测试技术(第一章)3

工程测试技术——郭世伟第一章信号分析基础（三）五、随机信号（一）随机信号的特征

随机信号不能用确定的数学表达式表达。随机信号不能准确预测与复现，只能通过大量观测记录，可用离散数据序列、图形形式等描述。用数理统计的原理描述其特征。对随机过程进行多次长时间的观测。每次观测为一个样本函数，有限时间区间内为一个样本记录。随机过程的统计参数有：均值、方差、均方值和均方根值等。集合平均和时间平均概念（这些概念也可应用于周期信号）随机过程的分类：平稳随机过程的集合平均值、方差值等不随时间改变，为常数值。对于各态历经随机过程，其任意样本函数均包括了该随机过程的全部特征。可从单个样本函数中取若干样本记录，用其时间平均的统计特征来估计整个随机过程的特征。实际工程中的随机过程大多为各态历经性的，或在某一范围内具有各态历经性。以下均指的是各态历经性随机过程。（二）信号的幅值域分析各态历经随机过程的幅值域分析主要有：均值、均方值、方差等数字特征参数，和概率密度函数描述。1、数字特征参数（1）均值均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。对于各态历经随机信号，也可用一个样本函数的时间平均描述。实际中用样本记录来估计其均值均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。（2）均方值信号的均方值E[x2(t)]，反映了信号的强度（平均功率）；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。定义和估计值分别为：工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。（3）方差

信号x(t)的方差定义为：

方差：反映了信号绕均值的波动程度。大方差

小方差

估计值为2、概率密度函数

以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。在样本记录x(t)中，幅值落在某指定区间内的总时间为：幅值落在该区间的概率为：概率密度函数反映了信号的瞬时值落在指定幅值区间内的概率。也可用直方图表示：以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。直方图概率密度函数归一化3、概率分布函数

概率分布函数是信号幅值小于或等于某值r的概率，其定义为：落在某一区间的概率为：4、由概密函数可求各数字特征参数：概密函数图形特征，可用以判断信号性质用于机械故障诊断（三）信号的相关分析相关函数可定量地表示信号波形间的相似程度。1、相关的概念相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。xyxyxyxy2、相关函数相关函数可定量描述两信号波形的相似程度。平稳随机过程的相关函数不随时间起点而改变，为时差的函数，即仅与两信号间的相对移动量τ有关，故相关函数为时差τ的函数，反映了两信号在时移中的相关性，称为相关函数（又称时差域分析）：称为互相关分析。当时，称为自相关函数：由定义可知：计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。

x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分器

Rxy(τ)相关分析的离散化计算信号间为了具有相互定量可比性，用均值和方差进行处理，消除均方值不等的影响，成为相关系数：实际计算中用有限积分时间的离散值估算：相关系数，其值越大，相似程度越高。等于1时两波形完全相似，但为-1时相位相反，等于0时两波形间不存在相似关系。相关函数的性质

相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。自相关函数性质：（1）自相关函数是的偶函数，Rx()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值，且（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。互相关函数性质：（1）不是偶函数，但有（2）两等周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（3）两个非同频率的周期信号互不相关，且。（4）随机信号的相关函数将随的增大快速衰减。相关分析的工程应用

案例：机械加工表面粗糙度自相关分析被测工件相关分析提取出回转误差等周期性的故障源。用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。案例：自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分。案例：地下输油管道漏损位置的探测

案例：AGV小车定位，声位笔定位相关测速法运动物体速度的测量案例：互相关汽车测速互相关分析可应用于：同频检测技术，相关滤波器，从噪声背景中分离出有用信号。滞后时间确定信号源定位测速测距离教材中例题的讲解（四）功率谱密度分析功率谱分析是从频域研究平稳随机过程的重要方法。1、自功率谱密度函数平稳随机信号的相关函数和功率谱是傅立叶变换的关系，定义自功率谱密度函数为：它为双边谱，也有单边谱密度函数，定义域为，有：此即著名的维纳—辛钦公式2、功率谱的物理意义

可见，自功率谱密度函数曲线与频率轴包围的面积就等于信号的平均功率，则自功率谱密度函数就是单位频带宽度内的信号功率，描述了信号功率随频率的分布规律，具有功率密度的含义。3、自功率谱密度函数与幅频谱之间的关系由频率卷积定理推导得帕什瓦尔能量积分等式：在整个时间轴上的信号平均功率为：性质：（1）自功率谱密度函数为实偶函数。（2）自功率谱密度函数不仅可由相关函数的傅立叶变换得到，也能由信号幅值频谱得到，但失去了原信号的相位信息。（3）信号的自功率谱密度函数和幅值频谱函数均反映了原信号的频谱结构，但前者反映的是幅频谱的平方，使原信号的频谱结构特征更为明显。周期图法建立在FFT的基础上，它为一种经典谱估计法，还需要对它进行平滑处理，如分段平均。4、互功率谱密度函数（1）互功率谱密度函数与互相关函数间关系为傅立叶变换。互功率谱密度函数不象自功率谱那样有明显物理意义，但可在频域内描述两个随机信号的相关性。实际计算中的互谱估计式为：（2）相干函数常用相干函数来描述输入信号和输出信号之间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应。