长春市绿园区长春兴华高中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析

吉林省长春市绿园区长春兴华高中2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析吉林省长春市绿园区长春兴华高中2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析PAGE22-吉林省长春市绿园区长春兴华高中2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析吉林省长春市绿园区长春兴华高中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析）第I卷选择题（共60分）本试卷分选择题和非选择题两部分共22道题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考试结束后,只交答题卡。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设R，则“＞1"是“＞1”的（)A。充分不必要条件B。必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件2。直线：和直线：互相平行，则a的值为（)A.或3 B.或1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由平行关系可得a(a—2）-3=0，解得a．经过验证即可得出．【详解】由,解得或,经过验证可得：时两条直线重合，舍去，。故选:C。【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系,根据平行线系数关系可解出参数，注意舍去重合情况即可,是常考点也是易错点，属于简单题.3。设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C。若，则 D。若，则【答案】D【解析】【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交,可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行,可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又,,即。故选：D。【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定,这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题。4。已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（)A。 B。1 C。2 D.4【答案】C【解析】试题分析：,最短的弦长为，选C。考点：直线与圆位置关系5。函数f(x）=1+sinx,其导函数f（x），则f(）=(）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】先求导，再代值计算即可．【详解】函数f（x）=1+sinx,其导函数为f′(x）=cosx，∴，故选A.点睛】本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．6。已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为(）A. B。1 C。2 D.4【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等,抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为，故选C.7.已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0；命题q:∃x∈R，x2-x+a=0．若p∧q是真命题，则a的取值范围是(）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合命题的真假判定方法可得出命题p、q是真命题，若命题p是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其a=0的情况即可得出；若命题q是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；综合可得。【详解】若命题p是真命题：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则a=0或a>0且△=a2−4a<0，解得0≤a〈4，若命题q是真命题：∃x∈R，x2−x+a=0，则△=1−4a≥0,解得，若p∧q是真命题，则p,q都是真命题，则,解得0≤。则a的取值范围是。故选：D【点睛】本题考查复合命题的应用，根据真值表复合命题真假可判断简单命题的真假，再根据命题真假即可求解参数的范围,属于基础题。8.函数，在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立,即可由定义域及不等式求得的取值范围。【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即,所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题。9.如图,已知长方体中,,则直线和平面所成的正弦值等于（）A。 B.C。 D。【答案】C【解析】试题分析：由题意,连接，交于点O，∵长方体中,AB=”BC=4”∴∴平面，在Rt△中，∴直线和平面所成角的正弦值为考点：线面所成角10.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且，则此三棱锥的外接球的体积为（)A. B。 C. D。【答案】B【解析】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则，故，得球的体积为：11。已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是A。 B. C. D.【答案】C【解析】x⩽1时,f(x）=−(x−1)2+1⩽1,x〉1时，在(1,+∞）恒成立,故a⩽x2在（1,+∞）恒成立,故a⩽1，而1+a+1⩾1,即a⩾−1,综上,a∈［−1，1]，本题选择C选项。点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间,建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形,由f（x1）－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．12。已知是椭圆与双曲线公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为()A. B.3 C。6 D。【答案】C【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的性质,用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案．【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，．，，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C．【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力．二.填空题（本大题共4小题，共20分）13。曲线在点(1，2）处的切线方程为______________．【答案】【解析】设，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率,其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知,切线方程为．14.当直线y＝k(x－2）＋4和曲线有公共点时,实数k的取值范围是________．【答案】【解析】曲线变形为，直线为过定点的直线，结合图形可知直线与圆相切（切点在第二象限）时,斜率取得最小值,此时的满足到的距离为圆的半径，所以，所以实数的取值范围是，故答案为。15。设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____。【答案】【解析】【分析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果．【详解】椭圆,可得，设,，可得,化简可得：，，故答案为．【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1)；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件。另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.若方程所表示的曲线为,则有以下几个命题：①当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；②当时,曲线表示双曲线;③当时,曲线表示圆；④存在，使得曲线为等轴双曲线.以上命题中正确的命题的序号是_____.【答案】②③【解析】【分析】根据题意,结合圆、椭圆、双曲线标准方程的形式依次分析题目给出的四个判断，当时，曲线表示圆，①错误，③正确；当时，,，方程表示焦点在x轴上的双曲线，②正确；根据等轴双曲线性质列不等式m无解，则④错误，综合即可得答案．【详解】①错误，原因:当即时，方程表示圆而不是椭圆，∴①错误；②正确，当时,，，∴方程表示焦点在x轴上的双曲线,②正确；③正确，当时，曲线C方程为，表示圆心在坐标原点,半径为的圆，③正确；④错误,原因:若曲线C为等轴双曲线，则需或，符合条件的m都不存在，∴④错误∴正确的命题②③，故答案为：②③。【点睛】本题考查圆锥曲线方程，根据圆、椭圆、双曲线标准方程的形式依次解参数的范围，逐一判断即可得答案，属于基础题.三、解答题(本大题共6小题，共70分）17。已知p:—x2—2x+8≥0，q：x2-2x+1-m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1）；（2）0＜m≤1．【解析】【分析】（1）解出关于p，q的不等式,根据若p是q的充分条件，得到[—4，2]⊆［1—m，1+m］，求出m的范围即可；（2)根据“￢p”是“￢q”的充分条件，可推出q是p的充分条件，得到[1-m，1+m]⊆[—4，2]，求出m的范围即可．【详解】（1）p：—x2—2x+8≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m＞0）．故p：—4≤x≤2，q：1—m≤x≤1+m，若p是q充分条件，则［-4，2］⊆［1-m，1+m]，故，解得:；(2）若“￢p”是“￢q”的充分条件，即q是p的充分条件，则[1—m，1+m］⊆[—4，2]，∴，解得：0＜m≤1．【点睛】本题考查充分条件的判断与应用，根据充分条件成立即小范围推大范围可建立不等关系式,解不等式即为所求范围，属于简单题。18。求下列函数的导数：（1）；（2）y＝；(3)；【答案】（1）y′＝exsinx＋excosx。（2）y′＝3x2－。（3）y′＝1－cosx。【解析】【分析】根据函数的求导法则进行求导即可.【详解】（1）y′＝(ex)′sinx＋ex(sinx）′＝exsinx＋excosx。。（2)因为y＝x3＋＋1,所以y′＝3x2－.（3）因为y＝x－sinx,所以y′＝1－cosx.【点睛】本题考查常见函数的求导，利用求导法则进行求导即可，属于基础题.19。四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，(1）证明:直线平面；（2）若△面积为，求四棱锥的体积。【答案】(Ⅰ）见解析(Ⅱ）【解析】试题分析:证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则,利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度,利用的面积为，求出四棱锥的体积。试题解析:（1）在平面内，因为，所以又平面平面故平面（2）取的中点,连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则,取的中点，连接，则，所以，因为的面积为,所以，解得（舍去)，于是所以四棱锥的体积20.已知抛物线C；过点．求抛物线C的方程;过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1)．（2）见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2)设过点P(3,﹣1)的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理,结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为．（2）设，,直线MN的方程为,代入抛物线方程得．所以，,．所以,所以,是定值．【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值,再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值．21.若函数,当时，函数有极值．（1)求函数的解析式;（2）求函数的极值；（3)若关于的方程有三个零点,求实数k的取值范围．【答案】（1）;（2）极大值，极小值；（3）【解析】【分析】（1）对函数进行求导，利用,解方程即可得答案；（2)对函数求导，令，并解导数不等式，即可得答案；（3）作出函数的图象,直线与函数图象需有3个交点，即可得答案;【详解】（1）,由题意知，解得，故所求的解析式为；（2）由（1）可得，令，得或，列表如下：极大值极小值当时，有极大值，当时，有极小值；（3)由(2）知,得到当或时，为增函数；当时，为减函数，∴函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力。22。已知椭圆C：+=1(a＞b＞0）,且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M（，)在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1)由题意，得,然后求解离心率即可;（2）由（1）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程可解得c=1，求出椭圆方程,直线OM的方程为，当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上,故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),与椭圆联立消y，设A，B坐标，利用韦达定理求出AB的