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文档简介

第三章环与域3.1环的定义及环的基本性质3.2交换律、单位元、零因子、整环3.3除环、域

3.4子环、环的同构

3.5理想3.6商环与环同构基本定理3.7极大理想与素理想本节将在群理论的基础上讨论具有两个二元运算的代数系统——环的基本性质。环也是近世代数中一类重要的、基本的代数系统。由于它具有二个运算，故不可避免地会遇到在群论中不能触及和解决的问题。在群论中，无论在思考问题、提出问题的基本想法，还是分析问题、解决问题的主要手法方面，对于近世代数来说，都具有普遍的、典型的意义，可以说基本上体现了近世代数研究问题的格调与模式。这些对环的讨论会有重要的启发和借鉴作用。本节中，主要介绍环的概念、环的主要特性及它与群的联系与区别。在教学过程中，还将引入一批环的实例，以及讨论有关环在二个运算方面所具有的基本性质。要求在学习中，第一节环的定义及环的基本性质

第三章教学目的和要求：（1）能清楚理解环的定义以及它与群的区别和联系；（2）环的基本性质应该全部能领会；（3）教学活动中介绍的环的几种主要类型要掌握；重点和难点：清楚环这种代数体系中两种运算中的协调关系。一、环的引入及例子定义1对于环R而言，(R，+)是加法交换群，则意味着（R，+）满足群的四个条件，其中单位元为零元0，R中元素a的逆元为负元-a。而半群（R，·)意味着“·”满足封闭和结合律.注意1：例1数环.例2一般地，例3例4明示1：一元多项式环.在例4中，若将数域F换成任一个数环，那么也能构成多项式环.譬如，取整数Z，则叫做整系数多项式环.例5n阶矩阵环.明示2：在例5中，若用数环替代数域F后，结果仍成立.譬如，用偶数环替代F，得到二、两个重要的环关于环，我们可以举出许许多多的例子.下面特别介绍一个用途很广的环。三、环的基本性质一个环（R,+,·)中的加法与乘法不是孤立的两个运算，二者被分配律联系起来了，正是这个纽带才是使得一个具有两个代数运算的代数系统成为环的重要依据。性质(1)

性质(2)

性质(3)

性质(4)

性质(5)

事实上，性质(6)

性质(7)

性质(8)

由性质（4）可得性质(9)

性质(10)

事实上，事实上，事实上，性质(11)

性质(12)

性质(13)

性质(14)

证明：数学归纳法证明（1）当n=1时，结论成立。（2）假设对某个自然数n，结论成立。当n+

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