋转．已知放在碗内表面上的一个小球P相对于碗静止，其位置高于碗底4cm，则由此可推知碗旋转的角速度约为A）10rad/s。B）13rad/s。C）17rad/s。D）18rad/s。13、在光滑的竖直圆环上套有两个质量为m的小球A和B，并用轻而不易拉伸的绳子把两球连接起来，两球由图示位置开始释放，求此时绳上的张力T=

。14、一个质点同时在几个力作用下的位移为：(SI)其中一个力为恒力(SI)则此力在该位移过程中所作的功为：(A)-67 J．(B)17 J．(C)67 J．(D)91J．√AB15、质量为m的木块沿固定的光滑斜面下滑，当下降h高度时，重力的瞬时功率是；（A）（B）（C）（D）［C］16、质量为m的质点在外力作用下，其运动方程为，式中A、B、ω都是正的常数，则力在t=0到t=π/(2ω)

这段时间内所作的功为：[C]17、有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道运行，用m、R、引力常数G和地球的质量M表示时

(1)卫星的动能为____________；

(2)选无限远处为零势能点，则卫星的引力势能为_____________．18、一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为N。则质点自A滑到B的过程中，摩擦力对其作的功为考点：功能原理。√1、质量为0.25kg的质点，受力（SI）的作用，式中t为时间。t=0时该质点以（SI）的速度通过坐标原点，求该质点任意时刻的位置矢量解：2、一粒子沿抛物线轨道运动，且知

求粒子在处的速度和加速度。(P24,1-13