自动控制基础第八章

第八章离散控制系统前面各章分析了连续控制系统，这些系统中的变量是时间上连续的；随着被控系统复杂性的提高，对控制器的要求也越来越高，控制的成本随着数学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；随着数字元件,特别是数字计算机技术的迅速发展，采样控制系统得到了广泛的应用；在采样控制系统中,有一处或多处的信号不是连续信号,而在时间上是离散的脉冲序列或数码,这种信号称为采样信号。第8章离散控制系统8-1离散控制系统的基本概念基本内容8-2信号的采样与恢复8-3离散系统的数学模型8-4离散系统的稳定性分析8-5离散系统的稳态误差分析8-6离散系统的动态分析8-7离散系统的校正基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换,了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。熟练掌握Z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。二、数字控制系统一、采样控制系统8.1离散控制系统的基本概念计算机控制系统的优点：1、有利于实现系统的高精度控制；2、数字信号传输有利于抗干扰；3、可以完成复杂的控制算法，而且参数修改容易；4、除了采用计算机进行控制外，还可以进行显示，报警等其它功能；5、易于实现远程或网络控制。采样控制系统也是一类动态系统；该系统的性能也和连续系统一样可以分为动态和稳态两部分；这类系统的分析也可以借鉴连续系统中的一些方法，但要注意其本身的特殊性；采样系统的分析可以采用Z变换方法，也可以采用状态空间分析方法。1、采样：把连续信号变成脉冲或数字序列的过程叫做采样；2、采样器：实现采样的装置，又名采样开关；3、复现：将采样后的采样信号恢复为原来的连续信号的过程；4、采样方式：（1）等周期采样：（2）多阶采样：采样是周期性重复的（3）多速采样：有两个以上不同采样周期的采样开关对信号同时进行采样（4）随机采样：采样是随机进行的,没有固定的规律8.2信号的采样与复现一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程实现上述采样过程的装置称为采样开关一个连续信号经采样开关变成了采样信号采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和系统的时间常数可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可得采样后的采样信号采样信号只在脉冲出现的瞬间才有数值，采样过程可以看做是一个调制过程。二、信号的频谱时域信号的傅立叶级数各次谐波的幅值在频率轴上的分布谱。其中周期为T的时域函数f(t)=f(t-KT)的傅立叶级数展开为周期函数的傅立叶级数为拉氏变换将jω代替s得到采样函数的傅立叶变换采样后信号频谱是以s为周期的。三、采样定理采样时间满足什么条件？才能复现原信号！连续信号在时域上是连续的，但频域中的频谱是孤立的；连续信号采样之后，具有以采样角频率为周期的无限多个频谱。采样信号的频谱采样定理：为使采样后的脉冲序列频谱互不重叠，采样频率必须大于或等于原连续信号所含的最高频率的两倍，这样方可通过适当的理想滤波器把原信号毫无畸变的复现出来。

香农定理的物理意义是：满足香农定理的采样信号中含有连续信号的信息，该信息可以通过具有低通滤波特性的滤波器复现出来。信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程四、信号的复现（零阶保持器）理想滤波器可以将采样信号恢复成连续信号；理想滤波器是物理上不可实现的，因此要寻找一种物理上可实现，特性上又接近于理想滤波器的设备——保持器。采样信号只在采样点上有定义,f*(KT)和f*((K+1)T)都是有定义的,但是在这两者之间的时间段上连续信号应该是什么样子呢?这就是保持器要解决的问题.可将展成如下泰勒级数时，各阶导数的近似值

由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若上式的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为零阶保持器:把采样时刻KT的采样值不增不减地保持到下一个采样时刻（K＋1）T。零阶保持器的输入和输出信号理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为由上式可知零阶保持器的传递函数零阶保持器的频率特性为相频特性为其幅频特性为其中零阶保持器的频率特性曲线如图所示，可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。零阶保持器的频率特性如图所示零阶除了允许主频谱分量通过之外，还允许一部分附加高频分量通过。因此复现出的信号与原信号是有差别的。线性连续控制系统可用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性能及稳态性能。对于线性采样控制系统则可用线性差分方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性能及稳态性能。Z变换是研究采样系统主要的数学工具，由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号的拉普拉斯变换。8.3离散系统的数学模型一、z变换对上式进行Laplace变换，得连续信号经采样后得到的脉冲序列为1.Z变换的定义引入一个新的复变量代入上式可得z变换的定义式如下称为的z变换，记作或由此可看出是关于复变量的幂级数。例8-1

求单位脉冲信号的z变换。

解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有2.Z变换的求解方法1）级数求和法例8-2

求单位阶跃信号的z变换。

解：设，则

该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式例8-3

求单位斜坡信号的z变换。

设，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z变换解：例8-4求指数函数的z变换。解：设，则例8-5设，求的z变换。解：上式两边求Laplace反变换，得再由例8-2和例8-4有2）部分分式法注意：不能直接将代入来求，因为是针对采样信号进行z变换。3、z变换的基本性质其中和为任意实数。1．线性性质：若和z变换为和，则证明：2．时域滞后性质若的z变换为，则证明：证明由于当时，，所以有3．时域超前性质若的z变换为，则证明4．复位移性质已知的z变换函数为，则证明：

例8－6试用复位移性质求的Z变换。

解5.初值定理和终值定理1初值定理：

设的z变换为，并且有极限存在，则

2终值定理：

设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则

例8－7设的Z变换为，试计算的终值。

解

四、z反变换z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作

z反变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意1部分分式法若象函数是复变量z的有理分式，且的极点互异，则可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）例8-8已知z变换函数求其z反变换。解：首先将展成部分分式2长除法对比式可知若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即例8-9已知z变换函数为求其z反变换。解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成3留数计算法由z变换的定义可知（8-43）设的极点为，则包围了的所有极点

（8-48）例8-8已知z变换函数为试用围线积分方法求z反变换。解：上式有两个极点和，且所以五、用z变换法解线性常系数差分方程1差分的定义假设在图8-3所示的采样系统中，模拟—数字转换器在离散时间对误差信号进行采样，并将瞬时值记为或，则的一阶前项差分定义为二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为2.差分方程的解法1）迭代法例8－10

试用迭代法确定，当输入序列为，初始条件时的直到的解序列。解

时，时，时，时，时，2）Z变换法例8－11

试用Z变换法求解，离散函数差分方程的解已知输入函数为解四、脉冲传递函数线性采样系统初始条件为零时,系统输出信号的z变换与输入信号的z变换之比,称为线性采样系统的脉冲传递函数,或简称为z传递函数。实际采样系统的输出信号通常是连续信号,为了应用脉冲传递函数概念,可在系统的输出端虚设一个同步采样开关,使输出成为采样信号。

实际采样系统设输入脉冲序列为由叠加原理可求出系统对脉冲序列的响应为

根据z变换的卷积定理，上式的z变换为

式中：G(z)、R(z)、C(z)分别为g(t)、r(t)、c(t)的z变换。

即采样系统脉冲传递函数为采样脉冲传函为连续系统的脉冲响应的Z变换系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。脉冲传递函数和连续系统的传递函数一样表征了采样系统的固有特性；它除了与系统的结构、参数有关系，还与采样开关在系统中的具体位置有关。2、开环脉冲传递函数1)开环脉冲传递函数的推导由此求该开环系统的脉冲传递函数。例8-12系统结构如图所示，其中连续部分的传递函数为解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为或由得查表得2)串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图8-15例8-13系统结构如图8-15所示，其中求开环脉冲传递函数。解：(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-16所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为图8-16串联环节间有采样开关的开环系统例8-14系统结构如图8-16所示，其中求开环脉冲传递函数。解：所以由于（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为

图8-17带零阶保持器的开环采样系统例8-15系统结构如图8-17所示，其中采样周期s求其开环脉冲传递函数。解：由于所以3、闭环脉冲传递函数图8-18闭环采样系统采样开关的输入和系统的输出分别为整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为例8-16闭环采样系统的结构如图8-18所示，其中采样周期秒，求闭环脉冲传递函数，若，求。解：对于阶跃输入函数有则输出信号的z变换为于是注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号的表达式。如图8-19所示的闭环采样系统（8-19）8.4离散控制系统的稳定性分析一、从s平面到z平面的影射关系由Z变换的定义若令则有S平面的左半平面，z的幅值在0和1之间变化，对应z平面单位圆内；S平面的虚轴，对应z平面的单位圆；当由变到时，图8-19从s平面到z平面的影射2Z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为系统闭环脉冲传递函数的所有极点位于Z平面上的单位圆内。或者说，所有极点的模都小于1,即，单位圆就是稳定区域的边界。2.劳斯(Routh)稳定判据在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。线性采样系统不能直接使用劳斯稳定判据，因为采样系统稳定边界是z平面上以原点为圆心的单位圆周，而不是虚轴。为能使用劳斯判据，可将z平面上单位圆周映射到新坐标系中的虚轴，这种变换称为w变换，或称双线性变换。引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。式中，z、w均为复变量，可分别写为

代入双线性变换公式，得w平面虚轴上的点对应于上式中实部为零的点，即

则设z平面上单位圆内(u2+v2＜1)对应着w平面实部为负数的左半平面。z平面上单位圆外(u2+v2＞1)对应着w平面实部为正数的右半平面。z平面与w平面的映射关系所示。例8-17设采样控制系统的方框图如图所示。采样周期T=1s,T=0.5s试求使系统稳定的K值范围。

解系统的开环脉冲传递函数为相应的闭环系统特征方程为将T=1s代入上式，得

进行w变换可求得w域系统的特征方程为

根据代数判据，闭环系统稳定条件为所以稳定时K的取值为

稳定时K的取值为

同理可得,T=0.5s时

开环增益K和采样周期T对采样系统稳定性有如下影响：(1)采样周期T一定时，增加开环增益K会使采样系统稳定性变差，甚至使系统不稳定。(2)开环增益K一定时,采样周期T越长，丢失的信息越多，对采样系统稳定性及动态性能均不利，甚至使系统不稳定。与连续系统类似地求稳态误差有两种方法：1)应用z变换终值定理计算稳态误差的终值；2)应用误差脉冲传递函数计算静态误差系数,进而得到稳态误差。8.5离散系统的稳态误差负反馈采样系统结构图在输入信号作用下，误差的z变换表达式为1当输入为阶跃函数时定义静态位置误差系数为则根据终值定理，有2当输入是斜坡函数时定义静态速度误差系数为稳态误差为3当输入是加速度信号时定义静态加速度误差系数为稳态误差为采样系统误差除了与系统的结构、参数和输入信号有关外，还与采样周期有关，缩小采样周期可以减小稳态误差。系统型别位置误差速度误差加速度误差0型I型0II型00试计算系统分别在单位阶跃、单位斜坡、单位抛物线函数输入时的稳态误差。解例8－18设离散控制系统的采样周期为0.2s，开环传递函数例8-19已知采样系统的结构如图所示，其中，，采样周期s，求在输入信号的作用下，系统的稳态误差。图8-21解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为该采样系统稳定在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入作用下的稳态误差为8.6离散控制系统的动态分析

一、离散系统的时域性能

设闭环采样系统的脉冲传递函数为式中M(Z)、D(Z)——闭环脉冲传递函数分子多项式和分母多项式

设pi——闭环极点

zj——闭环零点二、Z平面上的特征根与系统的响应性能当输入为单位阶跃信号时系统输出信号的z变换为

将上式展成部分分式可得式中：对上式进行z反变换，得采样系统输出采样信号为

上式右边第一项为系统的稳态响应分量，第二项为暂态响应分量。

显然,随极点在平面位置的不同，它所对应的暂态分量也不同。

实数极点：若实数极点分布在单位圆内，其对应的分量呈衰减变化。正实数极点对应的单调衰减，负实数极点对应的振荡衰减；共轭极点：有一对共轭复数极点pi与pi，即

当|pi|＞1时,ci(k)为发散振荡函数；当|pi|＜1时，ci(k)为衰减振荡函数,振荡角频率为i为共轭复数系数Ai的幅角。

暂态响应与极点位置关系

1)当闭环脉冲传递函数的极点位于z平面上以原点为圆心的单位圆内时,其对应的暂态分量是衰减的。2)要使控制系统具有比较满意的暂态响应,其闭环极点应尽量避免分布在Z平面单位圆内的左半部,最好分布在单位圆内的右半部。3)极点尽量靠近坐标原点,相应的暂态分量衰减速度较快。4)离单位圆周最近且附近无闭环零点的共轭复数极点为主导极点。例8－20试求下图所示离散控制系统的阶跃响应脉冲序列。

8.7离散控制系统的校正

一、离散系统的根轨迹校正

1.Z平面的根轨迹

2.Z平面上的等ζ线、等线和等线

（1）Z平面上的等ζ线

（2）Z平面上的等线

（3）Z平面上的等线

曲线如图8-33中的经向曲线（纵向曲线）所示。

3.离散系统的根轨迹校正举例例8－20数字控制系统的采样周期为0.1s，试通过Z平面的根轨迹校正设计控制器的脉冲传递函数，使系统脉冲响应的超调量，峰值时间。解

图8-37校正后的根轨迹图8-38校正后系统的响应序列二、脉冲控制器的数字实现

时，等式右是存储器保存的输出量的过去值、输入量的过去值和输入量的当前值。时，等式右端含有输入量未来时刻的单项，无法计算当前采样点的输出值，属不可实现的脉冲控制器。8.