大学物理第7章机械波课件

第7章机械波中国国家管弦乐团在联合国总部的演出机械波产生条件平面简谐波基本原理惠更斯原理叠加原理定义特征量描述方法能量波的反射、折射、衍射波的干涉驻波几何法图线法解析法能量能流条件§7.1

机械波的产生和传播一.机械波的产生二.

横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。波源：作机械振动的物体｛横波：纵波：机械波:机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。弹性媒质：承担传播振动的物质振动曲线ty结论123456789101112131415161718123456789101112131415161718横波纵波(1)波动中各质点并不随波前进；yx波动曲线(2)各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播，是振动状态的传播；(3)波动曲线与振动曲线不同。波面三.

波面和波线在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。沿波的传播方向作的有方向的线段。球面波柱面波波面波线波面波线在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。波面波线波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。波线注意xyz同一波线上相邻两个相位差为2的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。四.描述波动的物理量波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为波长反映了波的空间周期性。(1)波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。a.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：b.均匀细棒中，纵波的波速为：(2)波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明—张力—线密度—固体棒的杨氏模量—固体棒的密度例如：d.液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出c.固体媒质中传播的横波速率由下式给出：—固体的切变弹性模量—固体密度—流体的容变弹性模量—流体的密度e.稀薄大气中的纵波波速为—气体摩尔热容比—气体摩尔质量—气体摩尔常数解：声波的周期为例：在室温下空气中的声速为，设波源频率为，求该声波的周期及在空气中的波长。声波在空气中波长波程差与相位差质点的振动状态经历的路程——波程波程差相位差波面为平面的简谐波§7.2平面简谐波简谐波介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波说明简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。一.平面简谐波的波函数一般波函数yxxPO简谐振动从时间看,P

点

t时刻的位移是O点简谐振动平面简谐波的波函数时刻的位移;从相位看，P

点处质点振动相位较O

点处质点相位落后若已知t时刻o点P为任意点(波函数)波函数的其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点x1和

x2振动的相位差为深入探讨(1)

x2>x1,，说明x2处质点振动的相位总落后于x1处质点的振动；u

实际上是振动相位的传播速度，相速。(2)t1

时刻x1处的振动状态经Δt

时间传播到x1+Δx

处，则可得到(3)

若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数:X=0处其它形式X=0处X处超前二.波函数的意义波函数是用数学（形式）或方程描述平面简谐波在传播过程中任一时刻、任一质点的振动情况。(1)振动状态的空间周期性说明波线上振动状态的空间周期性(2)波形传播的时间周期性说明波形传播的时间周期性t给定，y=y(x)

表示

时刻的波形图波形曲线（3）给定x

给定，y=y(t)是

处振动方程（4）给定波形曲线t1时刻的波形Oyxt1+Δt时刻的波形x1(5)x和

t都在变化，表明波形传播和分布的时空周期性。

例：一平面简谐波的波函数,单位为m，t的单位为s。求该波的波幅、波速、频率和波长解：波函数得如图，波沿x正向传播，在下列情况下试求波函数：(3)

若u

沿x

轴负向，以上两种情况又如何？例(1)

以A为原点；(2)

以B为原点；BA已知A点的振动方程为：在x轴上任取一点P，该点振动方程为：波函数为：解PBA(2)B点为原点：波函数为:任意P点,坐标x，PBA比A点滞后任意P点,坐标x，比A点超前波函数为:注意x前符号(3)

若u

沿x

轴负向，以上两种情况又如何？以A为原点：任意P点,坐标x，比A点超前任意P点,坐标x，比A点滞后任意点通常不选在x<0以B为原点：任意P点,坐标x，比A点超前任意P点,坐标x，比A点滞后注意x前符号例波函数中各表示什么意义？解：1.处的初相2.前为“—”，表示x比x=0振动滞后的时间即x=0处的振动状态传到x所需的时间3.表示x处比x=0处相位滞后4.表示任一时刻、任一点的相位一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 a.比较法(与标准形式比较）标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点振动的最大速度。求(1)b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）振幅波长周期波速(2)t=0一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其振幅和频率 例解(1)t=0时如图所示，求波函数；求(2)t=t‘时如图所示，求波函数。(1)t=0时，原点振动方程由波动方向，判断原点运动方向向下Oxyy0由旋转矢量得原点振动方程为波函数为和振动不同(2)t=t’时如图所示，求波函数。原点振动方程t=t’时原点的相位（非初相位）为即原点振动方程为波函数为Oxy内容回顾波函数的建立1.已知某点的振动方程波的传播方向2.已知某时刻的波形曲线找出某点的振动方程例：一简谐波沿x轴正方向传播，T=T/4时的波形曲线如图所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相位取到之间的值，则：(1)0点的初位相为（2）1点的初位相为（3）2点的初位相为(4)3点的初位相为。解：由波形知道A=2m，波长例：平面简谐波沿x轴正方向传播，在t=2s时的波形如图，波速为，求原点处的振动方程，并写出波函数频率圆频率故该波传到原点时，原点振动方程为t=2s，x=0处位移为零由波形曲线，该时刻原点处质点振动速度为负原点处质点振动方程沿x轴正方向传播，相应波函数为*三.平面波的波动微分方程由知(2)不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波函数为右式说明§7.3波的能量一.波的能量和能量密度波动过程质元由静止开始振动质元发生形变波动过程是能量的传播过程以绳索上传播的横波为例：yx0x

y=Acos(t-x/u)0uxx+xyyOxy线元的动能为线元的势能（原长为势能零点）为①设波沿x方向传播，取线元T2T1△l△y△x以绳索上传播的横波为例：其中将代入①、②

、③线元的机械能为和③②(1)在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的；如图所示讨论xyOAB,A点质元的动能、势能同时达到最小；B点质元的动能、势能同时达到最大；机械能(2)质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程。二.能流密度1.能量密度•设介质的横截面为S

，体密度为，则线元单位体积中的机械能（能量密度）为平均能量密度2.

能流在一个周期中的平均能流为su△t能流密度通过垂直于波线截面单位面积上的能流。大小：方向：波的传播方向矢量表示式：•在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流S波的强度一个周期内能流密度大小的平均值。*三.平面波和球面波的振幅1.平面波

（不吸收能量）由得这表明平面波在媒质不吸收的情况下,振幅不变。2.球面波由令得球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随r

增大而减小.则球面简谐波的波函数为（A0为离原点（波源）单位距离处波的振幅）*四.波的吸收吸收媒质,实验表明O

为介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波的频率有关。IxIxI0I0O(1)知某一时刻波前，可用几何方法决定下一时刻波前；说明R1R2S1S2O§7.4惠更斯原理惠更斯提出：(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源；(3)各个子波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)所有子波源各自向外发出许多子波；(2)亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质；(4)不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。(3)解释衍射、反射、折射现象；BCA由几何关系知：DEFu1u2u2△td=u1△t(反射)一、波的叠加原理1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。——波的独立性原理。—波的叠加原理。§7.5波的干涉频率相同、振动方向相同、相位差恒定。一般情况下，各个波的振动方向和频率均不同，相位关系不确定，叠加的合成波较为复杂。当两列（或多列）相干波叠加的结果，其合振幅A和合强度I

将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱。——波的干涉满足相干条件的波产生相干波的波源二、波的干涉1.波的干涉现象2.相干条件3.相干波4.相干波源根据叠加原理可知，P

点处振动方程为S1S2•P点合振动的振幅PP三、波的干涉规律相位差当干涉相长当干涉相消•空间点振动的情况分析讨论(1)若(2)若干涉相长干涉相消干涉相长干涉相消从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。满足相干条件的波源称为相干波源。研究相干问题的一般方法问题：屏上任一点x是相长还是相消？∽波程差相长相消相长相消A、B为两相干波源，距离为30m

，振幅相同，

相同，初相差为

,u=400m/s,f=100Hz。例A、B连线上因干涉而静止的各点位置。求解BAP30m（P在A左侧）（P在B右侧）即在两侧干涉相长，不会出现静止点r1r2干涉相消(在A，B之间距离A点为r1=1,3,5,…,29m处出现静止点)P在A、B中间BAP30mr1r2§7.6驻波一.弦线上的驻波实验波腹波节两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波驻波条件：二.驻波波函数(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3振幅，即驻波是各质点振幅按余弦分布(1)波腹(A′=A′max)：讨论波节(A′=A′min)：的特殊谐振动；相邻两波腹之间的距离：的许多段，每段中各(2)所有波节点将媒质划分为长质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质点的振动相位相反;即驻波中不存在相位的传播。相邻两波节之间的距离：（3）驻波的相位时间部分提供的相位对于所有的x是相同的。在范围内，是波节，考查波节两边的振幅，如内，在范围结论：在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。(4)没有能量的定向传播。能量只是在两波节之间，进行动能和势能的转化。势能动能势能驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。例：一平面简谐波以的速度传播，其波函数为：并在x=0处反射。反射波方程求：1.合成波的波函数，及波腹、波节的位置；2.在x=1.2(m)处振幅的大小。解：1.波腹：波节2.在x=1.2(m)处振幅的大小。4.半波损失入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波程损失了半个波长的现象称为半波损失。在绳与墙壁固定处，为波节位置。这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为，相当于波程相差/2。反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。

当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。例：如图所示，有一沿X轴正向传播的平面简谐波，其波动方程为：此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区间0<x<7m，干涉相消点的位置。解:(1)在反射点滞后(2)在x=6m处介质质元的振动方程即：（3）在区间0<x<7m，干涉相消点的位置。因为在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。因为两相邻波节之间的间隔为/2。所以在0<x<7m区间的干涉相消点为：*例：如图所示，有一沿X轴正向传播的平面简谐波，在x=L(B处)发生反射，反射点为固定端。设波在传播和反射过程中振幅不变，且反射波的表达式为则入射波的表达式是什么？解：反射波在B点引起的振动入射波在B点引起的振动任一点x比B点超前*§7.7

多普勒效应一、多普勒效应的成因声源完成一次全振动，向外发出一个波长的波，频率表示单位时间内完成的全振动的次数，因此波源的频率等于单位时间内波源发出的完全波的个数，而观察者听到的声音的音调，是由观察者接收到的频率，即单位时间接收到的完全波的个数决定的．多普勒效应是指由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，它是奥地利物理学家多普勒在1842年发现的．

1、当波源和观察者相对介质都静止不动．

即二者没有相对运动时单位时间内波源发出几个完全波，观察者在单位时间内就接收到几个完全波．观察者接收到的频率等于波源的频率．2、波源相对介质不动，观察者朝波源运动时（或观察者不动，波源朝观察者运动时）观察者在单位时间内接收到的完全波的个数增多，即接收到的频率增大．