线性方程迭代法研究

线性方程组的迭代解法研究学生姓名：苏相瑜指导老师：郭孔华学院：中南大学

数学与统计学院专业班级：应数1002班论文框架绪论预备知识经典迭代法的简单介绍对SOR迭代法提出新的迭代格式给出数值例子并做出比较总结与展望绪论1、线性方程组的意义与发展历史2、线性方程组是属于方程中的一种，它是在方程组中的每一个方程关于未知量都是一次的方程组。而所谓的所谓迭代就是指一种重复反馈过程的活动，进行这个过程的目的通常都是为了接近并且到达我们所需要的目标和结果。在计算中每一次进行这种重复的过程被称为一次“迭代”，而我们每一次进行“迭代”这一过程所得到的结果会被用来作为下一次“迭代”的初始值。3、国内外研究现状

其中李晓梅等人将H.Michielse和A.VanderVorst等人的算法中的单向串行通信模式改为双向并行的通信模式,同时他们提出了几乎是目前情况下最好的三对角方程组分布式的算法的DPP算法。在2000年骆志刚等利用计算与通信重叠这一门技术同时再根据DPP算法,减少处理机空闲的时间以后取得了更好的并行效果。这一类的算法要求解-1阶缩减系统。

预备知识线性方程组与迭代的定义迭代的构造关于迭代法的收敛性分析的定理中需要的相关引理经典迭代法的相关介绍1.Jacobi迭代法的迭代公式2.G-S迭代法的迭代公式3.SOR迭代法的迭代公式经典迭代法的收敛性分析1、Jacobi迭代法的收敛性判定

定理.如果所要求的线性方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优或者是一个不可约的对角占优矩阵，那么Jacobi迭代法就收敛。

定理.如果所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个对称矩阵，而且它的任意一个对角元素>0（其中=1,2,……,n）那么如果满足条件矩阵A和矩阵2D-A都是正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛（充分必要条件）。

2.G-S迭代法的收敛性判定定理.如果所要求的线性方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优或者是一个不可约的对角占优矩阵，那么G-S迭代法就收敛。定理.如果一个所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个正定的对称矩阵，那么G-S迭代法收敛

3.SOR迭代法的收敛性判定

定理1.如果所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优的或者是一个不可以约的对角占优的矩阵，而且在SOR迭代法下的松弛因子（即SOR迭代法的迭代公式中的）需要满足在（0,1]这个区间中，那么我们可以说SOR迭代法是收敛的。定理2.如果所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个实对称的正定矩阵，而且在SOR迭代法下的松弛因子处于（0,2）这个区间的话，那么我们也可以说明SOR迭代法是收敛的。

SOR迭代法的新收敛格式

SOR迭代法的新迭代格式的迭代公式

SOR迭代法的新迭代格式的收敛性判定定理1.如果所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个实对称的正定矩阵，而且在SOR迭代法下的松弛因子处于（0,2）这个区间的话，那么我们也可以说明SOR迭代法是收敛的。定理2.如果所要求解的线性方程组的系数矩阵A是一个严格对角占优的或者是一个不可以约的对角占优的矩阵，而且在SOR迭代法下的松弛因子（即SOR迭代法的迭代公式中的）需要满足在（0,1]这个区间中，那么我们可以说SOR迭代法是收敛的。

最优松弛因子的介绍

对于一类有特殊性质的矩阵（也就是2-循环的和相容次序的矩阵。），相关的最优松弛因子（用来表示）在五十年代就