高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 一等奖

3.2.4二面角及其度量学案编号：GEXX2-1T3-2-4【学习要求】1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．2．掌握求二面角的基本方法、步骤．【学法指导】二面角可以通过作二面角的平面角来求，但作平面角比较困难，利用向量求二面角的平面角只需求出两个平面的法向量，经过简单运算即可，体现了向量的工具性.1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的______，每个半平面叫做二面角的______，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角相等或互补.探究点一定义法求二面角问题1如何找二面角的平面角？问题2如何利用面积射影求二面角？例1如图，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E—BD—C的大小．跟踪1如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的余弦值．探究点二用向量方法求二面角问题怎样利用向量法求二面角？例2(教材P109例1)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，则该二面角的大小为________．跟踪2如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．例3如图所示，在底面为直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SCD与平面SAB所成二面角α的正切值．跟踪3在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求二面角E—AC—D的大小．【达标检测】1．所示，已知二面角α—l—β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则直线m，n的夹角为()A．30° B．60°C．90° D．120°2．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的二面角都是α，则 ()A．P3>P2>P1 B．P3>P2＝P1C．P3＝P2>P1 D．P3＝P2＝P13．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________．4．PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq\r(2).求二面角A—PB—C的余弦值．【课堂小结】二面角的求法：①定义法．②三垂线法，如图A∈β，过A作AB⊥α于点B，在α内作BO⊥l于点O，连接AO，则由三垂线定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α—l—β的平面角．③用公式cosθ＝eq\f(S′,S),其中S′为射影面积，S为原图形面积．④利用向量夹角公式求〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))〉．⑤用法向量，若二面角α—l—β的大小为θ，其两半平面的法向量分别为n1、n2，其夹角为φ，则θ＝φ或θ＝π－φ.一定要注意检验.3.2.4二面角及其度量一、基础过关1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m＝(－1，2,0)，n＝(1,0，－2)，且m、n都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为 ()\f(1,5) \f(\r(24),5)\f(1,4) \f(\r(15),4)3．二面角α—l—β中，平面α的一个法向量n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－\r(2)))，平面β的一个法向量n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\r(2)))，则二面角α—l—β的大小为 ()A．120° B．150°C．30°或150° D．60°或120°4.在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为()A．－eq\f(1,2) \f(2,3)\f(\r(3),3) \f(\r(2),2)5．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是_____．6．已知A∈α，P∉α，eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\r(2)))，平面α的一个法向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，－\r(2)))，则直线PA与平面α所成的角为________．二、能力提升7．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B—AC—D的余弦值为 ()\f(1,3) \f(1,2) \f(2\r(3),3) \f(\r(3),2)8．A、B是二面角α—l—β的棱l上两点，P是平面β上一点，PB⊥l于B，PA与l成45°角，PA与平面α成30°角，则二面角α—l—β的大小是 ()A．30°B．60°C．45°D．75°9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，B