三角函数与二次函数专题

..三角函数与二次函数专题一．解答题〔共30小题1．〔2012•泾川县校级模拟计算：〔1．〔2．2．〔1998•XX求的值．3．〔2013•XX如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的长；〔2求tan∠DAE的值．4．〔2013•渝中区校级模拟如图,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的长．〔结果保留根号5．〔2013•XX模拟如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的长．6．〔2013•南岸区校级模拟如图,AD是△ABC中BC边上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的长．7．〔2011•枣庄如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF．〔1证明：EF=CF；〔2当tan∠ADE=时,求EF的长．8．〔2013•XX20XX3月,某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度．〔精确到0.1米,参考数据：9．〔2013•眉山如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤〔横断面为梯形ABCD急需加固．经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后坝底增加的宽度AF；〔2求完成这项工程需要土石多少立方米？〔结果保留根号10．〔2013•XX如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？〔精确到0.01〔参考数据：=1.414,=1.732,=2.44911．〔2011•XX图1是安装在斜屋面上的热水器,图2是安装该热水器的侧面示意图．已知,斜屋面的倾斜角为25°,长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°,安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距离〔结果精确到0.01米；〔2铁架垂直管CE的长〔结果精确到0.01米．12．〔2011•XX某校初三年级"数学兴趣小组"实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上,如图所示,测得在操场上的影长BC=20m,斜坡上的影长CD=8m,已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°,同时测得身高l.65m的学生在操场上的影长为3.3m．求旗杆AB的高度．〔结果精确到1m〔提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：≈1.414.≈1.732.≈2.23613．〔2011•通州区二模某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼〔如图,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．〔1问超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？〔2若要使超市采光不受影响,两楼应相距多少米？〔结果保留整数,参考数据：14．〔2015•XX如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其对称轴与x轴相交于点M．〔1求抛物线的解析式和对称轴；〔2在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；〔3连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．15．〔2015•XX如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A〔﹣3,0和点B,交y轴于点C〔0,3．〔1求抛物线的函数表达式；〔2若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标；〔3如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值．16．〔2015•内江如图,抛物线与x轴交于点A〔﹣,0、点B〔2,0,与y轴交于点C〔0,1,连接BC．〔1求抛物线的函数关系式；〔2点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面积S与t的函数关系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标．17．〔2015•XX已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是〔﹣1,0,点C的坐标是〔0,﹣3．〔1求抛物线的函数表达式；〔2求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；〔3P为线段BC上一点,连接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点P的坐标．18．〔2015•德阳如图,已知抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0与x轴交于点A〔1,0和点B〔﹣3,0,与y轴交于点C,且OC=OB．〔1求此抛物线的解析式；〔2若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标；〔3点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标．19．〔2015•XX如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A〔﹣1,0,B〔3,0两点,与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．〔1求该抛物线的解析式；〔2判断△BCM的形状,并说明理由；〔3探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．20．〔2015•XX如图,已知抛物线y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧．〔1若抛物线过点G〔2,2,求实数m的值；〔2在〔1的条件下,解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标；〔3在第四现象内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,请说明理由．21．〔2015•XX已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A〔﹣1,0、C〔0,3,与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D．〔1求此二次函数解析式；〔2连接DC、BC、DB,求证：△BCD是直角三角形；〔3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形？若存在,求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．22．〔2015•XX如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B．〔1①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．〔2若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC．求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标．〔3抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．23．〔2015•XX已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为A,且tan∠ACO=〔1求二次函数的解析式；〔2P为二次函数图象的顶点,Q为其对称轴上的一点,QC平分∠PQO,求Q点坐标；〔3是否存在实数x1、x2〔x1＜x2,当x1≤x≤x2时,y的取值范围为≤y≤？若存在,直接写在x1,x2的值；若不存在,说明理由．24．〔2015•XX如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l⊥y轴于点B〔0,﹣2,A为OB的中点,以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点,且CD=4,点P为抛物线上的一个动点,以P为圆心,PO为半径画圆．〔1求抛物线的解析式；〔2若⊙P与y轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标；〔3判断直线l与⊙P的位置关系,并说明理由．25．〔2015•XX如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．〔1求抛物线的解析式；〔2如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？〔3在〔2的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．26．〔2015•XX如图,抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A〔﹣1,0,B〔4,,点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点〔不与点A,B重合,直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD．〔1求抛物线的解析式；〔2设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标．27．〔2015•XX如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A〔﹣3,0,点C〔0,3,点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上．〔1求抛物线的解析式；〔2DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P,若不存在请说明理由；〔3如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由．28．〔2015•潍坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m＜n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A〔m,0、B〔0,n．〔1求这个抛物线的解析式；〔2设〔1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0的顶点坐标为〔3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出P点的坐标．29．〔2015•剑川县三模已知：如图所示,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔1,0,B〔3,0．〔1求抛物线的解析式；〔2设点P在该抛物线上滑动,且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；〔3设抛物线交y轴于点C,问该抛物线对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．30．〔2015•潍坊模拟如图1,二次函数y=ax2+bx+c〔a＞0的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,B点的坐标为〔3,0,OB=OC,tan∠ACO=．〔1求这个二次函数的表达式．〔2经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,求点E的坐标．〔3平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求圆的半径．〔4如图2,若点G〔2,y是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题1．〔2012•泾川县校级模拟计算：〔1．〔2．[考点]特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算．[专题]计算题；压轴题．[分析]〔1把tan30°=,sin60°=,cos60°=代入,然后分母有理化后合并同类二次根式即可；〔2根据零指数幂和sin45°=得到原式=1+2﹣6×+〔﹣1,再进行乘法运算后合并即可．[解答]解：〔1原式=+=+=2﹣+=2；〔2原式=1+2﹣6×+〔﹣1=1+2﹣3﹣1=﹣．[点评]本题考查了特殊角的三角函数值：tan30°=,sin45°=,sin60°=,cos60°=．也考查了零指数幂以及二次根式的混合运算．2．〔1998•XX求的值．[考点]特殊角的三角函数值．[专题]压轴题；探究型．[分析]先把各特殊角的三角函数值值代入,再按照实数混合运算的法则进行计算即可．[解答]解：原式==﹣2﹣4．[点评]本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3．〔2013•XX如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1．〔1求BC的长；〔2求tan∠DAE的值．[考点]解直角三角形．[专题]压轴题．[分析]〔1先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°,再解Rt△ADC,得出DC=1；解Rt△ADB,得出AB=3,根据勾股定理求出BD=2,然后根据BC=BD+DC即可求解；〔2先由三角形的中线的定义求出CE的值,则DE=CE﹣CD,然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．[解答]解：〔1在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1．在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1；〔2∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE﹣CD=﹣,∴tan∠DAE==﹣．[点评]本题考查了三角形的高、中线的定义,勾股定理,解直角三角形,难度中等,分别解Rt△ADC与Rt△ADB,得出DC=1,AB=3是解题的关键．4．〔2013•渝中区校级模拟如图,在△ABC中,∠C=30°,AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,求DC的长．〔结果保留根号[考点]解直角三角形．[专题]计算题；压轴题．[分析]在直角△ABD中,cos∠B=,BD=6,可得,AB=10,AD=8,在直角△ACD中,CD=cot30°×AD,解答出即可．[解答]解：∵AD⊥BC于D,cos∠B=,BD=6,∴在直角△ABD中,得,AB===10,AD===8,∴在直角△ACD中,∠C=30°,CD=cot30°×AD,=×8,=．[点评]本题主要考查了直角三角形勾股定理及三角函数的应用,熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．5．〔2013•XX模拟如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=a．〔1求sina、cosa、tana的值；〔2若∠B=∠CAD,求BD的长．[考点]解直角三角形．[专题]计算题；压轴题．[分析]〔1根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．〔2由∠B=∠CAD=α和〔1求得的tanα,根据直角三角形锐角三角函数求出BC,从而求出BD的长．[解答]解：在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD==．〔1sinα===,cosα===,tanα==；〔2在Rt△ABC中,tanB=,即tanα==,∴BC=4,∴BD=BC﹣CD=4﹣1=3．[点评]考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质,进行逻辑推理能力和运算能力．6．〔2013•南岸区校级模拟如图,AD是△ABC中BC边上的高,且∠B=30°,∠C=45°,CD=2．求BC的长．[考点]解直角三角形．[专题]压轴题．[分析]先在Rt△ACD中,运用正切函数的定义得出AD=CD=2,然后在Rt△ABD中,运用正切函数的定义得出BD=,则根据BC=BD+CD即可求解．[解答]解：∵AD是△ABC中BC边上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90．在Rt△ACD中,∵tanC===tan45°=1,∴AD=2．在Rt△ABD中,∵tanB===tan30°=,∴BD=．∴BC=BD+CD=+2,即BC的长为+2．[点评]本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系．7．〔2011•枣庄如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交AB于E,DF平分∠EDC交BC于F,连接EF．〔1证明：EF=CF；〔2当tan∠ADE=时,求EF的长．[考点]解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形．[专题]计算题；证明题；压轴题．[分析]〔1过D作DG⊥BC于G,由已知可得四边形ABGD为正方形,然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC,接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF,〔2由tan∠ADE=根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x,则BF=8﹣CF=8﹣x,BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x,也就求出了EF．[解答]〔1证明：过D作DG⊥BC于G．由已知可得四边形ABGD为正方形,∵DE⊥DC．∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG,∴∠ADE=∠GDC．又∵∠A=∠DGC且AD=GD,∴△ADE≌△GDC,∴DE=DC且AE=GC．在△EDF和△CDF中,∴△EDF≌△CDF,∴EF=CF；〔2解：∵tan∠ADE==,∴AE=GC=2．∴BC=8,BE=4,设CF=x,则BF=8﹣CF=8﹣x,在Rt△BEF中,由勾股定理得：x2=〔8﹣x2+42,解得x=5,即EF=5．[点评]本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解．8．〔2013•XX20XX3月,某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度．〔精确到0.1米,参考数据：[考点]解直角三角形的应用．[专题]压轴题．[分析]过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x,在Rt△ACD中表示出AD,在Rt△BCD中表示出BD,再由AB=4米,即可得出关于x的方程,解出即可．[解答]解：过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,则AD=CD•cot30°=CD=x,在Rt△BCD中,∠CBD=45°,则BD=CD=x,由题意得,AD﹣BD=AB,即x﹣x=4,解得：x==2〔+1≈5.5．答：生命所在点C的深度为5.5米．[点评]本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数知识表示出相关线段的长度,注意方程思想的运用．9．〔2013•眉山如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤〔横断面为梯形ABCD急需加固．经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1求加固后坝底增加的宽度AF；〔2求完成这项工程需要土石多少立方米？〔结果保留根号[考点]解直角三角形的应用-坡度坡角问题．[专题]应用题；压轴题．[分析]〔1分别过E、D作AB的垂线,设垂足为G、H．在Rt△EFG中,根据坡面的铅直高度〔即坝高及坡比,即可求出水平宽FG的长；同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF=FG+GH﹣AH求出AF的长．〔2已知了梯形AFED的上下底和高,易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．[解答]解：〔1分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形,且AB∥CD,∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中,AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10〔米．在Rt△FGE中,i==,∴FG=EG=10〔米．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7〔米；〔2加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×〔3+10﹣7×10×500=25000﹣10000〔立方米．答：〔1加固后坝底增加的宽度AF为〔10﹣7米；〔2完成这项工程需要土石〔25000﹣10000立方米．[点评]此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10．〔2013•XX如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？〔精确到0.01〔参考数据：=1.414,=1.732,=2.449[考点]解直角三角形的应用-坡度坡角问题．[专题]压轴题．[分析]在Rt△ABC中,根据AB=5米,∠ABC=45°,求出AC的长度,然后在Rt△ADC中,解直角三角形求AD的长度,用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．[解答]解：在Rt△ABC中,∵AB=5,∠ABC=45°,∴AC=ABsin45°=5×=,在Rt△ADC中,∠ADC=30°,∴AD==5=5×1.414=7.07,AD﹣AB=7.07﹣5=2.07〔米．答：改善后滑滑板约会加长2.07米．[点评]本题主要考查了解直角三角形的应用,利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．11．〔2011•XX图1是安装在斜屋面上的热水器,图2是安装该热水器的侧面示意图．已知,斜屋面的倾斜角为25°,长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°,安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米,求〔1真空管上端B到AD的距离〔结果精确到0.01米；〔2铁架垂直管CE的长〔结果精确到0.01米．[考点]解直角三角形的应用；矩形的判定与性质．[专题]压轴题；数形结合．[分析]〔1过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中,根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．〔2根据BF的长可求出AF的长,再判定出四边形BFDC是矩形,可求出AD与ED的长,再用CD的长减去ED的长即可解答．[解答]解：〔1过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中,∵sin∠BAF=,∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．…〔4分〔2在Rt△ABF中,∵cos∠BAF=,∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．…〔6分∵BF⊥AD,CD⊥AD,又BC∥FD,∴四边形BFDC是矩形．∴BF=CD,BC=FD．…〔7分在Rt△EAD中,∵tan∠EAD=,∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844．…〔9分∴CE=CD﹣ED=1.350﹣0.844=0.506≈0.51∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．…〔10分[点评]本题以常见的太阳能为背景,考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力,又让学生感受到生活处处有数学,数学在生产生活中有着广泛的作用．12．〔2011•XX某校初三年级"数学兴趣小组"实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上,如图所示,测得在操场上的影长BC=20m,斜坡上的影长CD=8m,已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°,同时测得身高l.65m的学生在操场上的影长为3.3m．求旗杆AB的高度．〔结果精确到1m〔提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：≈1.414.≈1.732.≈2.236[考点]解直角三角形的应用．[专题]压轴题．[分析]根据已知条件,过D分别作BC、AB的垂线,设垂足为E、F；在Rt△DCE中,已知斜边CD的长,和∠DCE的度数,满足解直角三角形的条件,可求出DE、CE的长．即可求得DF、BF的长；在Rt△ADF中,根据同一时刻物高与影长成正比求出DF的长,即可求得AF的长,进而AB=AF+BF可求出．[解答]解：过D作DE垂直BC的延长线于E,且过D作DF⊥AB于F,∵在Rt△DEC中,CD=8米,∠DCE=30°∴DE=4米,CE=4米,∴BF=4米,DF=〔20+4米,∵身高l.65m的学生在操场上的影长为3.3m．∴=,则AF=〔10+2米,AB=AF+BF=10+2+4=〔14+2≈17米．∴电线杆的高度为17米．[点评]本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力,应用问题尽管题型千变万化,但关键是设法化归为解直角三角形问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形．13．〔2011•通州区二模某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼〔如图,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．〔1问超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？〔2若要使超市采光不受影响,两楼应相距多少米？〔结果保留整数,参考数据：[考点]解直角三角形的应用．[专题]计算题；压轴题．[分析]〔1利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度,和6米进行比较．〔2超市不受影响,说明32°的阳光应照射到楼的底部,根据新楼的高度和32°的正切值即可计算．[解答]解：〔1如图,设CE=x米,则AF=〔20﹣x米,,即20﹣x=15•tan32°,x≈11,∵11＞6,∴居民住房的采光有影响．〔2如图：,=32〔米．故两楼应相距32米．[点评]本题考查锐角三角函数的应用．需注意直角三角形的构造是常用的辅助线方法．14．〔2015•XX如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,其对称轴与x轴相交于点M．〔1求抛物线的解析式和对称轴；〔2在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；〔3连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1抛物线经过点A〔0,4,B〔1,0,C〔5,0,可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〔x﹣5,代入A〔0,4即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴；〔2点A关于对称轴的对称点A′的坐标为〔6,4,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小,可求出直线BA′的解析式,即可得出点P的坐标．〔3在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案．[解答]解：〔1根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〔x﹣5,把点A〔0,4代入上式得：a=,∴y=〔x﹣1〔x﹣5=x2﹣x+4=〔x﹣32﹣,∴抛物线的对称轴是：x=3；〔2P点坐标为〔3,．理由如下：∵点A〔0,4,抛物线的对称轴是x=3,∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为〔6,4如图1,连接BA′交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b,把A′〔6,4,B〔1,0代入得,解得,∴y=x﹣,∵点P的横坐标为3,∴y=×3﹣=,∴P〔3,．〔3在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t,此时点N〔t,t2﹣t+4〔0＜t＜5,如图2,过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D,由点A〔0,4和点C〔5,0可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4,把x=t代入得：y=﹣t+4,则G〔t,﹣t+4,此时：NG=﹣t+4﹣〔t2﹣t+4=﹣t2+4t,∵AD+CF=CO=5,∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AD×NG+NG×CF=NG•OC=×〔﹣t2+4t×5=﹣2t2+10t=﹣2〔t﹣2+,∴当t=时,△CAN面积的最大值为,由t=,得：y=t2﹣t+4=﹣3,∴N〔,﹣3．[点评]本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用,解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用．15．〔2015•XX如图,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A〔﹣3,0和点B,交y轴于点C〔0,3．〔1求抛物线的函数表达式；〔2若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标；〔3如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1把点A、C的坐标分别代入函数解析式,列出关于系数的方程组,通过解方程组求得系数的值；〔2设P点坐标为〔x,﹣x2﹣2x+3,根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到点P的坐标；〔3先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3,再设Q点坐标为〔x,x+3,则D点坐标为〔x,x2+2x﹣3,然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．[解答]解：〔1把A〔﹣3,0,C〔0,3代入y=﹣x2+bx+c,得,解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．〔2由〔1知,该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,则易得B〔1,0．∵S△AOP=4S△BOC,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理,得〔x+12=0或x2+2x﹣7=0,解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：〔﹣1,4或〔﹣1+2,﹣4或〔﹣1﹣2,﹣4；〔3设直线AC的解析式为y=kx+t,将A〔﹣3,0,C〔0,3代入,得,解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为〔x,x+3,〔﹣3≤x≤0,则D点坐标为〔x,﹣x2﹣2x+3,QD=〔﹣x2﹣2x+3﹣〔x+3=﹣x2﹣3x=﹣〔x+2+,∴当x=﹣时,QD有最大值．[点评]此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式,二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中,解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．16．〔2015•内江如图,抛物线与x轴交于点A〔﹣,0、点B〔2,0,与y轴交于点C〔0,1,连接BC．〔1求抛物线的函数关系式；〔2点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t〔﹣＜t＜2,求△ABN的面积S与t的函数关系式；〔3若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标．[考点]二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质．[专题]压轴题．[分析]〔1可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,然后只需运用待定系数法就可解决问题；〔2当﹣＜t＜2时,点N在x轴的上方,则NP等于点N的纵坐标,只需求出AB,就可得到S与t的函数关系式；〔3根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=,需分﹣＜t＜0和0＜t＜2两种情况讨论,由PN=2PO得到关于t的方程,解这个方程,就可解决问题．[解答]解：〔1设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题可得：,解得：,∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；〔2当﹣＜t＜2时,yN＞0,∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1,∴S=AB•PN=×〔2+×〔﹣t2+t+1=〔﹣t2+t+1=﹣t2+t+；〔3∵△OPN∽△COB,∴=,∴=,∴PN=2PO．①当﹣＜t＜0时,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==﹣t,∴﹣t2+t+1=﹣2t,整理得：3t2﹣9t﹣2=0,解得：t1=,t2=．∵＞0,﹣＜＜0,∴t=,此时点N的坐标为〔,；②当0＜t＜2时,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==t,∴﹣t2+t+1=2t,整理得：3t2﹣t﹣2=0,解得：t3=﹣,t4=1．∵﹣＜0,0＜1＜2,∴t=1,此时点N的坐标为〔1,2．综上所述：点N的坐标为〔,或〔1,2．[点评]本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识,需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时,应先用坐标的绝对值表示线段的长度,然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验,不符合条件的解要舍去．17．〔2015•XX已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,O是坐标原点,点A的坐标是〔﹣1,0,点C的坐标是〔0,﹣3．〔1求抛物线的函数表达式；〔2求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；〔3P为线段BC上一点,连接AC,AP,若∠ACB=∠PAB,求点P的坐标．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1直接将A,C点坐标代入抛物线解析式求出即可；〔2首先求出B点坐标,进而利用待定系数法求出直线BC的解析式,进而利用CO,BO的长求出∠ABC的度数；〔3利用∠ACB=∠PAB,结合相似三角形的判定与性质得出BP的长,进而得出P点坐标．[解答]解：〔1将点A的坐标〔﹣1,0,点C的坐标〔0,﹣3代入抛物线解析式得：,解得：,故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；〔2由〔1得：0=x2﹣2x﹣3,解得：x1=﹣1,x2=3,故B点坐标为：〔3,0,设直线BC的解析式为：y=kx+d,则,解得：,故直线BC的解析式为：y=x﹣3,∵B〔3,0,C〔0,﹣3,∴BO=OC=3,∴∠ABC=45°；〔3过点P作PD⊥x轴于点D,∵∠ACB=∠PAB,∠ABC=∠PBA,∴△ABP∽△CBA,∴=,∵BO=OC=3,∴BC=3,∵A〔﹣1,0,B〔3,0,∴AB=4,∴=,解得：BP=,由题意可得：PD∥OC,∴DB=DP=,∴OD=3﹣=,则P〔,﹣．[点评]此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识,熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．18．〔2015•德阳如图,已知抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0与x轴交于点A〔1,0和点B〔﹣3,0,与y轴交于点C,且OC=OB．〔1求此抛物线的解析式；〔2若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标；〔3点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式；〔2由于四边形BOCE不是规则的四边形,因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算,过E作EF⊥x轴于F,四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中,FO为E的横坐标的绝对值,EF为E的纵坐标,已知C的纵坐标,就知道了OC的长．在三角形BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标,然后代入上面的线段中,即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；〔3由P在抛物线的对称轴上,设出P坐标为〔﹣1,m,如图所示,过A′作A′N⊥对称轴于N,由旋转的性质得到一对边相等,再由同角的余角相等得到一对角相等,根据一对直角相等,利用AAS得到△A′NP≌△PMA,由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|,PN=AM=2,表示出A′坐标,将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值,即可确定出P的坐标．[解答]解：〔1∵抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0与x轴交于点A〔1,0和点B〔﹣3,0,∴OB=3,∵OC=OB,∴OC=3,∴c=3,∴,解得：,∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2如图2,过点E作EF⊥x轴于点F,设E〔a,﹣a2﹣2a+3〔﹣3＜a＜0,∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,∴S四边形BOCE=BF•EF+〔OC+EF•OF,=〔a+3•〔﹣a2﹣2a+3+〔﹣a2﹣2a+6•〔﹣a,=﹣﹣a+,=﹣〔a+2+,∴当a=﹣时,S四边形BOCE最大,且最大值为．此时,点E坐标为〔﹣,；〔3∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣1,点P在抛物线的对称轴上,∴设P〔﹣1,m,∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,①当m≥0时,∴PA=PA1,∠APA1=90°,如图3,过A1作A1N⊥对称轴于N,设对称轴于x轴交于点M,∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°,∴∠NA1P=∠NPA,在△A1NP与△PMA中,,∴△A1NP≌△PMA,∴A1N=PM=m,PN=AM=2,∴A1〔m﹣1,m+2,代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣〔m﹣12﹣2〔m﹣1+3,解得：m=1,m=﹣2〔舍去,②当m＜0时,要使P2A=P2A,2,由图可知A2点与B点重合,∵∠AP2A2=90°,∴MP2=MA=2,∴P2〔﹣1,﹣2,∴满足条件的点P的坐标为P〔﹣1,1或〔﹣1,﹣2．[点评]本题考查了全等三角形的判定与性质,待定系数法求二次函数,二次函数的性质,四边形的面积,综合性较强,难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．19．〔2015•XX如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A〔﹣1,0,B〔3,0两点,与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．〔1求该抛物线的解析式；〔2判断△BCM的形状,并说明理由；〔3探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式；〔2根据B、C、M的坐标,可求得△BCM三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；〔3假设存在符合条件的P点；首先连接AC,根据A、C的坐标及〔2题所得△BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似,那么分别过A、C作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质〔或射影定理求得OP的长,也就得到了点P的坐标．[解答]解：〔1∵二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A〔﹣1,0,B〔3,0两点,∴,解得：,则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；〔2△BCM为直角三角形,理由为：对于抛物线解析式y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣12﹣4,即顶点M坐标为〔1,﹣4,令x=0,得到y=﹣3,即C〔0,﹣3,根据勾股定理得：BC=3,BM=2,CM=,∵BM2=BC2+CM2,∴△BCM为直角三角形；〔3若∠APC=90°,即P点和O点重合,如图1,连接AC,∵∠AOC=∠MCB=90°,且,∴Rt△AOC∽Rt△MCB,∴此时P点坐标为〔0,0．若P点在y轴上,则∠PAC=90°,如图2,过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM,∴=,即=,∴点P1〔0,．若P点在x轴上,则∠PCA=90°,如图3,过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM,∴=,即=,AP2=10,∴点P2〔9,0．∴符合条件的点有三个：O〔0,0,P1〔0,,P2〔9,0．[点评]此题是二次函数的综合题,涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识,〔3题中能够发现点O是符合要求的P点,是解决此题的突破口．20．〔2015•XX如图,已知抛物线y=﹣〔x+2〔x﹣m〔m＞0与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧．〔1若抛物线过点G〔2,2,求实数m的值；〔2在〔1的条件下,解答下列问题：①求出△ABC的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标；〔3在第四现象内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在,求m的值；若不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1把C坐标代入抛物线解析式求出m的值即可；〔2①对于抛物线解析式,令y=0求出x的值,确定出A与B坐标；令x=0,求出y的值,确定出C坐标,求出三角形ABC面积即可；②如图1,连接BC交对称轴于点H,由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小,利用待定系数法求出直线BC解析式,与抛物线对称轴联立求出H坐标即可；〔3在第四现象内,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似,分两种情况考虑：〔i当△ACB∽△ABM时；〔ii当△ACB∽△MBA时,利用相似三角形的判定与性质,确定出m的值即可．[解答]解：〔1∵抛物线过G〔2,2,∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣〔2+2〔2﹣m,解得：m=4；〔2①令y=0,得到﹣〔x+2〔x﹣m=0,解得：x1=﹣2,x2=m,∵m＞0,∴A〔﹣2,0,B〔m,0,把m=4代入得：B〔4,0,∴AB=6,令x=9,得到y=2,即C〔0,2,∴OC=2,则S△ABC=×6×2=6；②∵A〔﹣2,0,B〔4,0,∴抛物线解析式为y=﹣〔x+2〔x﹣4的对称轴为x=1,如图1,连接BC交对称轴于点H,由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小,设直线BC的解析式为y=kx+b,把B与C坐标代入得：,解得：,∴直线BC解析式为y=﹣x+2,令x=1,得到y=,即H〔1,；〔3在第四现象内,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似,分两种情况考虑：〔i当△ACB∽△ABM时,则有=,即AB2=AC•AM,∵A〔﹣2,0,C〔0,2,即OA=OC=2,∴∠CAB=45°,∠BAM=45°,如图2,过M作MN⊥x轴,交x轴于点N,则AN=MN,∴OA+ON=2+ON=MN,设M〔x,﹣x﹣2〔x＞0,把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=2m,即M〔2m,﹣2m﹣2,∴AM==2〔m+1,∵AB2=AC•AM,AC=2,AB=m+2,∴〔m+22=2•2〔m+1,解得：m=2±2,∵m＞0,∴m=2+2；〔ii当△ACB∽△MBA时,则=,即AB2=CB•MA,∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,∴△ANM∽△BOC,∴=,∵OB=m,设ON=x,∴=,即MN=〔x+2,令M〔x,﹣〔x+2〔x＞0,把M坐标代入抛物线解析式得：﹣〔x+2=﹣〔x+2〔x﹣m,∵x＞0,∴x+2＞0,∵m＞0,∴x=m+2,即M〔m+2,﹣〔m+4,∵AB2=CB•MA,CB=,AN=m+4,MN=〔m+4,∴〔m+22=•,整理得：=0,显然不成立,综上,在第四象限内,当m=2+2时,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．[点评]此题属于二次函数综合题,涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及两点之间线段最短,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．21．〔2015•XX已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A〔﹣1,0、C〔0,3,与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D．〔1求此二次函数解析式；〔2连接DC、BC、DB,求证：△BCD是直角三角形；〔3在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形？若存在,求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1将A〔﹣1,0、B〔3,0代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；〔2分别求得线段BC、CD、BD的长,利用勾股定理的逆定理进行判定即可；〔3分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系,再结合抛物线解析式即可求解．[解答]解：〔1∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A〔﹣1,0、C〔0,3,∴根据题意,得,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．〔2由y=﹣x2+2x+3得,D点坐标为〔1,4,∴CD==,BC==3,BD==2,∵CD2+BC2=〔2+〔32=20,BD2=〔22=20,∴CD2+BC2=BD2,∴△BCD是直角三角形；〔3存在．y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．①若以CD为底边,则P1D=P1C,设P1点坐标为〔x,y,根据勾股定理可得P1C2=x2+〔3﹣y2,P1D2=〔x﹣12+〔4﹣y2,因此2+〔3﹣y2=〔x﹣12+〔4﹣y2,即y=4﹣x．又P1点〔x,y在抛物线上,∴4﹣x=﹣x2+2x+3,即x2﹣3x+1=0,解得x1=,x2=＜1,应舍去,∴x=,∴y=4﹣x=,即点P1坐标为〔,．②若以CD为一腰,∵点P2在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P2与点C关于直线x=1对称,此时点P2坐标为〔2,3．∴符合条件的点P坐标为〔,或〔2,3．[点评]此题是一道典型的"存在性问题",结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质,考查了它们存在的条件,有一定的开放性．22．〔2015•XX如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B．〔1①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．〔2若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC．求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标．〔3抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a〔x+4〔x﹣1,然后将点C的坐标代入即可求得a的值；〔2设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=m2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标；〔3首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合,即M〔0,2时,△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性,当M〔﹣3,2时,△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系．[解答]解：〔1①y=当x=0时,y=2,当y=0时,x=﹣4,∴C〔0,2,A〔﹣4,0,由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称,∴点B的坐标为1,0．②∵抛物线y=ax2+bx+c过A〔﹣4,0,B〔1,0,∴可设抛物线解析式为y=a〔x+4〔x﹣1,又∵抛物线过点C〔0,2,∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．〔2设P〔m,m2m+2．过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,∴Q〔m,m+2,∴PQ=m2m+2﹣〔m+2=m2﹣2m,∵S△PAC=×PQ×4,=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣〔m+22+4,∴当m=﹣2时,△PAC的面积有最大值是4,此时P〔﹣2,3．〔3在Rt△AOC中,tan∠CAO=在Rt△BOC中,tan∠BCO=,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下图：①当M点与C点重合,即M〔0,2时,△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性,当M〔﹣3,2时,△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时,设M〔n,n2n+2,则N〔n,0∴MN=n2+n﹣2,AN=n+4当时,MN=AN,即n2+n﹣2=〔n+4整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=2∴M〔2,﹣3；当时,MN=2AN,即n2+n﹣2=2〔n+4,整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4〔舍,n2=5,∴M〔5,﹣18．综上所述：存在M1〔0,2,M2〔﹣3,2,M3〔2,﹣3,M4〔5,﹣18,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．[点评]本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,难度较大,解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．23．〔2015•XX已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为A,且tan∠ACO=〔1求二次函数的解析式；〔2P为二次函数图象的顶点,Q为其对称轴上的一点,QC平分∠PQO,求Q点坐标；〔3是否存在实数x1、x2〔x1＜x2,当x1≤x≤x2时,y的取值范围为≤y≤？若存在,直接写在x1,x2的值；若不存在,说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1首先根据tan∠ACO=,求出OA的值,即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4,求出b的值,即可判断出二次函数的解析式．〔2首先根据Q为抛物线对称轴上的一点,设点Q的坐标为〔﹣,n；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ,可得∠OQC=∠OCQ,所以OQ=OC,据此求出n的值,进而判断出Q点坐标即可．〔3根据题意,分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法,求出满足题意的实数x1、x2〔x1＜x2,使得当x1≤x≤x2时,y的取值范围为≤y≤即可．[解答]解：〔1如图1,连接AC,,∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C,∴C点的坐标为〔0,﹣4,∵tan∠ACO=,∴,又∵OC=4,∴OA=1,∴A点的坐标为〔1,0,把A〔1,0代入y=x2+bx﹣4,可得0=1+b﹣4,解得b=3,∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．〔2如图2,,∵y=x2+3x﹣4,∴抛物线的对称轴是：x=﹣,∵Q为抛物线对称轴上的一点,∴设点Q的坐标为〔﹣,n,∵抛物线的对称轴平行于y轴,∴∠CQP=∠OCQ,又∵∠OQC=∠CQP,∴∠OQC=∠OCQ,∴OQ=OC,∴,∴,解得n=±,∴Q点坐标是〔﹣,或〔﹣,﹣．〔3①当x1≤x2≤﹣时,二次函数y=x2+3x﹣4单调递减,∵y的取值范围为≤y≤,∴由+3x1﹣4=,解得x1=﹣3,﹣2,2,由+3x2﹣4=,解得x2=﹣3,﹣2,2,∵x1≤x2≤﹣,∴②当x1≤﹣≤x2时,Ⅰ、当﹣时,可得x1+x2≤﹣3,∵y的取值范围为≤y≤,∴由〔1,可得,由〔2,可得x1=﹣3,﹣2,2,∵x1≤﹣＜x2,,∴没有满足题意的x1、x2．Ⅱ、当﹣时,可得x1+x2＞﹣3,∵y的取值范围为≤y≤,∴解得∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3,∴没有满足题意的x1、x2．③当﹣＜x1≤x2时,二次函数y=x2+3x﹣4单调递增,∵y的取值范围为≤y≤,∴〔1×x2﹣〔2×x1,可得〔x1﹣x2〔x1x2+4=0,∵x1﹣x2≠0,∴x1x2+4=0,∴…〔1,把〔3代入〔1,可得,∵,∴,∴,∵,∴没有满足题意的x1、x2．综上,可得x1=﹣3,x2=﹣2时,当x1≤x≤x2时,y的取值范围为≤y≤．[点评]〔1此题主要考查了二次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．〔2此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法,以及二次函数的最值的求法,要熟练掌握．24．〔2015•XX如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l⊥y轴于点B〔0,﹣2,A为OB的中点,以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点,且CD=4,点P为抛物线上的一个动点,以P为圆心,PO为半径画圆．〔1求抛物线的解析式；〔2若⊙P与y轴的另一交点为E,且OE=2,求点P的坐标；〔3判断直线l与⊙P的位置关系,并说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1根据题意可知A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0,从而可求得抛物线的解析式；〔2根据OE=2可知点E的坐标为〔0,2或〔0,﹣2,从而可确定出点P的纵坐标为1或﹣1；〔3设点P的坐标为〔m,,然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离,根据d=r,可知直线和圆相切．[解答]解：〔1∵点A为OB的中点,∴点A的坐标为〔0,﹣1．∵CD=4,由抛物线的对称性可知：点C〔﹣2,0,D〔2,0,将点A〔0,﹣1,C〔﹣2,0,D〔2,0代入抛物线的解析式得：,解得：,∴抛物线得解析式为y=．〔2如下图：过点P1作P1F⊥OE．∵OE=2,∴点E的坐标为〔0,2．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴点P1的纵坐标为1．同理点P2的纵坐标为1．将y=1代入抛物线的解析式得：x1=,x2=2．∴点P1〔﹣2,1,P2〔2,1．如下图：当点E与点B重合时,点P3与点A重合,∴点P3的坐标为〔0,﹣1．综上所述点P的坐标为〔﹣2,1或〔2,1或〔0,﹣1．〔3设点P的坐标为〔m,,∴圆的半径OP==,点P到直线l的距离=﹣〔﹣2=+1．∴d=r．∴直线l与圆P相切．[点评]本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用,根据题意确定出点E的坐标,然后再得出点P的纵坐标是解题的关键．25．〔2015•XX如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．〔1求抛物线的解析式；〔2如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？〔3在〔2的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在,请直接写出点P的坐标；如果不存在,请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1首先根据直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,求出点B的坐标是〔0,3,点C的坐标是〔4,0；然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,求出a\c的值是多少,即可求出抛物线的解析式．〔2首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,然后设点E的坐标是〔x,﹣x2+x+3,则点M的坐标是〔x,﹣x+3,求出EM的值是多少；最后根据三角形的面积的求法,求出S△ABC,进而判断出当△BEC面积最大时,点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可．〔3在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论,根据平行四边形的特征,求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．[解答]解：〔1∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,∴点B的坐标是〔0,3,点C的坐标是〔4,0,∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,∴解得∴y=﹣x2+x+3．〔2如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,,∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,∴设点E的坐标是〔x,﹣x2+x+3,则点M的坐标是〔x,﹣x+3,∴EM=﹣x2+x+3﹣〔﹣x+3=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×〔﹣x2+x×4=﹣x2+3x=﹣〔x﹣22+3,∴当x=2时,即点E的坐标是〔2,3时,△BEC的面积最大,最大面积是3．〔3在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．①如图2,,由〔2,可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是〔2,,又∵点A的坐标是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是〔1,m,点P的坐标是〔x,﹣x2+x+3,则解得或,∵x＜0,∴点P的坐标是〔﹣3,﹣．②如图3,,由〔2,可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是〔2,,又∵点A的坐标是〔﹣2,0,∴AM==,∴AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是〔1,m,点P的坐标是〔x,﹣x2+x+3,则解得或,∵x＞0,∴点P的坐标是〔5,﹣．③如图4,,由〔2,可得点M的横坐标是2,∵点M在直线y=﹣x+3上,∴点M的坐标是〔2,,又∵点A的坐标是〔﹣2,0,∴AM==,∵y=﹣x2+x+3的对称轴是x=1,∴设点Q的坐标是〔1,m,点P的坐标是〔x,﹣x2+x+3,则解得,∴点P的坐标是〔﹣1,．综上,可得在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是〔﹣3,﹣、〔5,﹣、〔﹣1,．[点评]〔1此题主要考查了二次函数综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了数形结合思想的应用,考查了从已知函数图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．〔2此题还考查了函数解析式的求法,以及二次函数的最值的求法,要熟练掌握．〔3此题还考查了三角形的面积的求法,要熟练掌握．26．〔2015•XX如图,抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A〔﹣1,0,B〔4,,点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点〔不与点A,B重合,直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD．〔1求抛物线的解析式；〔2设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标．[考点]二次函数综合题．[专题]综合题；压轴题．[分析]〔1将A、B两点坐标代入,可得a、b的值,继而可得抛物线的解析式；〔2先确定直线AB的解析式,然后可得出点C、D的坐标,表示出△ADB的面积,根据二次函数的最值确定点C的坐标．[解答]解：〔1由题意得,解得：,∴y=﹣x2+2x+．〔2设直线AB解析式为：y=kx+b,则有,解得：,∴y=x+,则D〔m,﹣m2+2m+,C〔m,m+,CD=〔﹣m2+2m+﹣〔m+=﹣m2+m+2,∴S=〔m+1•CD+〔4﹣m•CD=×5×CD=×5×〔﹣m2+m+2=﹣m2+m+5∵﹣＜0,∴当m=时,S有最大值,当m=时,m+=×+=,∴点C〔,．[点评]本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值及三角形的面积,关键是掌握配方法求最值的运用,难度一般．27．〔2015•XX如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A〔﹣3,0,点C〔0,3,点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上．〔1求抛物线的解析式；〔2DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P,若不存在请说明理由；〔3如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1把A、C两点坐标代入可求得b、c,可求得抛物线解析式；〔2当点P在∠DAB的平分线上时,过P作PM⊥AD,设出P点坐标,可表示出PM、PE,由角平分线的性质可得到PM=PE,可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时,同理可求得P点坐标；〔3可先求得△FBC的面积,过F作FQ⊥x轴,交BC的延长线于Q,可求得FQ的长,可设出F点坐标,表示出B点坐标,从而可表示出FQ的长,可求得F点坐标．[解答]解：〔1∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A〔﹣3,0,点C〔0,3,∴,解得,∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3,〔2存在,当P在∠DAB的平分线上时,如图1,作PM⊥AD,设P〔﹣1,m,则PM=PD•sin∠ADE=〔4﹣m,PE=m,∵PM=PE,∴〔4﹣m=m,m=﹣1,∴P点坐标为〔﹣1,﹣1；当P在∠DAB的外角平分线上时,如图2,作PN⊥AD,设P〔﹣1,n,则PN=PD•sin∠ADE=〔4﹣n,PE=﹣n,∵PN=PE,∴〔4﹣n=﹣n,n=﹣﹣1,∴P点坐标为〔﹣1,﹣﹣1；综上可知存在满足条件的P点,其坐标为〔﹣1,﹣1或〔﹣1,﹣﹣1；〔3解法1：∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3,∴B〔1,0,∴S△EBC=EB•OC=3,∵2S△FBC=3S△EBC,∴S△FBC=,过F作FQ⊥x轴于点H,交BC的延长线于Q,过F作FM⊥y轴于点M,如图3,∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB•HQ﹣BH•HF﹣QF•FM=BH〔HQ﹣HF﹣QF•FM=BH•QF﹣QF•FM=QF•〔BH﹣FM=FQ•OB=FQ=,∴FQ=9,∵BC的解析式为y=﹣3x+3,设F〔x0,﹣x02﹣2x0+3,∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9,解得：x0=或〔舍去,∴点F的坐标是〔,．解法2：设点F的坐标为〔x,﹣x2﹣2x﹣3,过点F作FM垂直y轴于点M,并与BC交于点N,如图4,CM=CO﹣MO=3﹣〔﹣x2﹣2x﹣3=x2+2x,易得MN=CM=x2+x,∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x,同解法1可求得S△FBC=,即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FN•CM+FN•MO=FN•CO=〔x2﹣x=,解得：x0=或〔舍去,∴点F的坐标是〔,．[点评]本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在〔1中注意待定系数法的应用步骤,在〔2中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况,在〔3中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多,综合性很强,难度适中．28．〔2015•潍坊二模已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m＜n,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A〔m,0、B〔0,n．〔1求这个抛物线的解析式；〔2设〔1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；〔注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0的顶点坐标为〔3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出P点的坐标．[考点]二次函数综合题．[专题]压轴题．[分析]〔1通过解方程即可求出m、n的值,那么