高中数学人教A版第一章集合与函数概念 专题研究

课时作业(十八)1．函数f(x)＝eq\f(1,1－x1－x)的最大值是()\f(4,5) \f(5,4)\f(3,4) \f(4,3)答案D解析f(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)＝eq\f(1,x－\f(1,2)2＋\f(3,4))≤eq\f(1,\f(3,4))＝eq\f(4,3)，所以当x＝eq\f(1,2)时f(x)有最大值eq\f(4,3).2．值域是(0，＋∞)的函数是()A．y＝x2－x＋1 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝|x＋1| D．y＝eq\f(1,x)(x＞0)答案D3．函数y＝1＋eq\r(2x－x2)(x∈[0,2])的值域是()A．[－2,2] B．[1,2]C．[0,2] D．[－eq\r(2)，eq\r(2)]答案B4．函数y＝eq\f(x2－1,x2＋1)的值域是()A．[－1,1) B．[－1,1]C．(－1,1] D．(－1,1)答案A解析y＝1－eq\f(2,x2＋1).由于x2＋1≥1,0<eq\f(2,x2＋1)≤2，－2≤－eq\f(2,x2＋1)<0，－1≤1－eq\f(2,x2＋1)<1.5．y＝eq\f(x－1x－3,x－12x＋1)的值域是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，＋∞))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案D解析y＝eq\f(x－1x－3,x－12x＋1)＝eq\f(x－3,2x＋1)(x≠1)，再分离常数．6．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m∈()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]答案D7．若定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为____________．答案[a，b]解析由于f(x)定义域为R，而x＋a仍可为任意实数，故f(x＋a)值域与f(x)值域相同．8．函数y＝x－eq\f(1,x)，x∈[－1,0)∪(0,1]值域为________．答案R解析x∈[－1,0)时，y∈[0，＋∞)；当x∈(0,1]时，y∈(－∞，0]，∴y∈R.9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．答案－1或3解析f(x)最小值为－a2＋2a＋4＝1，得a＝－1或3.10．函数y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域为________．答案{y|y∈R，且y≠2}解析y＝eq\f(2x－6＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3).由于eq\f(7,x－3)≠0，故y≠2.所以值域为{y|y∈R且y≠2}．11．已知f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(4,9)))，求函数y＝f(x)＋eq\r(1－2fx)的值域．解析令eq\r(1－2fx)＝t，得f(x)＝eq\f(1－t2,2).由于eq\f(3,8)≤f(x)≤eq\f(4,9)，得eq\f(1,9)≤1－2f(x)≤eq\f(1,4).因此eq\f(1,3)≤t≤eq\f(1,2).y＝eq\f(1－t2,2)＋t＝－eq\f(1,2)t2＋t＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t∈[\f(1,3)，\f(1,2)]))＝－eq\f(1,2)(t2－2t－1)＝－eq\f(1,2)[(t－1)2－2]．当t＝eq\f(1,3)时y有最小值eq\f(7,9)；当t＝eq\f(1,2)时y有最大值eq\f(7,8).故y＝f(x)＋eq\r(1－2fx)的值域为[eq\f(7,9)，eq\f(7,8)]．12．若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)的定义域和值域都是[1，b]，求b的值．解析由条件知，f(b)＝b，且b>1，即eq\f(1,2)b2－b＋eq\f(3,2)＝b.解得b＝3.图像变换专题1．平移变换(a＞0)八字方针：“左加右减，上加下减”y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向右平移),\s\do15(a个单位))y＝f(x－a)y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向左平移),\s\do15(a个单位))y＝f(x＋a)y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向上平移),\s\do15(a个单位))y＝f(x)＋ay＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向下平移),\s\do15(a个单位))y＝f(x)－a四字真言：“正减负加”y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向x轴正方向),\s\do15(平移a个单位))y＝f(x－a)即用x－a代替原式中的x.y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向y轴正方向),\s\do15(平移a个单位))y－a＝f(x)即用y－a代替原式中的y.y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向x轴负方向),\s\do15(平移a个单位))y＝f(x＋a)即用x＋a代替原式中的x.y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向y轴负方向),\s\do15(平移a个单位))y＋a＝f(x)即用y＋a代替原式中的y.说明：“四字真言”比“八字方针”适用范围要广，它不仅适用于函数图像的变换，而且适用于将来要学习的三角函数图像的变换．2．对称变换①y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称．②y＝f(x)与y＝－f(x)的图像关于x轴对称．③y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．④y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于上半平面内的部分及与x轴的交点，将y＝f(x)的图像中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到．⑤y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)中位于右半平面内的部分及与y轴的交点，去掉在左半平面内的部分，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到．例1(1)已知y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称，则y＝f(x)的图像对称轴为__________；(2)把f(x)＝2x2＋x－1的图像向右移一个单位，再向下移一个单位得到g(x)的图像，则g(x)的解析式为______________．【答案】(1)x＝2(2)f(x)＝2x2－3x－1例2如下图，函数y＝1－eq\f(1,x－1)的图像是()【解析】y＝1－eq\f(1,x－1)的图像可由y＝－eq\f(1,x)的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位而得，故选B.【答案】B例3将奇函数y＝f(x)，x∈R的图像沿x轴正方向平移1个单位后，所得的图像是C，又设图像C′与C关于原点对称，那么C′所对应的函数是()A．y＝－f(x－1) B．y＝f(x－1)C．y＝－f(x＋1) D．y＝f(x＋1)【解析】y＝f(x)eq\o(→,\s\up17(向右平移1个单位))y＝f(x－1)eq\o(→,\s\up17(作关于原点对称))y＝－f(－x－1)＝f(x＋1)．故选D.【答案】D1．(2023·广东理)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案D2．(2023·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析利用函数奇偶性的定义求解．A项，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B项，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C项，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D项，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．3．(2023·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)＝()A．2 B．1C．0 D．－2答案D解析由f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2.4．(2023·湖南理)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3答案C解析用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.5．(2023·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0答案A解析由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，选A.6．(2023·江西)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝()\f(1,5) B．3\f(2,3) \f(13,9)答案D解析∵f(3)＝eq\f(2,3)<1，∴f(f(3))＝(eq\f(2,3))2＋1＝eq\f(13,9)，故选D.7．(2023·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|答案D解析y＝x＋1为增函数但不是奇函数；y＝－x3为奇函数但为减函数；y＝eq\f(1,x)为奇函数但不是单调函数；对于y＝x|x|，f(－x)＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，∴f(－x)＝－f(x)，∴y＝x|x|为奇函数，又y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))结合图像知y＝x|x|为增函数，故选D.8．(2023·新课标全国Ⅱ理)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析由题可知，当－2<x<2时，f(x)>(x－1)的图像是由f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.9．(2023·广东文)函数y＝eq\f(\r(x＋1),x)