北师大版高中数学选择性必修第二册课件第一章数列

数列第一章北师大版高中数学选择性必修第二册课件1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是一种特殊函数，会根据函数的单调性判断数列的增减性.核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理学习目标新知讲解:

数新知学习

二数列的函数特性

名师点拨

×√×即时巩固×典例剖析

一数列的概念及分类

反思感悟判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．①②③④⑤⑥①⑤③⑥②④

二数列的通项公式

反思感悟(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

反思感悟用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．三数列的单调性

随堂小测

A

BC

3.数列1,2，，，，…中的第26项为________．

课堂小结

§1.2数列的函数特性1.同学们观察数列中的项与序号之间的关系,你能从中得到什么启示?你能否写出它的第n项?项:序号:思考

数列中的项与序号之间的关系1234…，92.你能把上述数列按照（n,an)点坐标的形式画在下面的坐标系中吗?O1234567

248163264nan图象是一些离散的点1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象.2.理解递增数列、递减数列、常数列的概念，并会判断数列的增减性.课标要求1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象.（数学抽象、数学建模）2.理解递增数列、递减数列、常数列的概念，并会判断数列的增减性.（数学抽象）素养要求探究点1数列的图像

从函数的观点看，数列的项an是序号n的函数.

即数列可以看成以正整数集N+（或其子集{1,2，…，n}）为定义域的函数.当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.

反过来，对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…

把一个数列视作定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此可以用图象（平面直角坐标系内的一串点）来表示数列，图象中每个点的坐标为（k,ak），k=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象.1.数列的图象【即时练习】

解析

①在平面直角坐标系中描出各点：(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),(6,8),(7,9)

解析

③在平面直角坐标系中描出各点：(1,5300),(2,5300),┅,(3,5300)

从图中可以看出，数列的图象是由一些点组成的，数列①对应的函数图象是上升的，数列④对应的函数图象是下降的，数列⑤对应的函数图象，这些点在与x轴平行的一条直线上.探究点2数列的增减性2.递增数列、递减数列、常数列一般地，一个数列{an},如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an，那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an+1＜an,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列.观察下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列？（1）全体自然数构成的数列0,1,2,3,….（2）2008～2014年某市普通高中生人数（单位：万人）构成的数列82,93,105,119,129,130,132.（3）无穷多个3构成的数列3,3,3,3,….【即时练习】（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成的数列（单位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.解：递增数列有：（1）、（2）、（5)中的不足近似值构成的数列;递减数列有：（4）、（5)中的过剩近似值构成的数列;常数列有：（3）;思考:上面数列中哪些是无穷数列,哪些是有穷数列?有穷数列有：（2）、（4）；无穷数列有：（1）、（3）、（5）.提示:3.例题讲解

解（1）an=3-n可以作为这个数列的一个通项公式，那么,an+1=3-（n+1）=2-n，an+1-an=（2-n）-（3-n）=-1＜0,所以,an+1＜an,因此数列{an}是递减数列.

解图1-7是这个数列的图象，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摆动.因此，它既不是递增的,也不是递减的.例5一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A,B）共有8站.从A地岀发时,装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件.试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性.解将A,B之间所有站按1,2,3,4,5,6,7,8依次编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.根据题意，列表，如表1-2.根据题意，列表，如表1-2.该数列的图象如图1-8.在该数列中，从a1到a4递增，从a4到a8递减.因此，它既不是递增的，也不是递减的.CCC本节课学习的主要内容有：1.数列图像的画法；2.数列的增减性；3.数列与函数的关系；4.数列的分类数列的分类从单调性的角度从项数的角度递增数列递减数列常数列摆动数列有穷数列无穷数列

从第2项起项与项的大小关系不确定项数有限项数无限§2等差数列第一章2.1等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式及应用，掌握等差数列的判定方法.3.能用等差数列的定义推导等差数列的性质，能用等差数列的性质解决一些相关问题.4.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理学习目标新知引入

新知学习新知讲解

在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？

思考

你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

二等差数列的函数特性

三等差中项

判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．()(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．()(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．()(4)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(

)(5)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()√即时巩固××√√典例剖析

一等差数列通项公式的求解反思感悟求通项公式的方法(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．(2)已知等差数列中的两项，可直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．跟踪训练(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.

二等差中项的应用

跟踪训练在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

三等差数列的实际应用

反思感悟等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（）年新建住房的面积开始大于820万平方米？2026B.2027C.2028D.2029

C

分析（1）

{an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为{an}的项.四等差数列性质的应用

随堂小测1.数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(

)A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列A

C解析：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.

3.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．

4.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(

)A．20

B．30C．40 D．50

5.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析

根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．C23.26.在首项为31，公差为－4的等差数列中，绝对值最小的项是________.

7.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

课堂小结1.知识清单：(1)等差数列的相关概念.(2)等差数列的通项公式和等差中项.(3)等差数列的性质及应用.2.

方法总结：等差数列的判定方法：定义法，等差中项法.

§2等差数列第一章

新知引入

新知学习高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.新知讲解

已知量首项，末项与项数首项，公差与项数

选用公式

功能1：已知a1，an和n，求Sn.功能2：已知Sn，n，a1

和an中任意3个，求第4个.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(

)(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．(

)(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.(

)√即时巩固√√典例剖析

反思感悟等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．跟踪训练在等差数列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解

设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)解法一:由已知得解得

∴S10=10a1+

d=10×3+

×4=210.解法二:由已知得∴a1+a10=42,∴S10==5×42=210.(2)∵S7=

=7a4=42,∴a4=6.∴Sn===

=510,∴n=20.例2已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2,求数列{|an|}的前n项和S'n.解∵an=Sn-Sn-1=33-2n(n≥2),且a1=S1=31,代入上式符合,∴an=33-2n(n∈N*).由an>0得n≤16,∴此数列的前16项均为正数,从第17项起以后各项均为负数,则对于数列{|an|}:当1≤n≤16时,S'n=Sn=32n-n2;当n≥17时,S'n=|a1|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=(a1+a2+…+a16)-(a17+a18+…+an)=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=2×(32×16-162)-(32n-n2)=n2-32n+512.∴S'n=

例3已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列的公差d.

跟踪训练

已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,若Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N*,求Sm+n.

反思感悟求等差数列(公差d≠0)的前n项和Sn的最大(小)值的常用方法如下:(1)用配方法转化为求解二次函数的最大(小)值问题,解题时要注意n∈N*;(2)邻项异号法:可利用

或

来寻找正、负项的分界点.一般地,在等差数列{an}中,当a1>0,且Sp=Sq(p≠q)时,若p+q为偶数,则当n=

时,Sn最大;若p+q为奇数,则当n=时,Sn最大.跟踪训练在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.

四与等差数列有关的求和问题

随堂小测1.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(

)A．20

B．30C．40D．50A2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(

)A．5 B．7C．9 D．11C

3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(

)A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1B4.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.1905.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

课堂小结

§3等比数列第一章3.1等比数列1.理解等比数列及等比中项的概念．2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题．4.能够运用等比数列的性质解决有关问题.核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理学习目标新知引入

新知学习

新知讲解类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？

一等比数列的概念思考请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？

二等比数列的函数特性

单调递减单调递增

单调递减单调递增不变单调递减单调递增不变单调递增单调递减不变三等比中项

即时巩固

D2.方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(

)A． B．±2C．±

D．2B典例剖析

一等比数列通项公式的求解

反思感悟1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

跟踪训练有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.

二等比数列的实际应用

反思感悟一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．

分析根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明．三等比数列与其他知识的综合应用

随堂小测

A2.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(

)A．1 B．2C．3 D．4C3.（2021·江苏南通市高二期末）在流行病学中，基本传染数

是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数

，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（

）注：初始感染者传染

个人为第一轮传染，这

个人再传染

个人为第二轮感染.A．5 B．6 C．7 D．8

B

5.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.(1)求a1的值．(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．解:

(1)因为Sn＝2an＋n－4，所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.(2)证明：因为Sn＝2an＋n－4，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．C

课堂小结1.知识清单：(1)等比数列的相关概念.(2)等比数列的通项公式和等比中项.(3)等比数列的性质及应用.2.

易错提示：等比数列的公比为负数时，求某一项注意正负的取舍.§3等比数列第一章

1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．2．会用错位相减法求数列的和．3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理学习目标新知引入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.新知学习问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.

问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.

我们不妨把各项都用首项和公比来表示.

观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

新知讲解

典例剖析

反思感悟在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．

例3去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.分析由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．

随堂小测1.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝(

)A．8 B．7C．6 D．5B2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝(

)A．－1 B．1C．－2 D．2A3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝(

)A．12 B．－15C．12或－15 D．12或15C

5.记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.C-636.等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.

课堂小结

公式的推导：乘公比错位相减法解决实际问题时：（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列,再建立不同的数学模型；（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.§4数列在日常经济生活中的应用1．掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用．(重点、难点)课标要求1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助数列的应用，培养数学建模素养．素养要求探究点1

单利与复利探究点2

三种常见模型1.等差数列模型

零存整取例1银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%,1.55%,1.55%）.规定每次存入的钱不计复利.（1） 若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；（2） 若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元）（3） 若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2000元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元）

【变式练习】【总结提升】2.等比数列模型

定期自动转存例2

银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务，假定无利率变化调整因素①,我们来讨论以下问题:(1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求岀储户n年后所得本利和的公式；(2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%,那么5年后共得本利和多少元？(精确到0.01元)解(1)记n年后得到的本利和为an.根据题意知：第1年存入的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为a1=

P+Pr

=P(1+r)(元)；2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为a2=P(l+r)+P(l+r)r

=P(l+r)2(元)；不难看出，各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比数列{an}，故n年后到期的本利和为an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1=P(l+r)n(元).(2)由(1)可知,5年后本利和为a5=10000×(1+0.0175)5≈10906.17（元）.因此,5年后得本利和约为10906.17元.3.分期付款模型例3

小华准备购买一台售价为5000元的电脑，釆用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少？（精确到0.01元）解

假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则A2=5000×(1+0.006)2-x；A4=A2（l+0.006）2-x=5000×1.0064—1.0062x-x；A6=A4（l+0.006）2-x=5000×1.0066-1.0064x—1.0062x-x；……

【变式练习】BBC§5数学归纳法第一章1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.核心素养：数学运算、逻辑推理学习目标新知引入我们从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。新知学习问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下。

新知讲解数学归纳法

典例剖析

反思感悟用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.

二用数学归纳法证明探索性问题

反思感悟(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节

(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.跟踪训练数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.

随堂小测

C2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)

C

课堂小结

第一章

章末知识梳理与能力提升内容索引知识网络考点突破真题体验1知识网络PARTONE2考点突破PARTTWO一、等差(比)数列的基本运算1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小.2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.例1

在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.所以数列{bn}的前n项和反思感悟在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.解因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，跟踪训练1已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；解得a1＝－1或a1＝2.解因为a1＞0，所以a1＝2，(2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn.二、等差、等比数列的判定1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列.2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养.(1)求b1，b2，b3；将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；解{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.(3)求数列{an}的通项公式.反思感悟判断和证明数列是等差(比)数列的方法(2)中项公式法：①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列.(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列.(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列.(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解得t＝11∈N*，所以a1a2是数列{an}中的第11项.三、等差、等比数列的性质及应用1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活”的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档.2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养.例3

(1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是A.21 B.20 C.19 D.18解析由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.√∴使Sn取得最大值的n是20.(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝

.又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，从而am＝2.4则22m－1＝128，故m＝4.反思感悟等差数列等比数列若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝am，am＋k，am＋2k，…仍是等差数列，公差为kdam，am＋k，am＋2k，…仍是等比数列，公比为qk若{an}，{bn}是两个项数相同的等差数列，则{pan＋qbn}仍是等差数列若{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则{pan·qbn}仍是等比数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(q≠－1或q＝－1且m为奇数)√解析设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16，则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，(2)在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为A.13 B.26

C.52

D.156√解析3(a3＋a5)