自动控制原理复习

自动控制原理复习

2014.9

第2章控制系统的数学模型

◆控制系统数学模型的基本形式

●微分方程式：

描述控制系统运动的最基本的数学表达式（时间域）

●传递函数：

线性定常连续控制系统输出变量的拉普拉斯变换与

输入变量拉普拉斯变换之比（复频域）

●图形形式：

框图

信号流图◆举例

例2-1已知系统框图，求传递函数。

可以有两种方法求系统的传递函数

●框图简化

●转化成信号流图再利用梅逊公式

▲框图简化

⑴框的并联：框和框并联，可以合并成

一个框，即；

⑵移动求和点：将之前的求和点移动到

之后，在框后乘一个；

⑶两个求和点合并成一个；

⑷合并并联框：框和框合并成

⑸反馈回路计算

⑹最后的系统的传递函数为

▲转化成信号流图（略）

答案见《控制工程基础习题解答》

梅逊增益公式

表示所有不同回路的传递函数的和；

表示所有每两个互不接触的回路的传递函数的乘积之和；表示所有每三个互不接触的回路的传递函数的乘积之和；

是从输入节点到输出节点的第条前向通路的传递函数；被称为信号流图的余子式，它是在信号流图特征式中将与第条前向通路接触的所有回路的传递函数置为0所得的结果。

第3章线性控制系统的运动

◆线性系统的典型时间响应

●典型输入信号

单位冲激信号单位阶跃信号单位斜坡信号单位抛物线信号

●典型输出响应

▲单位冲激响应

▲单位阶跃响应

◆稳定性和劳斯稳定性判据

●线性定常连续控制系统稳定的充分必要条件

▲微分方程的特征方程的根全部位于复数平面的

左半平面

▲传递函数的所有极点都具有负实部

●劳斯稳定性判据

特征方程的各项系数符号相同（必要条件）；

劳斯阵列内第一列中各个元的数均为正数。

如果系统不稳定，特征方程中具有正实部的根的

数目等于第一列中各个元的符号的改变次数。

●劳斯判据的应用

▲判断系统的稳定性（绝对稳定性）

▲确定参数的稳定域（满足稳定的参数取值范围）◆稳定系统响应的性能指标

●稳态性能指标

▲稳态误差

▲静态误差系数

*静态位置误差系数

*静态速度误差系数

*静态加速度误差系数

●稳态误差与系统的型

▲0型系统

*

阶跃输入

*

斜坡输入、抛物线输入

▲Ⅰ型系统

*

阶跃输入

*

斜坡输入

*

抛物线输入

▲Ⅱ型系统

*

阶跃输入、斜坡输入

*

抛物线输入

●瞬态性能指标

▲上升时间

▲峰值时间

▲超调量

▲调整时间

▲延迟时间

◆一阶系统的响应

●传递函数

●单位阶跃响应

●单位冲激响应

◆二阶系统的响应

●传递函数

●单位阶跃响应（欠阻尼）

●单位冲激响应（欠阻尼）

●标准二阶系统的瞬态响应指标

▲上升时间：

▲峰值时间：

▲超调量或：

▲调整时间：

，（5%误差带）

，（2%误差带）

◆举例

例3-1已知单位反馈控制系统的开环传递函数为

欲使系统对于单位斜坡输入的稳态误差为，

单位阶跃输入的超调量为，求参数和

的值，并求上升时间和调整时间。

解：

⑴求

由于要求单位斜坡输入时，而

因此可以求得。⑵求

系统的闭环传递函数为

由于要求，则由可以求得

现取，，则有

，

于是可以求得，。

则

，

第4章频率响应分析

◆频率响应特性概念

◆对数坐标图（伯德图-BODE图）及系统的频域

性能指标：穿越频率和稳定裕度

▲对数幅频特性图和对数相频特性图

*横坐标：频率轴（ω轴）

对数刻度，单位为：（弧度∕秒）

*纵坐标：

幅值轴（对数幅值）

线性刻度，单位为：（分贝）

相角轴（相角）

线性刻度，单位为：（度）或（弧度）

▲复杂系统伯德图的绘制

⑴将传递函数化成标准形式，即基本单元串联的形

（基本单元传递函数相乘），求出基本单元和相

关转角频率；

⑵将各个转角频率按照由小到大的顺序排列，并在

伯德图的频率轴上做出标记；

⑶绘制低频渐近线。当时，频率特性相当于

所以低频渐近线只由增益和积分单元决定；

⑷绘制更高频段的折线幅频特性。▲由系统开环对数幅频特性图求最小相位系统的

传递函数举例

例4-1已知最小相位系统的开环对数幅频特性图

如下图所示

⑴求系统的开环传递函数；

⑵设系统为单位负反馈，求系统的闭环传递函数；

⑶求系统的增益穿越频率和相角稳定裕度。

解：

⑴图中，低频渐近线的斜率为，表明

系统包含一个积分单元；在、、

处斜率变化，表明系统包含

转角频率分别为上述数值的3个惰性单元；在

处斜率变化表明系统包含

1个转角频率为的比例微分单元；系统

还可能包含比例单元。因此可以初步确定系

统的开环传递函数为

求增益

○求处的对数幅值

即

○求得

则系统的开环传递函数为

或者

则

求得

⑵系统的闭环传递函数为

⑶求和

●极坐标图及乃奎斯特稳定性判据

（幅相频率特性、乃奎斯特图）

▲极坐标图的绘制

把频率特性函数的幅值和相角画在同一张图上

频率特性函数为

*时的起始点

*时的结束点

*曲线和坐标轴的交点

*当开环传递函数包含积分单元时曲线的绘制

从到部分无穷大半圆的绘制

▲乃奎斯特稳定性判据

控制系统开环频率特性图对平面点

逆时针包围的周数等于系统在右半平面开环

极点的数目

▲举例

例4-2已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

试绘制系统频率特性的极坐标图，并用乃奎斯特

稳定性判据求使系统稳定的值范围。

解：

⑴系统的开环频率特性函数为

⑵绘制极坐标图

当时，

当时，

当时，的极坐标图从第二象限

方向沿渐近线出发，在第三象限以与

负虚轴相切趋于原点。

由，解得当时，，

即曲线与实轴交于点。

或者令

即

解此三角函数方程同样可以求得，

代入幅值求得。

据此便可画出系统的极坐标图。

⑶求使系统稳定的的取值范围

系统有一个位于右半平面的开环极点，为使

系统稳定，系统的乃奎斯特曲线应逆时针包围

点一周。所以应有

解得

因此，为使系统稳定，应满足

第5章控制系统的频域校正

◆串联超前校正装置的设计

●基本思想：超前校正的主要作用是提高系统的

稳定性和加快系统的响应速度，其原理是最大

限度地利用超前校正装置所能提供的超前角。

设计过程中的主要任务是选择超前校正装置的

转角频率以及它们之间的距离，它们之间的距离

越大，所能提供的最大超前角越大。使产生最大

超前角的频率和校正后系统的增益穿越频率接近，

以充分提高系统的相角裕度。

（利用相位超前校正装置的超前相角，补偿原系统相角稳定裕度

的不足。因此，应将产生最大相位超前角的频率定为校正后系统的幅

值穿越频率。）

●设计步骤：

(1)根据稳态误差要求确定开环传递函数的总增益，

其中可以包括校正装置传递函数的增益；

(2)画出增益校正后的系统的伯德图，如果相角稳定

裕度太低，而且也不宜降低增益穿越频率，则可

考虑进行超前校正。计算超前校正装置应当提供

的最大超前角（注意要适当地留有余量）。

(3)计算超前校正装置的分度系数，计算公式为

⑷确定校正后系统的增益穿越频率，即校正装置产

生最大超前角的频率。此频率是在未校正系统对

数幅频图上幅值等于处的频率。

⑸确定超前校正装置的转角频率，即计算和：

⑹校核。

●举例（略）

◆串联滞后校正装置的设计

●基本思想：滞后校正的主要作用是提高系统的

稳态精度，其原理是在基本上不改变未校正系统

稳定裕度（即不改变未校正系统中频特性）的

情况下，提高低频增益。设计过程中的主要任务

是选择滞后校正装置传递函数的转角频率以及

它们之间的距离。为了使滞后校正装置产生的

滞后角不降低系统的稳定性（不使系统的相角

裕度减小），它的转角频率必须比校正后系统的

增益穿越频率要低得多，它的两个转角频率之间

的距离越大，低频增益的允许提高量也越大，

系统的稳态精度也就越高。●设计步骤：

⑴根据给定的稳态性能要求（稳态误差），确定

校正后系统开环传递函数的总增益，其中可以

包含校正装置传递函数的增益。

⑵画出增益校正后（或未校正）系统的对数幅频

特性图，根据相角稳定裕度的要求，在留有一定

余量的条件下（适当增加余量），选择

校正后系统的增益穿越频率。

⑶选择滞后校正装置传递函数频率特性中较高转角

频率为。

⑷根据校正后系统增益穿越频率处的对数幅值，

确定滞后校正装置传递函数中的参数。⑸校核。

（或者当原系统的相角裕度已经满足要求，只是

稳态精度较低，不满足给定的要求。这时可以利用

滞后校正装置的低通滤波特性，抬高原系统对数

幅频特性的低频段，根据放大倍数需要提高的倍

数，确定滞后校正装置传递函数中的参数—即

分度系数。）

●举例（略）

◆串联超前滞后校正装置的设计（略）

第6章根轨迹方法及控制系统的校正

◆根轨迹概念

●控制系统开环传递函数中某一参数从零到无穷大

变化时，系统闭环特征方程的根在平面上运动

而形成的轨迹，成为控制系统的根轨迹。

●根轨迹法是根据系统开环传递函数的极点和零点

在平面上分布的条件下，绘制闭环特征方程根

的轨迹。

●根轨迹方程及绘制根轨迹的条件

（幅值条件）

（相角条件）◆根轨迹的基本性质（9条）

⑴对称性：关于实轴对称；

⑵分支数：等于系统特征方程的次数；

⑶起点和终点：起始于系统开环极点，终止于系统

开环零点；

⑷根轨迹上点所对应的增益

⑸实轴上的根轨迹：根轨迹区段右侧的开环极点和

零点总数为奇数；

⑹趋于无穷远根轨迹的渐近线：

渐近线与正实轴的夹角

渐近线与实轴的交点

⑺分离点和会和点：

即

的根，

或的根；

⑻根轨迹离开复数极点的出射角

根轨迹到达复数零点的入射角

⑼根轨迹与虚轴的交点：以代入系统特征

方程，令实部和虚部分别为零，即

解方程组求交点和临界增益；

或者利用劳斯稳定性判据。◆根轨迹的绘制举例

●普通根轨迹（常规根轨迹、一般根轨迹）的绘制

例6-1已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

绘制系统的根轨迹并求出系统为稳定的值范围。

解：

⑴系统有4个开环极点，，，，1个开环

点，根轨迹有4条分支。4条根轨迹分支起

始于4个开环极点，1条分支