考研定积分应用详解

第六章定积分的应用若能把某个量表示成定积分,我们就可以应用定积分计算这个量1(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为则(2)计算的近似值，而第i个(1)把区间[a,b]分成n个长度为的小区间得A的近似值,得A的精确值.回顾：曲边梯形的面积表示为定积分的步骤：abxyo2abxyo对以上过程进行简化:的面积，则取面积元素若用表示任一小区间上的窄曲边梯形这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”3一、定积分的元素法1.什么问题可以用定积分（元素法）解决?表示为1)所求量U是与区间[a,b]上有定义的f(x)

有关的2)U对区间[a,b]

具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;4第一步，根据具体情况，选取积分变量，确定x的变化区间[a,b].第二步，把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的称为量U的微元.第三步，写出定积分的表达式：近似表达式这个方法通常叫做元素法．元素的几何形状常取为:

条,带,段,环,扇,片,壳等先作图2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：53.使用元素法时应注意：

(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取的小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.61.直角坐标系下平面图形面积的计算梯形的面积为A.X型(2)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为上曲线下曲线二、定积分在几何学上的应用7(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy的面积A.Y型8总之9★回顾：极坐标系1.极坐标系的定义：在平面上取定一点o，叫做极点.从极点出发引一条射线Ox,叫极轴，并取定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向),这样就建立了一个平面极坐标系.x1234o.2.极坐标与直角坐标的互化xoyyx10过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程

过极点且倾角为的射线的极坐标方程为xoyxo.Mby极坐标与直角坐标的关系:轴的直线方程为过点M且平行于极3.几个常用曲线的极坐标方程xoyM(a,0)11xory圆极坐标方程oxy2aoxy2a圆极坐标方程圆极坐标方程122.极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线及围成的曲边扇形的面积.解:在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为133.已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则在小区间的体积元素为：立体体积为：上连续,xA(x)xab14(1)曲边梯形旋转一周围成的旋转体的体积为：(2)曲边梯形绕y轴旋转一周围成的旋转体体积为：4.旋转体的体积15abyxoxdx生成的旋转的体积.求旋转体体积x+dx内表面积：—柱壳法16abyxoxdx生成的旋转的体积.求旋转体体积—柱壳法x+dx底面积：17围成的曲边梯形绕y

轴旋转一周所以：由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线而成的立体的体积.而成的立体的体积.185.弧长(数1、数2)yxoab(2)参数方程(3)极坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小196.旋转体的侧面积(数1、数2)设平面光滑曲线求它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.积分后得旋转体的侧面积取侧面积元素:(注意在不同坐标系下ds的表达式)20X型Y型请熟记以下公式：21注意：1)以上公式都要求2)复杂图形应学会分割.3)不能用公式时应会元素法.4)若曲边梯形的曲边为参数方程则上述公式可以用定积分的换元法处理.5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程则可转化为直角坐标系下的参数方程：6)与弧长有关时,其限应上大下小.22解:典型例题分析23解:24xyoAB解：依题意有25例4.计算抛物线解：如图，求两曲线的交点26而成的旋转体的体积.分析：

无公式可用,可用元素法.如图:例5.

解法1:选择y作积分变量,解法2:选择x作积分变量,27思考:过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.解:

(1)设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线.该切线与故切线方程为1(2003考研)(1)求D的面积;(2)求D绕直线x

=e旋转一周所得旋转体的体积.28(2)求D绕直线x

=e旋转一周所得旋转体的体积.(2)切线、x轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为：曲线、x轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为：得旋转体体积为：129解:30解:31解:32解:33(1)求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.(2)计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.(3)计算摆线的一拱的长度.练习题：34提示:计算摆线平面图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解：绕x轴旋转而成的体积为P280例8用柱壳法求较好35证:设正弦线的弧长等于设椭圆的弧长等于例7.证明正弦线的弧长等于椭圆的周长.故原结论成立.36试用定积分求圆上半圆为下求体积:解:方法1利用对称性而成的环体体积V及表面积S.方法2用柱壳法例8.37上半圆为下解:求侧面积:试用定积分求圆而成的环体体积V及表面积S.例8.38解：如图立体的体积.例9.39例10.在x≥0时为连续的非负函数,旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则故40思考:求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)解：

利用对称性,故旋转体体积为在第一象限41回顾：变力沿直线所作的功二、定积分在物理上的应用设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从xa移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为解：4201x解:设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例1.用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1厘米,如果铁锤每次