线性代数第六章 线性空间及线性变换

2023/2/31第六章线性空间与线性变换

线性变换结束基、维数与坐标线性空间

定义1

设V是一个非空集合,R为实数域.八条运算规律(设

,,V;,R):的积,记作

;并且这两种运算满足以下总有唯一的一个元素V

与之对应,称为与=+;个元素V

与之对应,称为与的和,记作如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一又对于任一数R与任一元素V,1.定义一、线性空间的定义

(i)

+=+;

(ii)

(+)+=+(+);

(iii)

在V

中存在零元素0，对任何V,

(v)

1=;使+=0;

(iv)

对任何V,都有的负元素V,都有

+0=;

(vi)

(

)=();

(vii)

(+)=+

;

(viii)

(+)=+.

那么,V

就称为(实数域R上的)就称为线性运算。

简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,统称为(实)向量.

V

中的元素不论其本来的性质如何,线性空间，

例1

次数不超过n

的多项式的全体,记作P[x]n,即对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成只要验证P[x

]n

对运算封闭:项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故线性空间.这是因为,通常的多项式加法、数乘多二、举例解：所以

P[x

]n是一个线性空间.

例2

n

次多项式的全体对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空Q[x]n

对运算不封闭.间.这是因为0

p=0

xn+···+0

x+0

Q[x

]n,即

例3

正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性闭:满足线性运算规律,故只要验证S[x]对运算封空间.这是因为,通常的函数加法及乘数运算显然所以S[x

]是一个线性空间.

检验一个集合是否构成线性空间,当然不能则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,只检验对运算的封闭性(如上面两例).若所定义的

例4

正实数的全体,记作R+,在其中定义加法及乘数运算为加法:数乘:验证R+

对上述加法与乘数运算构成线性空间.

对加法封闭:

对任意的a,b

R+,有

证实际上要验证十条:

对数乘封闭:

对任意的R,aR+,有(i)(ii)

(iii)R+

中存在零元素1,对任何

a

R+,有

(iv)

对任何a

R+,有负元素a-1

R+,使

(v)

(vi)

(vii)

(viii)

因此,R+

对于所定义的运算构成线性空间.

下面讨论线性空间的性质.

性质1

零元素是唯一的.

三、线性空间的性质证明设01,02

是线性空间V中的两个零元素,即对任何

V,有

+01=,+02=.于是特别有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.即零元素是唯一的.

性质4

如果

=0,则

=0或

=0.

性质3

0=0;(-1)=-

;0=0.

性质2

任一元素的负元素是唯一的.

在第三章中,我们提过子空间,今稍作修正.

定义

设V

是一个线性空间,L

是V

的一因L

是V

的一部分,V

中的运算对于L

而言,规

一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?子空间.乘两种运算也构成一个线性空间,则称L

为V

的个非空子集,如果

L

对于V

中所定义的加法和数四、子空间律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的,因此因此我们有

定理

线性空间V

的非空子集L

构成子空间的充要条件是:L

对于V

中的线性运算封闭.满足规律(iii),(iv).但由线性空间的性质知,若L对运算封闭,则即能只要L

对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即可.

在第三章中,我们用线性运算来讨论

n

维数组这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性第二节、基、维数和坐标

在第三章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性,特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间.这是线性空间

定义2

在线性空间V

中,如果存在n

个元记作Vn.

维数为

n

的线性空间称为n

维线性空间,个基,n

称为线性空间V

的维数.那么,1,2,···,n

就称为线性空间V

的一线性表示.

(ii)V

中任一元素总可由1,2,···,n

(i)1,2,···,n

线性无关;素1,2,···,n

满足:

若知1,2,···,n

为

Vn

的一个基,则

Vn

这就较清楚地显示出线性空间Vn

的构造.并且这组数是唯一的.

=x11+x22+···+

xn

n

,何Vn,都有一组有序数x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n

为Vn

的一个基,则对任可表示为二、向量在基下的坐标

反之,任给一组有序数x1,x2,···,xn,总有组有序数来表示元素

.于是我们有之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这(x1,x2,···,xn)T

这样,

Vn

的元素与有序数组唯一的元素

=x11+x22+···+xn

n

Vn

.

定义3

设1,2,···,n

为线性空间Vn

=(x1,x2,···,xn)T

.1,2,···,n

下的坐标,并记作x1,x2,···,xn

这组有序数就称为元素在基

=x11+x22+···+xn

n

,有序数x1,

x2,···,xn

,使的一个基.对于任一元素Vn

,总有且仅有一组

例1

在线性空间

P[x]4

中,

p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4

就是它的一个基.任一不超过4次的多项式

p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

都可表示为

p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此

p

在这个基下的坐标为

(a0,a1,a2,a3,a4)T.

若另取一个基因此p

在这个基下的坐标为则

例2

在二阶实矩阵组成的集合构成一个线性空间

R2×2

中,为其一个基任意一个二阶矩阵可表示为

建立了坐标以后,就把抽象的向量与具体于是

=y11+

y22+···+yn

n,

=x11+x22+···+

xn

n

,

设

,Vn,有系起来:可把Vn

中抽象的线性运算与数组的线性运算联的数组向量(x1,x2,···,xn)T

联系起来了.并且还三、向量的运算

+

=(x1+y1)1+···+(xn+yn)n,

=(x1)1+···+(xn)n,即+

的坐标是

(x1,···,xn)T=(

x1,···,xn)T.

的坐标是

=(x1,···,xn

)T+(

y1,···,yn

)T

,(x1+y1,···,xn+yn)T

总之,设在

n

维线性空间Vn

中取定一个基因此,我们可以说Vn

与Rn

有相同的结构,我们称也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应.2.

(x1,···,xn)T,

1.+(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;

设

(x1,···,xn)T,(y1,···,yn)T,则个一一对应的关系,且这个关系具有下述性质:向量空间Rn

中的向量(x1,···,xn)T

之间就有一`1,2,···,n

,则Vn

中的向量与n

维数组Vn与Rn

同构.

由例1可见,同一元素在不同的基下有不同间

Vn

中的两个基,且有

设1,2,···,n

及1,2,···,n

是线性空

一、定义的关系呢?的坐标,那么,不同的基与不同的坐标之间有怎样基变换和坐标变换把1,2,···,n

利用向量和矩阵的形式,(1)式可表示为(1,2,···,n),这n

个有序元素记作(1)称为基变换公式,矩阵

P

称为由基由于1,2,···,n

线性无关,故过渡矩阵P

可逆.1,2,···,n

到基1,2,···,n

的过渡矩阵.

定理1

设Vn

中的元素,在基1,2,足关系式(1)则有坐标变换公式···,n下的坐标为(x1,x2,···,xn)T.···,n

下的坐标为(x1,x2,···,xn)T

,在基1,

2,若两个基满

二、坐标变换公式

例3

在P[x]3

中取两个基及求坐标变换公式.将1,2,3,4

用1,2,3,4

表示.其中由解得

故坐标变换公式为

用矩阵的初等变换求B-1A:行变换中的B

变成E,则A

即变成B-1A.计算如下:把矩阵(B,A)即得

练习：已知P[

x]3

的两个基:求坐标变换公式.规定多项式对应向量这是P[

x]3与R4

之间的一个同别对应于向量1,2,3,4,1,

2,3,4,则有构对应.设多项式p1,p2,p3,p4,q1,q2,q3,q4

分解：所以P=A-1B.

用矩阵的初等行变换来求A-1B.先求从基1,2,3,4

到基1,2,3,4

的过渡矩阵,即要用向量组1,2,3,4

表示向量组1,2,3,4.设过渡矩阵为P

,则有(1,2,3,4)=(1,2,3,4)P,记A=(1,2,3,4),B=(1,2,3,4),则上式可写为B=AP,初等行变换所以过渡矩阵P

为因此坐标变换公式为2023/2/344T(+)=T()+T()(2)对任意V,及任意实数k，有T(k)=kT()则称T为V到W的一个线性映射.

定义1:向量空间V到向量空间W一个映射T，

满足：

(1)对任意,V,有第三节线性变换2023/2/345T(+)=T()+T()(2)对任意V,及任意实数k，有T(k)=kT()则称T为V的一个线性变换.

定义2

向量空间V到自身的一个线性映射T，称为V的一个变换.若T

满足：

(1)对任意,V,有2023/2/346向量在T下的像,记为T()或T.2.用粗体大写字母T,A，B，C，表示线性变换,1.定义式中（1),(2）可合并为2023/2/347证：T(+)=(+)A=A+A=T+T设A为一n阶实矩阵，对任意Rn,令T=A,则T为Rn中的线性变换.T(k)=(k)A=k(A)=k(T)故T

为Rn中的线性变换.例1完2023/2/348V中两类特殊的线性变换：1.恒等变换EE=,V2.零变换OO=0

,V2023/2/349例2判定下列变换是否为上的线性变换解（1）是（2）不是2023/2/350定理1

设T是V的一个线性变换，则

(1)T把零向量变到零向量,把的负向量变到的像的负向量,即T0=0；T()=T.

(2)T保持向量的线性组合关系不变,即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.

(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.p91

(4）线性空间Vn中的线性变换T的像集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间。2023/2/351

定义3

设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合,定义L(V)中的加法，数乘与乘法如下：加法:(T1+T2)=T1+T2;数乘:(kT)=kT乘法:(T1T2)=T1(T2)对V,kR.注:若T1,T2

均为V的线性变换，则T1+T2，T1T2，kT均为V的线性变换.线性变换的运算p912023/2/352二、线性变换的矩阵T=k1T

1+k2T

2+…+km

T

m

设V为向量空间,dim(V)=m.

假设1,2,…,m

为V的一组基,T

为

V的一个线性变换.=k11+k22+…+kmm

上式告诉我们,只要知道基底的像,就可以知道任何向量在这组基底下的像了.2023/2/353T1=a111+a212+…+am1mT2=a121+a222+…+am2mTm=a1m1+a2m2+…+ammm……………即(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A其中简记为T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A（1）（2）设基底向量的像在该基底下的表示为2023/2/354定义:设T为向量空间V中的线性变换,

1,2,…,m为V的一组基,如果给定V的基1,2,…,m,线性变换T对应一个实矩阵A.(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A称矩阵A为线性变换T

在基1,2,…,m,下的矩阵.2023/2/355定理3

设V的线性变换T有(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A向量在基1,2,…,m下的坐标为

(x1,x2,…,xm)，T在此基下的坐标为

(y1,y2,…,ym),则2023/2/356=(1,2,…,m)A=x11+x22+…+xmmT=x1T

1+x2T

2+…+xmT

m=(1,2,…,m)证明：所以完2023/2/357设R3的线性变换T为T(x1,x2,x3)求T在标准基1,2,3下的矩阵.=(a11x1+a12x2+a13x3,a21x1+a22x2+a23x3,a31x1+a32x2+a33x3)例32023/2/358T1=T(1,0,0)=(a11,a21,a31)T2=T(0,1,0)=(a12,a22,a32)T3=T(0,0,1)=(a13,a23,a33)解：设T在标准基1,2,3下的矩阵为A.即=

a111+a212+a313=

a121+a222+a323=

a131+a232+a3332023/2/359故T

在标准基1,2,3

下的矩阵为完2023/2/360设R3的线性变换T为T(x1,x2,x3)求T在标准基1,2,3下的矩阵.=(2x1-x2,x2+x3,x1)解：设T在标准基1,2,3下的矩阵为A.即exe2023/2/361由于T1=T(1,0,0)T2=T(0,1,0)=(-1,1,0)T3=T(0,0,1)=(0,1,0)=(2x1-x2,x2+x3,,x1)=(2

,0,,1)完2023/2/362设R3的线性变换T为T(x1,x2,x3)求T在标准基1,2,3下的矩阵.=(kx1,kx2,kx3)=k(x1,x2,x3)解:由于T1=k1=(k,0,0)TT2=k2=(0,k,0)T,T3=k3=(0,0,k)T例4完2023/2/363特例：线性变换T=k

数量矩阵kE恒等变换T=

单位矩阵E零变换T=0

零矩阵O

1.由于线性变换与矩阵的对应,所以线性变换之间的运算(加法,数乘,乘法)对应于相应的矩阵之间的运算.2.线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组基的情况下建立的.基不同,矩阵也不同.2023/2/364在线性空间R3中线性变换T关于基的矩阵为A，其中(1)求T1,T2,T3.

1,

2,

3(2)若向量exe完2023/2/3652023/2/3661,2,…,m；1,2,…,m定理4

设向量空间V有两组基，分别为则B=C1AC证明：(1,2,…,m)B=T(1,2,…,m)(1,2,…,m)=(1,2,…,m)C且T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)AT(1,2,…,m)=(1,2,…,m)B=T

(1,2,…,m)C=(1,2,…,m)C1ACp93dli3=(1,2,…,m)AC

故

B=C1AC2023/2/367例5设线性变换求基与基在上述变换下的矩阵2023/2/368解2023/2/369线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为求T在基1=2e1+3e2+e3,2=3e1+4e2+e3

,3=e1+2e2+2e3下的矩阵.p94例62023/2/370故线性变换T在1,2,3下的矩阵B=C1AC解：从e1,e2,e3到1,2,3的过渡矩阵完2023/2/371

设平面直角坐标系xy逆时针旋转某角度后变为平面直角坐标系

,平面上任意向量的旧坐标和新坐标分别为(x,y)和,则新旧坐标之间的关系为

三.正交变换

定义3

欧氏空间V的线性变换T称为正交变换.若对任意,V,均有(T,T)=(,)

例72023/2/372oxyABCDEF完2023/2/373此映射为一个线性变换,它在标准基下的矩阵为并且为一个正交变换(通常称为坐标旋转变换),常记为.2023/2/374

定理2

设T是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：

(1)T是正交变换；

(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的V,||T||=||||;

(3)如果1,2,…,m是V的标准正交基,则T1,T2,…,Tm也是V的标准正交基；

(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.2023/2/375

定义4

设

T

是向量空间V

的一个线性变换,如果存在数

及n

维非零向量

,使得

T

=

成立,则称为T的一个特征值,而称为T

属于特征值

的一