高中数学人教A版第三章不等式 模块综合评价(一)

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a＞b，则下列正确的是()A．a2＞b2 B．ac＞bcC．ac2＞bc2 D．a－c＞b－c解析：A选项不正确，因为若a＝0，b＝－1，则不成立；B选项不正确，c≤0时不成立；C选项不正确，c＝0时不成立；D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变．答案：D2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则B等于()A．45°或135° B．135°C．45° D．30°解析：因为A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq\f(\r(2),2).因为a＞b，所以A＞B，所以B＝45°.答案：C3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋3，若an＝2017，则n＝()A．667B．668C．669D．673解析：因为an＋1＝an＋3，所以an＋1－an＝3，所以{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.因为an＝2017，所以n＝673.答案：D4．若集合M＝{x|x2＞4}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3－x,x＋1)))＞0))，则M∩N＝()A．{x|x＜－2} B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＜－2或x＞3} D．{x|x＞3}解析：由x2＞4，得x＜－2或x＞2，所以M＝{x|x2＞4}＝{x|x＜－2或x＞2}．又eq\f(3－x,x＋1)＞0，得－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}；所以M∩N＝{x|x＜－2或x＞2}∩{x|－1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}．答案：B5．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值为()A．16B．32C．48D．64解析：由等比数列的性质可得，a1·a9＝aeq\o\al(2,5)＝16.因为an＞0，所以a5＝4，所以a2·a5·a8＝aeq\o\al(3,5)＝64，故选D.答案：D6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acosB＝bcosA，则△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R，即a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以acosB＝bcosA变形得：sinAcosB＝sinBcosA，整理得：sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0.又A和B都为三角形的内角，所以A－B＝0，即A＝B，则△ABC为等腰三角形．答案：A7．若实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤3，,x＋y≥1，))则S＝2x＋y－1的最大值为()A．8B．4C．3D．2解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过图中点(2，3)时取得最大值6.答案：A8．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90解析：因为a4是a3与a7的等比中项，所以aeq\o\al(2,4)＝a3a7，即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，整理得2a1＋3d＝0.①又因为S8＝8a1＋eq\f(56,2)d＝32，整理得2a1＋7d＝8.由①②联立，解得d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋eq\f(90,2)d＝60，故选C.答案：C9．设数列{an}满足a1＋2a2＝3，且对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都有PnPn＋1＝(1，2)，则{an}的前n项和SnA．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))) B．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,4)))C．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(2,3))) D．neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,2)))解析：因为PnPn＋1＝(1，2)，(1，an＋1－an)＝(1，2)，an＋1－an＝2，公差为d＝2.所以a1＋2(a1＋2)＝3，3a1＋1＝0，a1＝－eq\f(1,3)，所以Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋eq\f(n（n－1）,2)·2所以Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(4,3))).答案：A10．已知{an}为等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为()A．4\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)解析：S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝55，所以d＝－2.所以a2＝15－2＝13，a4＝13－6＝9，所以P(3，13)，Q(4，9)，所以KPQ＝eq\f(9－13,4－3)＝－4.答案：C11．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()\f(24,5)\f(28,5)C．5D．6解析：因为x＋3y＝5xy，所以eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1.所以3x＋4y＝(3x＋4y)·1＝(3x＋4y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(3x,5y)＋eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：C12．已知向量a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2，2] B．[－2，3]C．[－3，2] D．[－3，3]解析：因为a＝(x＋z，3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，所以a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，所以当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0，1)时，zmax＝3.所以z∈[－3，3]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若△ABC的内角A满足sin2A＝eq\f(2,3)，则sinA＋cosA＝________．解析：由sin2A＝2sinAcosA＞0，可知A是锐角，所以sinA＋cosA＞0，又(sinA＋cosA)2＝1＋sin2A＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).答案：eq\f(\r(15),3)14．已知a＜b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值为________．解析：因为ab＝50＞0，所以a与b同号，若二者均为正数，则|a＋2b|≥2eq\r(2ab)＝20，只有a＝2b时等式成立，所以a＝10，b＝5(不合题意，舍去)．若二者均为负数，则－a＞0，－b＞0，|a＋2b|＝－(a＋2b)≥2eq\r(2ab)＝20，只有a＝2b时等式成立，所以a＝－10，b＝－5符合题意．所以最小值为20.答案：2015．已知点A(4，1)，B(7，5)，C(0，4)，则△ABC中的∠BAC的大小是________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，3)，因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×(－4)＋4×3＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠BAC＝90°.答案：90°16．在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc，sin2A＋sin2B＝sin2C，则角解析：由b2＋c2－a2＝bc⇒cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，所以A＝60°.再由sin2A＋sin2B＝sin2C⇒a2＋b2＝c2，所以C所以B＝30°.答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差d不为零，首项a1＝2且前n项和为Sn.(1)当S9＝36时，在数列{an}中找一项am(m∈N*)，使得a3，a9，am成为等比数列，求m的值；(2)当a3＝6时，若自然数n1，n2，…，nk，…满足3＜n1＜n2＜…nk＜…，并且a1，a3，an1，…，ank，…是等比数列，求nk.解：(1)数列{an}的公差d≠0，a1＝2，S9＝36，所以36＝9×2＋eq\f(1,2)×9×8d，所以d＝eq\f(1,2)，所以a3＝3，a9＝6.由a3，a9，am成等比数列，则aeq\o\al(2,9)＝a3·am，得am＝12，又12＝2＋(m－1)·eq\f(1,2)，所以m＝21.(2)因为{an}是等差数列，a1＝2，a3＝6，所以an＝2n.又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q＝3.所以ank＝a1·qk＋1＝2·3k＋1.又ank是等差数列中的项，所以ank＝2nk，所以2nk＝2·3k＋1，所以nk＝3k＋1(k∈N*)．18．(本小题满分12分)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得：d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4a(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝eq\f(n[2＋（4n－2）],2)＝2n2.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.19．(本小题满分12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为25－x万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)?解：(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6x＋\f(x（x－1）,2)·2))－50，(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50，(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－5eq\r(2)＜x＜10＋5eq\r(2)，而2＜10－5eq\r(2)＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出．所以销售二手货车后，小王的年平均利润为eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,x)[y＋(25－x)]＝eq\f(1,x)(－x2＋19x－25)＝19－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而19－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤19－2eq\r(x·\f(25,x))＝9，当且仅当x＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．20．(本小题满分12分)实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)eq\f(b－2,a－1)的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．解：方程x2＋ax＋2b＝0的两根区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y＝f(x)＝x2＋ax＋2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＞0，,f（1）＜0，,f（2）＞0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＞0，,a＋2b＋1＜0，,a＋b＋2＞0.))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,a＋b＋2＝0，))解得A(－3，1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋2＝0，,b＝0，))解得B(－2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,b＝0，))解得C(－1，0)，所以在下图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．(1)△ABC的面积为S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·h＝eq\f(1,2)(h为A到Oa轴的距离)．(2)eq\f(b－2,a－1)的几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率．因为kAD＝eq\f(2－1,1＋3)＝eq\f(1,4)，kCD＝eq\f(2－0,1＋1)＝1，由图可知kAD＜eq\f(b－2,a－1)＜kCD，所以eq\f(1,4)＜eq\f(b－2,a－1)＜1，即eq\f(b－2,a－1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(3)因为(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a－1)2＋(b－2)2∈(8，17)．21．(本小题满分12分)已知eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an＞0)中，a1＝3，此数列的前n项的和Sn(n∈N*)对所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．(1)求数列{an}的第n＋1项；(2)若eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.解：因为eq\r(x)，eq\f(\r(f（x）),2)，eq\r(3)(x≥0)成等差数列，所以eq\f(\r(f（x）),2)×2＝eq\r(x)＋eq\r(3).所以f(x)＝(eq\r(x)＋eq\r(3))2.因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝f(Sn－1)＝(eq\r(Sn－1)＋eq\r(3))2.所以eq\r(Sn)＝eq\r(Sn－1)＋eq\r(3)，eq\r(Sn)－eq\r(Sn－1)＝eq\r(3).所以{eq\r(Sn)}是以eq\r(3)为公差的等差数列．因为a1＝3，所以S1＝a1＝3.所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)eq\r(3)＝eq\r(3)＋eq\r(3n)－eq\r(3)＝eq\r(3)n.所以Sn＝3n2(n∈N*)．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.(2)因为数列eq\r(bn)是eq\f(1,an＋1)，eq\f(1,an)的等比中项，所以(eq\r(bn))2＝eq\f(1,an＋1)·eq\f(1,an)，所以bn＝eq\f(1,an＋1an)＝eq\f(1,3（2n＋1）·3（2n－1）)＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,18)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))))＝eq\f(1,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,9（2n＋1）).22．(本小题满分12分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋