组成原理第2章-运算方法及运算器

第2章数据表示和运算方法本章学习要点数据在机内的表示定点数加减乘除运算方法及运算器浮点数加减乘除运算方法及运算器序：编码与码制二进制八进制十六进制BCD码ASCII十进制二进制数便于计算机存储及物理实现特点：逢二进一，由0和1两个数码组成，基数为2，各个位权以2k表示二进制数：

anan-1…a1a0.b1b2…bm＝

an×2n＋an-1×2n-1＋…＋a1×21＋a0×20

＋b1×2-1＋b2×2-2＋…＋bm×2-m

其中ai，bj非0即1八进制数用于表达二进制数，相互转换简单基数8，逢8进位，位权为8k，8个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8十六进制数用于表达二进制数，相互转换简单基数16，逢16进位，位权为16k，16个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F十六进制数：

anan-1…a1a0.b1b2…bm＝

an×16n＋an-1×16n-1＋…＋a1×161＋a0×160 ＋b1×16-1＋b2×16-2＋…＋bm×16-m

其中ai，bj是0～F中的一个数码BCD码（BinaryCodedDecimal）二进制编码的十进制数一个十进制数位用4位二进制编码来表示常用8421BCD码：低10个4位二进制编码表示0～9压缩BCD码：一个字节表达两位BCD码非压缩BCD码：一个字节表达一位BCD码（低4位表达数值，高4位常设置为0）BCD码便于输入输出，表达数值准确BCD码（BinaryCodedDecimal）BCD码很直观BCD码：0100100101111000.000101001001十进制真值： 4978.149ASCII码（美国标准信息交换码）

标准ASCII码用7位二进制编码，有128个不可显示的控制字符：前32个和最后一个编码回车CR：0DH换行LF：0AH响铃BEL：07H可显示和打印的字符：20H后的94个编码数码0～9：30H～39H大写字母A～Z：41H～5AH小写字母a～z：61H～7AH空格：20H扩展ASCII码：最高D7位为1，表达制表符号表2.1ASCII字符编码表000000010010001101000101011001110000NULDELSP0@P`p0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2"2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB'7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;K[k{1100FFFS,<L\1|1101CRGS-=M]m}1110SORS.>N^n~1111SIUS/?O_oDEL0-3位4-7位汉字的输入编码数字编码国标区位码，用数字串代表一个汉字输入

拼音码以汉字拼音为基础的输入方法字形编码用汉字的形状（笔划）来进行的编码例如五笔字形汉字交换码汉字交换码是不同的汉字处理系统之间交换信息用的编码汉字也是一种字符1981年我国制定了《信息交换用汉字编码字符集基本集GB2312-80》国家标准（简称国标码）。每个汉字的二进制编码用两个字节表示。汉字内码汉字内码是用于汉字信息的存储、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示汉字内码有多种方案，常以国标码为基础的编码例如，将国标码两字节的最高位置1后形成汉字“啊”的国标码

3021H(0011000000100001)对应的汉字内码

B0A1H(1011000010100001)汉字的表示方法汉字的输入编码、交换码、汉字内码、字模码是计算机中用于输入、内部处理、交换、输出四种不同用途的编码，不要混为一谈.

显示输出打印输出机内码向字形码转换机内码输入码向机内码转换字符代码化（输入）校验码校验码：能够发现甚至纠正信息传输或存储过程中出现错误的编码检错码：仅能检测出错误的编码纠错码：能够发现并纠正错误的编码最简单且应用广泛的检错码：奇偶校验码奇校验：使包括校验位在内的数据中为“1”的个数恒为奇数偶校验：使包括校验位在内的数据中为“1”的个数恒为偶数（包括0）只能检测出奇数个位出错的情况，不能纠错例7：用奇校验和偶校验进行编码数据1010101001010100000000000111111111111111偶校验码101010100010101001000000000011111111111111110奇校验码101010101010101000000000001011111110111111111存在的意义八进制与十六进制数统称为组合二进制数，目的是为了书写方便，在计算机内的本质是相同的例如255海明码2.1数值数据在机内的表示

选择计算机内数值数据的表示方式需要考虑以下几个因素：

(1)符号如何处理

(2)数码的处理

(3)小数点的处理

(4)数据存储和处理所需要的硬件代价数值精确度可能遇到的数值范围要表示的数的类型(小数、整数、实数)2.1.1真值和机器数真值：现实中真实的数值机器数：计算机中用0和1数码组合表达的数值定点数：固定小数点的位置表达数值的机器数定点整数：将小数点固定在机器数的最右侧表达的整数定点小数：将小数点固定在机器数的最左侧表达的小数浮点数：小数点浮动表达的实数有符号数的表示符号占一位或两位，其它位为数值位+8：01000-8：11000定点表示法定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。通常将数据表示成纯小数或纯整数定点数x＝x0x1x2…xn在定点机中表示如下(x0表示符号位，0代表正号，1代表负号)定点表示法定点小数的小数点位置定点整数的小数点位置定点数例例：X=+1010110.纯整数：X=01010110.正数，符号位取0Y=-1101001.纯整数：Y=11101001.（原码）负数，符号位取1X=+0.11011Y=-0.10101符号位取0纯小数：X=0.11011符号位取1纯小数：X=1.10101（原码）定点整数的表示范围纯整数的表示范围为(x1x2…xn各位均为0时最小；各位均为1时最大，x0为符号位)

0≤|ｘ|≤2n

－1例如：n＝8，最大值编码：11111111

表示：11111111＝100000000－1

＝28－1目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算定点小数的表示范围纯小数的表示范围为(x1x2…xn各位均为0时最小；各位均为1时最大，x0为符号位)

0≤|ｘ|≤1－2-n例如，n＝8，最大值编码：0.11111111

表示：0.11111111＝1.0－0.00000001

＝1-2-8浮点表示法小数点位置随阶码不同而浮动1、格式:N=JE.M指数E基数J,取固定的值,比如10,2等尾数M2、机器中表示

阶符阶码数符尾数浮点表示法3、IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)规则规定了单精度(32)和双精度(64)的基本格式.规则中,尾数用原码,指数用移码(便于对阶和比较)32位单精度浮点数Ｅ：含阶符的阶码，8位阶码采用移码方式来表示正负指数Ｓ：1位符号位0表示正数1表示负数Ｍ：尾数，23位小数表示，小数点放在尾数域最前面IEEE754标准例：156.78 =15.678×101 =

1.5678×102 =0.15678×103=RE×M对于二进制数1011.1101 =0.10111101×2+4 =10.111101×2+2 =1.0111101×2+3（规格化表示法）

=1.0111101×2+11（规格化表示法）

=RE×M那么，计算机中究竟采用哪种数据形式？多种数据形式二进制数尾数最高有效位为1，隐藏，并且隐藏在小数点的左边（即：1≤M＜2）32位单精度浮点数规格化表示

ｘ＝(-1)s×(1.Ｍ)×2E-127

e＝Ｅ－127（Ｅ＝e＋127）

指数真值e用偏移码形式表示为阶码Ｅ规格化表示原则IEEE754标准④X＝(-1)s×1.M×2e

＝＋(1.011011)×23

＝＋1011.011＝(11.375)10②指数e＝阶码－127＝10000010－01111111

＝00000011=(3)10③包括隐藏位1的尾数1.M＝1.011011例1：浮点机器数(41360000)16，求真值①十六进制数展开成二进制数01000001001101100000000000000000S阶码E(8位)尾数M(23位)例2：真值20.59375，求32位单精度浮点数①分别将整数和分数部分转换成二进制数

20.59375＝10100.10011②移动小数点，使其在第1、2位之间10100.10011＝1.010010011×24e＝4S＝0E＝4+127＝131＝10000011M＝010010011③得到32位浮点数的二进制存储格式为：0

1000001101001001100000000000000＝(41A4C000)162.1.2数的机器码表示真值:一般书写的数机器码:机器中表示的数,要解决在计算机内部数的正、负符号和小数点运算问题原码反码补码移码原码表示法原码特点：表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单进行加减运算十分麻烦补码表示法定义：正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模计算机运算受字长限制,属于有模运算定点小数x0.x1x2…..xn，以2为模定点整数x0x1x2…..xn，以2n+1为模定点小数x0.x1x2…xn

x1>x≥00，正数

[x]补=符号

2+x0≥x>-11，负数补码表示法补码性质高位表明正负正数补码，尾数与原码相同范围-2n~2n-1(定点整数）变相补码(双符号补码)为了防止溢出而设定补码表示法

最大的优点就是将减法运算转换成加法运算

[X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补例如X=(11)10=(1011)2Y=(5)10=(0101)2已知字长n=5位[X]补-[Y]补

=[X]补+[-Y]补=01011+11011=100110=00110=(6)10

注：最高1位已经超过字长故应丢掉无正零和负零之分反码表示法定义：正数的表示与原、补码相同，负数的补码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示。电路容易实现，触发器的输出有正负之分。移码表示法移码的定义是：

[x]移=2n+x

例:-1011111

原码为11011111补码为10100001反码为10100000移码为00100001特点：移码和补码尾数相同，符号位相反范围:-2n~2n-12.3加减运算方法

补码加法运算补码减法运算溢出概念及检测方法基本的二进制加法/减法器十进制加法器2.3.1补码加法运算公式：[x]补+[y]补=[x+y]补（mod2）【例2-1】x=0.1010，y=0.0101，求

[x]补

+[y]补

=

？解:[ｘ]补＝0.1010,[ｙ]补＝0.0101[ｘ]补

0.1010+[ｙ]补

0.0101[ｘ＋ｙ]补

0.1111

所以x+y=0.11113)X=3Y=–21)X=3Y=22)X=–3Y=–24)X=–3Y=2例.求(X+Y)补3)X=3Y=–200001（+1补码）1)X=3Y=2X补=00011Y补=111102)X=–3Y=–2X补=11101Y补=1111011011（–5补码）X补=00011Y补=0001000101（+5补码）4)X=–3Y=2X补=11101Y补=0001011111（–1补码）例.求(X+Y)补

2.3.2补码减法运算

(X-Y)补

=X补

+(-Y)补操作码为“减”时，将减转换为加。1)X=4Y=–5X补=00100Y补=11011(-Y)补=0010101001（+9补码）2)X=–4Y=5X补=11100Y补=00101(-Y)补=1101110111（–9补码）例.求(X–Y)补Y补(–Y)补：将Y补变补不管Y补为正或负，将其符号连同尾数一起各位变反，末位加1。即将减数变补后与被减数相加。X补=00100Y补=11011X补=11100Y补=00101例1：求64–10，用补码做例2：求34–68,用补码做

例1：求64–10，用补码做解：设z=64–10=64+（-10）

[+64]补=01000000，[-10]原=10001010[-10]补=11110110，或[[10]补]补=[00001010]补=11110110[z]补=[64-10]补=[+64]补+[-10]补=01000000+11110110=00110110

结果为正数，所以z=+54例2：求34–68

解：设z=34–68=34+（-68）

[+34]补=00100010，[-68]原=11000100[-68]补=10111100[z]补=[+34]补+[-68]补=00100010+10111100=11011110

结果为负数，[z]原=10100010，z=-34注意：某数的补码表示与某数变补的区别。例.10101原

11011补码表示10011补

01101变补00101原

00101补码表示符号位不变，负数尾数改变，正数尾数不变。00011补

11101变补符号位改，尾数改变。补码的机器负数2.算法流程操作数用补码表示，符号位参加运算结果为补码表示，符号位指示结果正负X补+Y补X补+(-Y)补ADDSUB3.逻辑实现A(X补)B(Y补)+AABB+B+B+1CPA

∑A（1）控制信号加法器输入端：+A：打开控制门，将A送∑。+B：打开控制门，将B送∑。+1：控制末位加1。+B：打开控制门，将B送∑。加法器输出端：∑

A：打开控制门，将结果送A输入端。CPA：将结果打入A。（2）补码加减运算器粗框∑2.3.4溢出判断在什么情况下可能产生溢出？例.数A有4位尾数，1位符号SA

数B有4位尾数，1位符号SB

符号位参加运算结果符号Sf符号位进位Cf尾数最高位进位C溢出概念及检测方法

两正数加，变负数，上溢（大于机器所能表示的最大数）两负数加，变正数，下溢（小于机器所能表示的最小数）（2）A=10B=710+7：01010

0011110001（4）A=-10B=-7-10+(-7)：0111110110110011.硬件判断逻辑一（SA、SB与Sf的关系）溢出=SASBSfSASfSB2.硬件判断逻辑二（Cf与C的关系）溢出=CfC3.硬件判断逻辑三（双符号位）溢出=Sf1Sf2（1）3+2：正确00001100001000

0101（2）10+7：001010000111010001正溢正确负溢正确正确（3）-3+(-2)：110111111101111110（4）-10+(-7)：101111110110111001（5）6+(-4)：000010000110111100（6）-6+4：11

111011

1010000100第一符号位Sf1第二符号位Sf2[例]ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.1001，求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]补＝0.1011，[ｙ]补＝0.1001[ｘ]补0.1011＋[ｙ]补

0.1001[ｘ＋ｙ]补1.0100两正数相加，结果为负，显然错误。－－运算中出现了“上溢”有进位无进位[例]ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.1001，求ｘ＋ｙ。[例]

ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.0010，求ｘ＋ｙ。[例]

ｘ＝＋0.1011,ｙ＝＋0.0010，求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]补＝0.1011,[ｙ]补＝0.0010[ｘ]补0.1011＋[ｙ]补0.0010[ｘ＋ｙ]补0.1101两正数相加，结果无溢出无进位无进位[例]

ｘ＝－0.1101,ｙ＝－0.1011,求ｘ＋ｙ。[例]

ｘ＝－0.1101,ｙ＝－0.1011,求ｘ＋ｙ。[解:]

[ｘ]补＝1.0011[ｙ]补＝1.0101

[ｘ]补1.0011

＋[ｙ]补1.0101[ｘ＋ｙ]补0.1000两负数相加，结果为正，显然错误。－－运算中出现了“下溢”无进位有进位2.3.4基本的二进制加法/减法器FA（全加器）逻辑电路图FA框图加法器的逻辑关系Si＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi2.3.4基本的二进制加法/减法器2.3.5十进制加法器

2.4乘法计算

原码1位乘法补码1位乘法阵列乘法器2.3.1原码一位乘法（4/5）例题已知X=-0.1011，Y=0.1001，求[X×Y]原解：[X]原=1.1011，[Y]原=0.1001|X|=0.1011，|Y|=0.1001按原码一位乘法运算规则，求[X×Y]原的数值部分。|X|×|Y|=0.01100011，而Zs=XsYs=10=1最后求得[X×Y]原

=1.01100011例题之原码一位乘法运算过程

+）0.0000

+）0.0000

+）0.1011

+）0.10110.00010.01100.11000.00100.00100.01010.01010.10110.0000右移一位得部分积Z4，乘数同时右移一位右移一位得部分积Z3，乘数同时右移一位右移一位得部分积Z2，乘数同时右移一位右移一位得部分积Z1，乘数同时右移一位Y1=1，加|X|Y2=0，加0Y3=0，加0Y4=1，加|X|设部分积初值Z0=0操作说明乘数部分积10011100111001110011低位积高位积例原码一位乘法运算过程2.4.1原码1位乘法2.4.3

阵列乘法器不带符号的阵列乘法器带符号的阵列乘法器求补器带符号的阵列乘法器2.5除法计算原码1位除法补码1位除法阵列除法器2.5.1原码1位除法恢复余数法加减交替法2.4.1原码一位除法-加减交替法例X=-0.1011，Y=0.1101，求[X/Y]原解：[X]原=1.1011，[Y]原=0.1101[Y]补=0.1101，[-Y]补=1.0011

商的符号Qs=10=1

所以[X/Y]原

=1.1101

余数=0.0111×2-4例题之原码不恢复余数除法运算过程

+）11.0011

11.1110

00.1011+Y余数与商左移一位余数与商左移一位初始状态+[-Y]补+[-|Y|]补余数为负，商“0”余数为正，商“1”操作说明商Q上商被除数（余数）0.00000.00000.00010.00100.0000

+）00.1101

11.1100

+）11.0011

00.1001

01.00100.00110.0110

+）11.0011

00.0101

00.1010余数为正，商“1”

00.01110.11010.01100.1100

+）00.1101

11.1101

11.1010余数与商左移一位+[-|Y|]补余数为正，商“1”+Y余数与商左移一位余数为负，商“0”2.4.1原码一位除法-恢复余数法例X=-0.1001，Y=-0.1011，求[X/Y]原解：[X]原

=1.1001，[Y]原

=1.1011|X|=0.1001，|Y|=0.1011，[-|Y|]补

=1.0101运算过程如下：所以，Qs=11=0[X/Y]原

=[Q]原

=0.1101[R]原

=2-4R5=0.00000001例题之原码恢复余数除法运算过程+）00.1011+）11.0101

11.1110

00.1001R1恢复余数，+|Y|R0=[X|+[-|Y|]补+[-|Y|]补+[-|Y|]补得R1<0，商上0得R2>0，商上1余数左移一位余数左移一位操作说明商Q上商（余数）被除数0.00000.00000.00010.00100.0000

+）11.0101

00.1001

01.0010

+）11.0101

00.0111

00.11100.00110.0110

+）11.0101

00.0011

00.0110+[-|Y|]补得R3>0，商上1余数左移一位

+）00.1011

11.1011恢复余数，+|Y|得R4<0，商上00.01100.1100

+）11.0101

00.0110

00.1100+[-|Y|]补R4余数左移一位

00.0001得R5>0，商上10.1101原码加减交替法逻辑结构框图加数器YfCxQnTiQnT1,T2,…+1LDR1LDR0被除数X或者余数寄存器R0商Q寄存器R1除数Y寄存器∑f∑fR2R计数器iQfXfR0R1Qn+1SQ1.浮点加减法运算

（1/7） 设两个浮点数x和y分别为：

x=Sx·2Exy=Sy·2Ey

其中，Ex、Ey分别是x和y的阶码，Sx和Sy是x、y的尾数。 假定它们都是规则化的数，即其尾数绝对值总小于1(用补码表示，允许为1)，浮点加减运算的运算步骤如下：1.浮点加减法运算

（2/7）1．对阶：小阶向大阶看齐对阶的第一步是求阶差：△E=Ex-Ey

若△E=0，表示两数阶码相等，即Ex＝Ey，不需要对阶若△E>0，表明Ex>Ey

若△E<0，表明Ex<Ey

对于Ex≠Ey的这种情况，需要对阶。采用“小阶向大阶看齐”的方法，即小阶的尾数右移△E位，小阶的阶码增加△E与大阶相等。2．尾数求和（差） 对阶完成后，就按定点加减运算求两数的尾数之和。1.浮点加减法运算

（3/7）3．规格化 （1）对于定点小数，其规格化数为：

00.1xx…x11.0xx…x （原码表示法）（2）对于负数的补码表示法，规格化定义有所不同：根据规格化浮点数的定义可知，规格化的尾数应满足：

S>0时1/2≤S<1

对于S<0,用补码表示时-1/2>S≥-1

理论上，S可等于-1/2，但[-1/2]补=11.100…0，为了便于判别是否是规格化数，不把-1/2列为规格化数，而把-1列入规格化数。∵[-1]补=11.00…0∴补码规格化的浮点数应有两种形式：

00.1xx…x11.0xx…x1.浮点加减法运算

（4/7）由此可知补码规格化的条件是：（A）若和或差的尾数两符号位相等且与尾数第一位相等，则需向左规格化。即将和或差的尾数左移，每移一位，和或差的阶码减一，直至尾数第一位与尾符不等时为止。（B）若和或差的尾数两符号位不等，即01.xx…x或10.xx…x形式,表示尾数求和(差)结果绝对值大于１，向左破坏了规格化。此时应该将和(差)的尾数右移1位，阶码加１，即进行向右规格化。4．舍入（1）“0舍1入”法，即右移时丢掉的最高位为0，则舍去；是1，则将尾数的末位加1(相当于进入)。（2）“恒置1”法，即不管移掉的是0还是1，都把尾数的末位置1。1.浮点加减法运算

（5/7）5.浮点数的溢出判断：由阶码判断是否溢出。设阶码数值部分取7位，符号位取2位，用补码表示，则能表示的最大阶码[E]补=001111111=127；最小阶码[E]补=110000000=-128；（1）小于-128，称为下溢：发生在左规时；用机器0表示（阶码、尾数全0）（2）大于+127时，称为上溢，这是浮点数的真正溢出置溢出标志，作中断处理总结：

[E]补=01XX…X为上溢，真正溢出，需做溢出处理。

[E]

补=10XX…X为下溢，浮点数值趋于零，用机器零表示。1.浮点加减法运算

（6/7）例x=0.1101×1001，y=-(0.1010)×1011，求x+y=?解：（1）对阶： 假定两数在计算机中采用补码制，则

[x]补=0001,00.1101Ex=0001[y]补=0011,11.0110Ey=0011

求阶差：△E=Ex-Ey=0001+1101=1110，即△E=-2，表示x的阶码Ex小于y的阶码Ey，阶差为-2，所以应使x的尾数右移2位，阶码加2，则[x]补=0011,00.0011，这时△E=0，对阶完毕。1.浮点加减法运算

（7/7）（2）尾数求和（差）

x和y对阶后的尾数分别为：[Sx]补=00.0011，[Sy]补=11.0110

则[Sx]补+[Sy]补=00.0011+11.0110=11.1001∴[x+y]补=0011,11.1001（3）规格化 和的尾数的两符号位相等，但小数点后的第一位也与符号位相等,不是规格化数，需要进行左规，即向左规格化：尾数左移一位，阶码减１，就可得到规格化的浮点数结果。

[x+y]补=0010,11.00102.浮点乘法运算（1/3）设x=Sx·2Ex

，Y=Sy·2Ey则x·Y=(Sx·Sy)·2Ex+Ey浮点数乘法运算的规则为：乘积的阶码由两数阶码相加求得乘积的尾数等于被乘数和乘数的尾数之积可采用定点数乘方法（A）需要对浮点数尾数积进行规格化（左规、右规：均是最多一位）（B）舍入：0舍1入，若采用双倍字长乘积时，没有舍入问题。2.浮点乘法运算（2/3）例3-15已知x=0.110000·10101，y=-0.111000·10100，设阶码数值部分各取5位，阶符2位；尾数数值部分各取6位，尾符2位，按机器浮点数运算步骤，求x×y。解：(1)求阶和

[Ex]补=0000101[Ey]补=0000100[△E]补=[Ex]补

+[Ey]补

=0001001(2)尾数相乘可利用原码或补码定点数乘法求尾数之乘积，可得

[Sx·Sy]原

=1.101010000000

或[Sx·Sy]补

=1.0101100000002.浮点乘法运算（3/3）(3)规格化

[Sx×Sy]原或[Sx×Sy]补已是规格化形式，勿需规格化。(4)舍入若取单字长乘积，可得[Sx×Sy]原=1.101010或[Sx×Sy]补=1.010110，所以

[x×y]原=1.101010×100001001[x×y]补=1.010110×100001001

得x×y=-0.101010·101001=-1010100003浮点除法运算浮点数除法的运算规则为：商的尾数由两数的尾数相除求得商的阶码由两数阶码相减求得设x=Sx·2Ex，y=Sy·2Ey

，则x/y=(Sx/Sy)·2Ex-Ey步骤（1）预置（2）尾数调整（3）求阶差（4）尾数相除（5）规格化（6）舍入浮点加减运算的操作过程分为四步：

1.0操作数的检查；

2.比较阶码大小并完成对阶；

3.尾数进行加或减运算；

4.结果规格化并进行舍入处理。（1）0操作数检查浮点加减运算