自动控制理论课件7-5

7.7离散控制系统的稳态性能分析

对于离散系统来说，影响稳态误差的因素除了系统连续部分的结构、参数和外部输入信号外，稳态误差还与采样开关的位置、采样周期的大小有关。7.7.1利用终值定理求稳态误差稳态误差定义为：若E(z)的全部极点在z平面的单位圆内（或在z=1处)。则由终值定理求得7.7.2离散系统的型别与静态误差系数分析典型输入信号作用下的稳态误差与系统结构、参数的关系。将开环脉冲传递函数G(z)中包含的z=1极点个数ν定义为系统的型别。

1.当输入信号为单位阶跃函数时的稳态误差

定义静态位置误差系数

可见，当时，有，则2.当输入信号为单位斜坡函数时的稳态误差

定义静态速度误差系数

可见，当时，有，则3.当输入信号为单位加速度函数时的稳态误差

定义静态加速度误差系数可见，当时，有，则系统型别ν静态误差系数稳态误差0非零有限值

00∞∞Ⅰ∞非零有限值00∞Ⅱ∞∞非零有限值00Ⅲ∞∞∞000系统静态误差系数、稳态误差与典型输入、系统型别之间的关系

已知采样系统结构如图所示。采样周期T=0.2秒，输入信号

试用静态误差系数法，求该系统的稳态误差。

解：

Ⅱ型系统例7-36为应用终值定理，须判别系统的特征根是否在单位圆内。特征方程：

两个闭环极点，系统是稳定的。

整理得到7.8根轨迹和频率特性在离散系统分析中的应用

1.根轨迹法

线性离散系统的开环脉冲传递函数为：

系统的闭环特征方程为幅值方程和相角方程为（根轨迹方程）2.频率特性法首先利用w变换将系统的开环脉冲传递函数变成称为虚拟频率。

令

,得到开环虚拟频率特性

绘制系统的开环对数幅频特性曲线相频特性曲线按照绘制的对数频率特性曲线，可以用连续系统中的分析方法判断离散系统的稳定性，计算幅值裕量和相位裕量，确定静态误差系数，以评价系统的瞬态性能和稳态性能。也可以用尼柯尔斯图求得闭环频率特性，然后计算系统的谐振峰值、谐振频率及带宽等频域性能指标。虚拟频率和实际频率之间具有关系：

根据幅值方程和相角方程，可以用连续系统根轨迹的作图法则，作出离散系统的根轨迹。需要注意的是，在连续系统中，决定系统临界稳定状态的是根轨迹与s平面虚轴的交点，而在离散系统中，决定系统临界稳定状态的是根轨迹与z平面上单位圆的交点。7.9线性定常离散系统的数字校正

线性定常离散系统设计中，常用的性能指标有两类：第一类指标与连续系统的大致相同，包括瞬态性能指标、稳定裕量、静态误差系数、频域性能指标等。瞬态性能指标有时也通过闭环主导极点的位置或阻尼比的形式给出。第二类指标是离散系统特有的，要求系统在典型输入信号作用下，具有零稳态误差和最小时间响应。与连续系统一样，离散系统也可以采用串联校正、局部反馈校正和复合校正几种方式。本节介绍串联数字控制器的设计。7.9.1数字控制器的模拟化和离散化设计方法1.数字控制器的模拟化设计方法数字控制器由于连续信号经采样后再经过保持器可恢复连续信号，因此，采样器与相邻保持器的作用可忽略，这时离散系统可以等效为连续系统。只要按照连续系统的校正方法求出连续校正装置的传递函数Gc(s)，然后进行离散化。若采样周期T取的很小，也可以近似为2．数字控制器的离散化设计方法用离散化方法设计数字控制器，首先需要对系统中的连续部分离散化，求出未校正系统的开环脉冲传递函数，然后选择合适的D(z)使校正后的系统满足设计要求。离散化设计方法可以有以下三种：

z域的根轨迹设计法

w域的频率特性设计法

z域的直接设计方法连续系统校正方法在离散系统中的推广

根据离散系统性能指标的要求，确定Φ(z)或Φe(z),然后利用公式求出D(z)。

或者7.9.2最少拍无差系统的设计称一个采样周期为一拍。所谓最少拍无差系统是指在典型输入信号作用下，能够以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。

常见的典型输入信号及其它们的Z变换分别为：具有的一般形式：

最少拍无差系统的设计方法：首先选择闭环脉冲传递函数Φ(z)或Φe(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零。然后根据Φ(z)、Φe(z)确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。是不含因子的多项式。使稳态误差为零的条件是Φe(z)中包含有的因子，即F(z)为不含因子的多项式。为满足瞬态过程在最少拍结束的要求，需要选择合适的F(z)，使Φe(z)的全部极点均位于Z平面的原点，且所含z-1项数最少。如果G(z)不含延迟环节z-1及Z平面单位圆上或单位圆外的零极点，则可以取F(z)=1。这时就有说明瞬态响应只经过m拍就进入稳态且误差为零。下面讨论最少拍系统在不同典型输入信号作用下，数字控制器D(z)的确定方法。1.输入为单位阶跃信号即m=1,A(z)=1调节时间

可以取2.输入为单位斜坡信号即m=2,调节时间

可以取调节时间

3.输入为单位加速度信号即m=3,可以取7.9.3数字控制器的实现为了使求出D(z)的是物理可实现的，在最少拍系统设计中，Φ(z)及Φe(z)的选择应遵循以下原则：

D(z)应是有理多项式分式，其极点的数目应大于等于零点的数目；

Φe(z)应把G(z)在单位圆上及单位圆外的极点作为自己的零点；

Φ(z)应把G(z)在单位圆上及单位圆外的零点作为自己的零点，当G(z)中含有因子z-1

时，要求Φ(z)也含有相同个数的z-1因子；由于，和应为阶次相同的的多项式，且还应成为包含常数项等于1的的多项式。在最少拍无差系统设计中，如果G(z)含有时间延迟因子z-1及单位圆上或单位圆外的零极点，就不能直接应用上面的结果。必须对Φ(z)和Φe(z)的选择加以限制，否则将造成D(z)实现上的困难。根据上述原则，当G(z)含有单位圆上及单位圆外的零极点以及延迟因子z-1时，选择Фe(z)时，不能再取F(z)=1，而应使F(z)的零点能够补偿G(z)在单位圆上及单位圆外的极点。此时，系统的调节时间要延长，从而变成准最少拍系统。

例7-37设单位负反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为其中采样周期为T=1(s)。若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试求出数字控制器脉冲传递函数D(z)。

解：

系统的开环传递函数

最少拍系统应具有的闭环脉冲传递函数和误差脉冲传递函数分别取

有m=2,输入为单位斜坡信号时，数字控制器脉冲传递函数为系统单位斜坡响应：系统单位斜坡响应的瞬态过程在第二拍结束。从第二拍开始，采样时刻的稳态误差达到零。数字控制器的计算机程序实现算法

在数字控制系统中，数字控制器D(z)又称为数字补偿器或数字滤波器，其脉冲传递函数一般形式为对上式取Z反变换，并经过整理得数字控制器的计算机程序实现算法可见，若实现其描述的校正规律，除了需要当前采样时刻信息e(kT)外，还需要从计算机存储单元调用过去采样时刻的信息。试写出上面的例子中数字控制器D(z)的程序实现算法。

解：

例7-38与连续系统一样，离散系统所要研究的问题也主要包括模型方法、系统性能分析方法和校正方法。为了保证连续信号经采样后能够恢复，要求采样频率必须大于等于原连续信号所含有的最高频率的两倍，即满足香农采样定理。信号恢复需要的理想滤波器一般通过零阶保持器近似实现。

描述离散系统的时域数学模型是差分方程，经过Z变换可以获得离散系统的z域模型，即脉冲传递函数，其重要作用与连续系统的传递函数相同。由于离散系统中采样开关配置的多样性，离散系统不具有连续系统结构图化简的一般规则。由离散系统的结构图求脉冲传递函数一般可通过列写变量之间的代数关系方程来求解。

线性离散系统稳定的充分必要条件是：离散特征方程的全部特征根均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内。通过z域到w域的映射，连续系统的劳斯判据可以在w域中直接用来判断离散系统的稳定性。离散系统的稳定性除了与系统固有的结构和参数有关，还与系统的采样周期有关。本章小结

离散控制系统的动态性能分析可以采用时域法、根轨迹法和频率特性法。时域分析法是利用Z变换求解系统的离散输出响应，近似计算系统的的动态性能。与连续系统类似，离散系统的闭环极点在z平面上的位置与系统的动态响应形式有明确的关系。在设计离散系统时，将闭环极点安置在z平面右半平面的单位圆内，并且尽量靠近原点，可以提高系统瞬态响应速度，并且减少高频振荡的幅值和频率。

在离散系统中，影响稳态误差的因素更为复杂。稳态误差的大小除了与系统连续部分的结构、参数以及系统外部输入信号有关，还与采样开关的位置、采样周期的大小有关。离散系统的静态误差系数反映了系统跟随相应的典型输入信号时的稳态精度。

设计离散控制系统的数字控制器可以采用模拟化方法和离散化方法。模拟化设计方法就是按连续系统理论设计连续校正装置，再将该校正装置离散化。离散化设计方法则在z域中直接设计数字控制器。本章主要介绍如何用直接数字设计方法设计最少拍无差系统，使系统的输出在有限的若干拍内实现对典型输入信号的完全跟踪。MATLAB在离散控制系统中的应用1．脉冲传递函数在MATLAB中的表示零极点增益形式的脉冲传递函数：

多项式分式形式的脉冲传递函数：

脉冲传递函数两种形式之间的转换2．连续系统模型与离散系统模型之间的变换函数c2dm(

)用于将连续系统模型变换成离散系统模型，函数d2cm(

)用于将离散系统模型变换成连续系统模型。两个函数的调用格式如下：numd表示离散系统脉冲传递函数的分子多项式系数；dend表示离散系统脉冲传递函数的分母多项式系数；num表示连续系统传递函数的分子多项式系数；den表示连续系统传递函数的分母多项式系数；T表示采样周期；‘method’表示采用的离散化方法，有5种方法选择。该参数的默认值为‘zoh’，即零阶保持器法，表示在连续系统传递函数之前带有零阶保持器；用‘matched’表示采用零极点匹配法。3.求闭环系统的脉冲传递函数函数feedback()

可用于连续系统，也可用于离散系统。对于sys=feedback(sys1,sys2,sign)[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)sys1表示G(z)，sys1表示H(z)，num1和den1分别是sys1的分子和分母多项式系数，num2和den2分别是sys2的分子和分母多项式系数。Sign取+1表示正反馈，取-1表示负反馈，负反馈时可省略。函数feedback()的调用方法：函数dstep()求单位阶跃响应函数dimpulse()求单位脉冲响应函数dlsim()求任意给定输入的响应

4.求离散系统的时间响应函数的调用格式如下：[y,x]=dstep(numd,dend,n)或dstep(numd,dend,n)[y,x]=dimpulse(numd,dend