自动控制-02控制系统数学模型1潘丰徐颖秦

第二章控制系统的数学模型2.1线性微分方程的建立及求解2.2传递函数

定义、性质、典型元件及典型环节传函2.3控制系统的结构图及信号流图组成、绘制、梅逊公式2.4控制系统的传递函数

开环、闭环传函引言

要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程z域（z）模型脉冲传函频域（ω）模型频率特性复域（s）模型传递函数§2.1.1

建模方法：分析法、实验法§2.1控制系统的微分方程黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）

具体方法：最小二乘(曲线拟合)法、神经元网络法、模糊模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。

实验法（黑箱法、辨识法、逼近法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。

分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。

建模（微分方程）步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化。左“出”=右“入”，且各微分项均按降幂排列。见P19公式（2-8）所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律——如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等。[例2.1]如图2.1所示，写出RC滤波电路的微分方程。解：明确输入量，输出量第一步：环节数学表达式第二步：消去中间变量i＋－urucRC图2.1RC滤波电路该电路为一阶系统【例2.2】如图2.2所示，写出RLC振荡器电路的微分方程。解：＋－urucRC图2.2RLC振荡器电路Li解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：该电路为二阶系统§2.1.1线性定常微分方程的求解

一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。数学工具——拉普拉斯变换与反变换⑴定义

初始条件为零时，连续函数f(t)的拉氏变换F(s)为：拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）F(s)的原函数，即拉氏反变换为：（2）方法

初始条件为零时，可令连续函数中：变量字母：小写→大写自变量：t→s遵循线性定理：加、减符号，系数不变。

位移定理

延迟定理终值定理

将F(s)化成下列因式分解形式：⑶拉氏反变换定义表达式：f（t）=L-1[F(s)]方法：简单函数-直接查表；复杂函数-部分分式展开，再查表（P284）。待定系数工程上常用的典型函数及其拉氏变换原函数：f(t)

脉冲（t）单位阶跃1（t）速度加速度指数正（余）弦象函数F（s）

1§2.2非线性数学模型的线性化

——微小偏差法（略）

2.3.1传递函数的定义和主要性质

定义：零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设n阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)§2.3传递函数※式中：c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量；各系数均是常数。设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得到：

基本性质：性质1传递函数的概念只适于线性定常系统。性质2传递函数是一种动态数学模型，取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映系统内部的任何信息

。性质3G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。

传递函数是复变量的有理真分式，即n≥m，具有复变函数的所有性质。对于实际系统来说，且所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。

若r(t)=δ(t)，则：R（s）=1

c(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]=L-1[G(s)]=g(t)

性质7传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)

脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应。

性质8传递函数G(s)的零点zi

和极点pl为传递函数的零、极点（根轨迹）表达式K*---零、极点增益（根轨迹增益）2.2.2

典型环节的传递函数

任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的；而环节则是由各种不同的元件组成。

常用的电路元件如下：-z2/z1运放A1/Cs电容CLs电感LR电阻R传递函数微分方程常用元件为元件对应的复阻抗

于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是该电路网络的复阻抗。如例2.1RC滤波器电路，由微分方程求得传函为：其中：T=RC为电路时间常数由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：如例2.2：RLC振荡器电路，由微分方程求得传函为：由常用的六种典型环节组成的系统传表达式函如下：比例环节滞后环节一阶微分环节（m个）积分环节（ν个）惯性环节（q个）振荡环节（n-v-q）个1.比例环节(P调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：线性电位器、运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。式中:K-比例系数（增益）2.惯性环节式中:T-时间常数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，即有延迟。实例：RC滤波电路网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。3.积分环节（I调节器）特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能，一般用于改善系统的稳态性能，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。4微分环节理想微分（D调节器）：一阶微分（比例微分或PD调节器）：特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有超前控制的作用，一般用于改善系统的动态性能。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。5.振荡环节式中ζ——阻尼比；T——时间常数

ωn——无阻尼自然振荡角频率（rad/s）6.延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中：——延迟时间常数说明：实际的控制系统都含有滞后环节，只是一般延迟时间常数较小，可忽略不计。实例1.P调节器如：电位器、运算放大器、各种线性传感器、变速器、测速发电机、杠杆、齿轮等。2.PI调节器电路-Ui(s)Uo(s)R11/Cs(b)PI调节器R23.PD调节器4.PID调节器§2.3控制系统结构图及系统传函2.3.1控制系统结构图的组成G(s)R(s)C(s)（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间的函数关系。(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置图2.7引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1sG)(2sG注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图2.6比较点示意图示意图X1X1X2+X2-X3X3-注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2控制系统的传递函数(1)

前向通道传函--假设D(s)=0

前向通道：E(s)→C(s)

G1(s)G2(s)H(s)C(s)图2.8

典型的控制系统结构图控制对象控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系统结构图(2)

反馈通道传函--

假设D(s)=0

反馈通道：C(s)→B(s)传函：反馈信号与输出信号之比，即：Ｈ(ｓ)＝１时称为单位反馈。（3）开环传函--

假设D(s)=0

开环通道：E(s)→B(s)传函：反馈信号与误差信号之比。

即：（4）闭环传函——两种输入信号对输出响应的传函G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系统结构图可简化为其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道传函１+开环传函

给定闭环传函：假定D(s)=0，R(s)

Cr(s)

典型控制系统结构图可等效为G２(s)H(s)Cd(s)Ｄ(s)G1(s)其中：G(s)=G1(s)G2(s)

扰动闭环传函：假定Ｒ(s)=0，D(s)

Cd(s)

系统总相应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)2.3.3

控制系统结构图的绘制一般步骤确定系统的输入、输出变量由输入到输出绘制各组成环节（元件）的微分方程根据信号流向由输入到输出连接各环节（元件）的传函方框图列写各环节（元件）的拉氏变换方程并绘制对应的传函方框图方程中