311方程的根与函数的零点练习题解析

1．函数f(x)＝log(x－1)的零点是()5A．0B．1C．2D．3分析：选(x－1)＝0，解得x＝2，∴函数f(x)＝log5(x－1)的零点是x＝2，应选C.2．依据表格中的数据，能够判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间( )x－10123ex1x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)分析：选C.设f(x)＝ex－x－2，∵f(1)＝－3＝－＜0，f(2)＝－4＝＞0.∴f(1)f(2)＜0，由根的存在性定理知，方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(1,2)．应选C.3．(2010年高考福建卷)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0)的零点个数为(－2＋lnx，x＞0A．0B．1C．2D．3分析：选C.当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x＞0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2，应选C.4．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．分析：由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.解得x10，x2＝2，所以，函数f(x－1)的零点是0和2.答案：0和21．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )1A．0,2B．0，－211C．0，2D．2，2分析：选B.由题意知2a＋b＝0，b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，1使g(x)＝0，则x＝0或－2.2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )A．＜1B．＞1aaC．a≤1D．a≥1分析：选B.由题意知，＝4－4<0，∴a>1.a23．函数f(x)＝lnx－x的零点所在的大概区间是( )A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e,3)2分析：选B.∵f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，3f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．4．以下函数不存在零点的是()A．＝－1B．＝22－－1yxxyxxC．y＝x＋1x≤0x＋1x≥0x－1x＞0D．y＝x＜0x－1分析：选D.令y＝0，得A和C中函数的零点均为11，－1；B中函数的零点为－2，1；只有D中函数无零点．5．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为()A．0B．1C．2D．没法确立分析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即观察图象y＝log2a126．设函数y＝x3与y＝(1x－2的图象的交点为(0，y0)，则0所在的区间是())2xxA．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)31x－2分析：选B.设f(x)＝x－(2)，1－21－1310则f(0)＝0－(2)<0；f(1)＝1－(2)<0；f(2)＝2－(2)>0.∴函数f(x)的零点在(1,2)上．7．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．分析：设方程f(x)＝0的另一根为x，2由根与系数的关系，得1＋x＝－a＝－2，故x＝－3，即另一个零点为－3.答案：－38．若函数f(x)＝3ax－2＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是a________．分析：由于函数f(x)＝3－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f(－ax1)·f(1)≤0，即(－5a＋1)·(a＋1)≤0，(5a－1)(a＋1)≥0，5a－1≥05a－1≤0，1所以a＋1≥0或a＋1≤0，解得a≥5或a≤－1.1答案：a≥5或a≤－1.9．以下说法正确的有________：①对于函数f()＝2＋＋，若f( )＞0，()＞0，则函数f(x)在区间(a，)内必定xxmxnafbb没有零点．②函数f(x)＝2x－x2有两个零点．③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.2④当a＝1时，函数f(x)＝|x－2x|－a有三个零点．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x轴的交点对于原点对称，其和为0.④设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，极点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④2－210．若方程x＋＝0在(0,1)恰有一个解，求a的取值范围．axa解：设f(x)＝x2－2ax＋a.由题意知：f(0)·f(1)＜0，即a(1－a)＜0，依据两数之积小于0，那么必定一正一负．故分为两种状况．a＞0，或a＜0，1－a＜0，1－a＞0，∴a＜0或a＞1.11．判断方程log2x＋x2＝0在区间[1，1]内有没有实数根？为何？2解：设f(x)＝log2x＋x2，1112132f(1)＝log21＋1＝1＞0，∴f1(1)＜0，函数f()＝log2x＋x2的图象在区间[1( )·，1]2fx2121上是连续的，所以，f(x)在区间[2，1]内有零点，即方程log2x＋x＝0在区间[2，1]内有实根．2－2(12．已知对于x的方程a＋1)x＋－1＝0，研究a为何值时，axa方程有一正一负两根；方程的两根都大于1；方程的一根大于1，一根小于1.解：(1)由于方程有一正一负两根，a－10所以由根与系数的关系得a＜，＝12a＋4＞0解得0＜a＜1.即当0＜a＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大概图象如图(1)(2)所示，a＞0a＜0＞0＞0所以一定满足a＋1，或a＋1，不等式组无解．a＞1a＞1f1＞0f1＜0所以不存在实数，使方程的两根都大于1.ax1，x2，由方程的两根都大于1，得x1－1＞0，x2－1＞0，法二：设方程的两根分别为x－1x2－1＞01即x－1＋x－1＞012xx－x＋x2＋1＞0121.?＋x2＞2x1a－12a＋1＋1＞0a－aa＜0所以2＋1?＞0，不等式组无解．a＞2