2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册 余弦定理与正弦定理（3） 课件

余弦定理与正弦定理第3课时新知探究问题1

正弦定理如何描述？文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．符号语言：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，则

新知探究问题2

想一想正弦定理的常见变形有哪些？（1）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；（2）

新知探究问题3

我们知道每个三角形都有外接圆，请问外接圆的直径与正弦定理之间有关系吗？有什么关系呢？有，

新知探究问题4

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．对任意三角形都成立吗？

当C为锐角或钝角时，如图．所以AB＝c＝2R，所以

，

由正弦定理得

在Rt△AB′C中，

AABBCCB′B′新知探究问题4

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．对任意三角形都成立吗？

根据同弧的圆周角相等得B＝B′，所以上式对任意三角形都成立．所以

，

在△ABC中，由正弦定理得

所以

AABBCCB′B′新知探究问题5

根据

，你能推出正弦定理的哪些变形？

若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；（2）sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

；

（3）

新知探究追问：在△ABC中，A＝

，BC＝4，则△ABC外接圆的面积为________．

解析：设△ABC外接圆的半径为R，故△ABC外接圆的面积为πR2＝8π．则

8π新知探究问题6

已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？已知两角一边，有解时，只有一解；已知两边及其一边的对角，有解的情况可分别为几种情况．A为锐角时，若a＜bsinA，无解；A为钝角或直角时，若a＝b，a＜b，均无解；a＝bsinA或a≥b，一解；bsinA＜a＜b，两解；a≥b，一解．新知探究追问：已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有几解？由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．新知探究问题7

判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（1）化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2，或余弦定理，进而确定三角形的形状．利用的公式为sinA＝

，sinB＝

，sinC＝

．

新知探究问题7

判断三角形形状时，围绕三角形的边角关系，如何利用正弦定理进行边角互化？利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径：（2）化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．例1

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin＝bsinA，b＝3．初步应用

（1）求△ABC外接圆的面积；

解答：（1）由正弦定理，sinAsin＝sinBsinA，

故

因为sin＞0，

所以cos

＞0，

故

＝60°，则B＝120°，

故R＝

，则△ABC外接圆的面积为3π．

例1

已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin＝bsinA，b＝3．

又b＞a，所以A＝30°．初步应用

（1）求△ABC外接圆的面积；

由正弦定理得：

所以sinA＝

例2

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．

初步应用解答：法一（化角为边）将已知等式变形为b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccosBcosC．

由余弦定理并整理，得

∴A＝90°．

∴b2＋c2

∴△ABC是直角三角形．例2

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．

初步应用法二（化边为角）由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC．又sinBsinC≠0，又∵0°＜B＋C＜180°，∴△ABC是直角三角形．∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos（B＋C）＝0．∴B＋C＝90°，∴A＝90°．初步应用例3

台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间？（精确到0.1h）如何解决这个问题？先画出简图，将已知标在图上，合理选用正弦定理求解，注意三角形解的讨论．（详解参考教材P113例6的解析．）课堂练习练习：教科书第114页练习1，2．归纳小结（1）正弦定理的应用有哪些？（2）正弦定理如何实现三角形中边角关系的相互转化？问题8

本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．（2）利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．作业布置作业：教科书第114页，练习3，4．P124A组第1题．

1目标检测C

A．C．D．B．

因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以sinA≠0，sinB＝

，

所以B＝

．

2目标检测B在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝（）A．C．D．B．

解得sinC＝

．

所以cosC＝

．

解析：由正弦定理，得

，

即

，

因为AB＜AC，所以C＜B，3目标检测3π在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，cosA＝

，则△ABC的外接圆的面积为_______．

设外接圆的半径为R，

解析：∵在△ABC中，cosA＝

，

∴sinA

则由正弦定理可得

4目标检测在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：方法一：∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴2sinBcosC＝2sinBcos（90°－B）＝2sin2B＝sinA＝1，∵0°＜B＜90°，∴B＝45°，C＝45°，根据正弦定理

∴A是直角，B＋C＝90°，∴sinB＝

．

∴△ABC是等腰直角三角形．4目标检测在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．方法二：∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c