电磁感应定律的综合应用 课件

第60讲电磁感应定律的综合应用自主·夯实基础

自主预习轻松过关

名师点金电磁感应的考题往往与前面的知识联系较多,综合性强,归纳起来就是要分析感应电路的电流、电压、功率以及电路中的力学问题,包括静力学问题、动力学问题、动量以及功能问题.这些考题往往涉及以下两个规律:

1.磁感应强度不变，只是由于导体棒切割磁感线产生的电磁感应，转化的电能等于导体棒克服安培力所做的功.

2.恒定的拉力使导体棒切割磁感线产生的电磁感应，安培力往往会使导体棒做加速度越来越小的变加速运动.

知识梳理电磁感应产生感应电流，电流在磁场中受安培力的作用，影响导体的运动状态.此类问题多与导轨、金属棒相联系，高考试题中多次涉及，现将其典型问题归纳如下：

1.一根导体棒在导轨上滑动2.两根导体棒在导轨上滑动

基础自测

1.(2009年北大附中统练)如图60-1所示,两根水平放置的平行的光滑金属导轨处在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨所在的平面,导轨的一端与一电阻相连；具有一定质量的金属杆ab放在导轨上并与导轨垂直.现用一平行于导轨的恒力F拉ab,使它由静止开始向右运动.杆和导轨的电阻、感应电流产生的磁场均可不计.用E表示回路中的感应电动势,I表示回路中的感应电流,在I随时间增大的过程中,电阻消耗的功率（）图60－1

A.等于F的功率

B.等于安培力的功率的绝对值

C.等于F与安培力合力的功率

D.小于IE

【解析】安培力的功率就是电功率；F和安培力的合力做功增加ab的动能.

【答案】B

2.(2009年郑州第一次质量预测)如图60-2所示,两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面,导轨上横放着两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路.导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧,两棒的中间用细线绑住,它们的电阻均为R,回路上其余部分的电阻不计.在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场.开始时,导体棒处于静止状态.剪断细线后,导体棒在运动过程中（）图60－2

A.两根导体棒和导轨形成的回路中将产生持续的交变电流

B.两根导体棒所受安培力的方向总是相同的

C.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能守恒

D.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒,机械能不守恒

【解析】ab、cd所受安培力始终等大反向,合力为零,因此系统动量守恒；机械能逐渐转化为电能,又接着转化为内能.

【答案】D创新·方法探索

提炼方法展示技巧

题型方法

一、等效电路问题

例1圆环a和圆环b的半径之比为2∶1,两环用同样粗细的、同种材料的电阻线制成,以电阻不计的导线将两圆环的小缺口连成闭合回路,匀强磁场的磁感应强度均匀增大,变化率恒定.则在a环单独置于磁场中和b环单独置于磁场中两种情况下(如图60-3甲、乙所示),M、N两点间的电压绝对值U1∶U2为(

)图60-3

A.4∶1

B.1∶4

C.2∶1

D.1∶2

【解析】穿过a环的磁通量发生变化,则a环为电源,b环为外电路,M、N两点的电压U1为该时的路端电压,用楞次定律确定a环的电流方向为逆时针,画出图60-3甲的等效电路图如图60-3丙所示；穿过b环的磁通量发生变化,则b环为电源,a环为外电路,M、N两点的电压U2同样为该时的路端电压,画出图60-3乙的等效电路图如图60-3丁所示。图60-3

圆环a和圆环b的半径之比为2∶1,则a环周长是b环周长的2倍,令b环电阻rb=r,则a环电阻ra=2r；令b环的面积Sb=S，则a环的面积Sa=4S；磁场的变化率恒定,令由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势：故εa=kSa=4kS,εb=kSb=kS则：

故，选C．

【答案】C

【点评】解决电磁感应中的电路问题,关键是画出等效电路图,再结合电路规律解题,注意不要把M、N两点的电势差(路端电压)与感应电动势混为一谈．

方法概述闭合电路中磁通量发生变化或有部分导体在做切割磁感线运动,在回路中将产生感应电动势,回路中将有感应电流.从而讨论相关电流、电压、电功等问题.其中包含电磁感应与力学问题、电磁感应与能量问题.分析思路是：

1.产生感应电动势的导体相当于一个电源,感应电动势等效于电源电动势,产生感应电动势的导体的电阻等效于电源的内阻.

2.电源内部电流的方向是从负极流向正极,即从低电势流向高电势.

3.产生感应电动势的导体跟用电器连接,可以对用电器供电,由闭合电路欧姆定律求解各种问题．

4.解决电磁感应中的电路问题,须按题意画出等效电路,其余问题为电路分析和闭合电路欧姆定律的应用.

二、力学问题

例2

在图60-4甲中，abcd为一边长为l、具有质量的刚性导线框，位于水平面内，bc边中串接有电阻R，导线的电阻不计.虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线框的ab边平行.磁场区域的宽度为2l，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力F的作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域.已知ab边刚进入磁场时，线框便变为匀速运动，此时通过电阻R的电流的大小为i0，试在如图60-4乙所示的i-x坐标上定性画出，从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，流过电阻R的电流i的大小随ab边的位置坐标x变化的曲线.

【解析】当线框进入时此时线框的速度电流当线框完全进入磁场后，感应电流和安培力都变为0，线框做匀加速运动，故线框右端从磁场中出来时速度v1＞v0安培力F安′=线框加速度的大小图60-4

由此可知线框从磁场中出来的过程做加速度越来越小的减速运动，在线框完全出来前速度可能已变为v0，也可能仍大于v0.又因为，故线框向右运动的过程中i-x图象如图60-4丙所示：注：在位移为2l～3l的过程，图象可能为三曲线中的某一条.

【答案】略

【点评】线框从磁场中出来时，i-x图象可能有三种情况：①完全离开时电流恰好变为i0;②离开前电流已变为i0;③离开磁场时，电流仍大于i0.图60-4丙

方法概述

恒定拉力使某导体棒切割磁感线产生电磁感应,该导体棒在安培力的作用下往往做加速度越来越小的变加速运动,且趋于的稳定速度为:

三、能量问题

例3如图60-5甲所示，两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ=37°角的斜面上，导轨电阻不计，间距L=0.3m，导轨两端各接一个阻值R0=2Ω的电阻；在斜面上加有磁感应强度B=1T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场.一质量m=1kg、电阻r=2Ω的金属棒横跨在平行导轨间，棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上、

v0=10m/s的初速度上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电荷量Δq=0.1C，求上端电阻R0产生的焦耳热Q.（g取10m/s2）

【解析】解法一设上滑过程中通过的路程为s，时间为t,根据法拉第电磁感应定律有：上滑过程中平均感应电动势通过ab棒的平均电流通过上端电阻的电流通过上端电阻的电荷量Δq=I′t联立解得:s=2m设金属杆上滑的过程中克服安培力所做的功为W安，由动能定理得：解得：W安=30J

又因为ab克服安培力所做的功等于转化的电能，等于回路产生的焦耳热.设上端电阻R0产生的焦耳热为Q，有：

解得：Q=5J.解法二由于导轨电阻不计，题中感应电路等效图如图60-5乙所示，故ab上升过程中通过的感应电荷量为：

解得:ab棒上滑的最大位移s=2m设ab杆上滑过程中上端电阻产生的焦耳热为Q，则整个回路产生的焦耳热为6Q，由能量的转化和守恒定律有：

解得：Q=5J.

【答案】5J

【点评】通过本题的解析，一方面可以加深对推论的理解，另一方面可以再次复习动能定理与能量转化和守恒的关系.

方法概述导线切割磁感线引起的电磁感应,每一时刻转化电能的功率都等于导线克服安培力做功的功率.对于直导线平动垂直切割的情形，可证明如下：

例4如图60-6甲所示，在竖直向下的磁感应强度B=5T的有界匀强磁场中，有一个边长L=0.4m的正方形闭合金属线框放在光滑的水平地面上，线框的ab边与磁场右边界MN平行且相距0.09m，线框的电阻R=10Ω，质量m=0.20kg，t=0时，线框静止.现对线框加一向右的水平拉力F，使线框以a=2.0m/s2

的加速度做匀加速直线运动，试通过分析和计算，在图60-6乙上画出F-t图象.图60-6

【解析】线框ab边到达磁场边界MN的时间为：

在0~0.3s内，由牛顿第二定律有：F1=ma=0.4N线框cd边到达MN的时间为：

在0.3s~0.7s内，由牛顿第二定律有：

其中v=at，可得F2=0.4+0.8t当t＞0.7s时，线框已从磁场中出来，F3=F1=0.4N，故F-t图象如图60-6丙所示.

【答案】如图60-6丙所示

图60-6丙

高考排雷

导体棒在拉力的作用下做切割磁感线的运动中，以下几种情况拉力做的功可能并不等于转化的电能：（1）导体棒做变速运动切割磁感线.（2）导体棒与导轨之间有滑动摩擦力时.（3）导体棒做切割磁感线运动的同时，回路中磁感应强度也在变化.

例

如图60-7所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为r0，金属棒ab的电阻不计.整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数.金属棒ab在水平外力F的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动，t=0时金属棒ab与MN相距非常近.（1）当t=t0时，水平外力F为多大？（2）求当t=t0时，闭合回路的电功率.

【错解】（1）当t=t0时，回路中金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：

E总=Bdv=kt0dv此时回路的总电阻R=2r0vt0由I=E总2r0vt0可解得：故图60-7

（2）当t=t0时，金属棒做匀速运动，此时安培力的大小等于外力F，故回路的电功率

【剖析】上述（1）、（2）两问的解析都有错误，（1）中只考虑到切割磁感线产生的电磁感应，其实回路所在区域的磁感应强度变化也产生电磁感应；（2）中回路的电功率也不能只考虑克服安培力做功的功率，磁场变化也转化电能.

【正解】当t=t0时,回路中电磁感应产生的感应电动势为：其中S=kdvt0

Bdv=kdvt0此时回路的总电阻R=2r0vt0所以

故（2）当ab做匀速运动时,有：F安=BId=F解得：故回路的电功率

【答案】(1)

(2)

体验成功

1.(2010年华师一附中检测)边长为L的正方形导线框在水平拉力F作用下,沿光滑绝缘水平面向右匀速运动,穿越如图60-8甲所示的有理想边界的匀强磁场区(图为俯视图),磁场区由宽均为L的两部分组成,磁感应强度大小相同,方向相反,都垂直于水平面.若线框进入左边磁场区过程水平拉力做的功是W,那么线框穿越整个磁场区的全过程拉力F做的功是（）

A.3W

B.4W

C.5W

D.6W

【解析】线框进入左边磁场区的过程(图60-8乙),只有一条边切割磁感线,只有一条边受安培力,因此水平拉力大小；线框进入右边磁场区的过程(图60-8丙),有两条边切割磁感线,有两条边受安培力,因此水平拉力大小；线框穿出右边磁场区过程(图60-8丁)又是只有一条边切割磁感线,只有一条边受安培力,因此和线框进入左边磁场区过程相同.由以上分析,三个过程拉力做功之比为1∶4∶1,选D.

【答案】D图60-8甲图60-8

2.(抚州一中高三第四次模拟考试)在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电流的正方向如图60-9甲所示,当磁场的磁感应强度B随时间t如图60-9乙变化时,图60-9丙中能正确表示线圈感应电动势E变化的是（）图60-9

【解析】在第1s内,由楞次定律可判定电流为正,其产生的感应电动势；在第2s和第3s内,磁场B不变化,线圈中无感应电流；在第4s和第5s内,B减小,由楞次定律可判定,其电流为负,产生的感应电动势,由于ΔB1=ΔB2,Δt2=2Δt1,故E1=2E2,由此可知,选项A正确．

【答案】A

3.(2009年启东中学模拟)如图60-10甲所示,一个高度为L的矩形线框无初速度地从高处落下,设线框下落过程中,下边保持水平向下平动.在线框的下方,有一个上下界面都是水平的匀强磁场区,磁场区高度为2L,磁场方向与线框平面垂直.闭合线圈下落后,刚好匀速进入磁场区,进入过程中,线圈中的感应电流i随位移x变化的图象可能是图60-10乙中的（）

【解析】线框进磁场时,因下边始终匀速切割磁感线,通过R的感应电流的大小恒定为I0,方向不变.线框完全进入磁场后,安培力立即消失,线框仅在重力的作用下做匀加速运动．当下边刚出磁场时,线框的速度大于进磁场时的速度,故电流大于I0,线框所受安培力大于重力,做减速运动,感应电流及安培力都减小,所以线框的加速度a也减小,即线框出磁场时做加速度不断减小的减速运动．图60-10甲图60-10乙

选项B、D在2L到3L之间的曲线,分别对应着上边刚要出磁场时,线框的速度未减小到进磁场时的速度和已减小到进磁场时的速度,之后匀速离开磁场.由于上边刚要出磁场时的速度不会小于线框进磁场时的速度,故x=3L处电流不小于I0,选项C是错误的．

【答案】BD

4.(2009年湖北四校联考)在光滑的水平地面上方有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场,如图60-11所示，PQ为两个磁场的边界,磁场范围足够大.一个半径为a,质量为m,电阻为R的金属圆环垂直磁场方向,以速度v从如图所示位置运动,当圆环运动到直径刚好与边界线PQ重合时,圆环的速度为,下列说法正确的是（）

A.此时圆环中的电功率为

B.此时圆环的加速度为

C.此过程中通过圆环截面的电荷量为

D.此过程中回路产生的电能为

【解析】此时圆环左右两部分均切割磁感线,此时回路中的电流,由可知此时圆环中的电功率为,选项A正确；此时圆环左右两部分均受安培力,圆环的加速度为，将I代入,可知此时圆环的加速度,选项B错误；由可知此过程中通过圆环截面的电荷量为,选项图60-11C正确；由能量守恒可知此过程中回路产生的电能即动能损失量为,选项D错误.

【答案】AC

5.（2007年北京理综卷）用密度为d、电阻率为ρ、横截面积为A的薄金属条制成边长为L的闭合正方形框abb′a′.如图60-12所示，金属方框水平放在磁极的狭缝间，方框平面与磁场方向平行.设匀强磁场仅存在于相对磁极之间，其他地方的磁场忽略不计.可认为方框的aa′边和bb′边都处在磁极之间，磁极间磁感应强度大小为B.方框从静止开始释放，其平面在下落的过程中保持水平（不计空气阻力）。图60-12（1）求方框下落的最大速度vm（设磁场区域在竖直方向足够长）.（2）当方框下落的加速度为时，求方框的发热功率P.（3）已知方框下落时间为t时，下落高度为h，其速度为vt（vt<vm）.若在同一时间t内，方框内产生的热与一恒定电流I0在该框内产生的热相同，求恒定电流I0的表达式.

【解析】（1）方框质量m=4LAd，方框电阻，方框下落的速度为v时，产生的感应电动势E=B·2L·v感应电流方框下落的过程中受到重力G及安培力F的作用，有：，方向竖直向下，方向竖直向上当F=G时，方框达到最大速度，即v=vm，则有：

得：方框下落的最大速度（2）方框下落的加速度为时，有：

得：方框的发热功率.

（3）根据能量守恒定律有：

得：即恒定电流I0的表达式为：

【答案】（1）（2）（3）金典·预测演习

经典创新展望高考

1.北半球海洋某处地磁场的水平分量B1=0.8×10-4T,竖直分量B2=0.5×10-4T,海水向北流动.海洋工作者测量海水的流速时，将两极板竖直插入此处海水中，保持两极板正对且垂线沿东西方向，两极板相距L=20m，如图所示.与两极板相连的电压表(可看做理想电压表)的示数U=2mV，则（）

A.西侧极板电势高，东侧极板电势低

B.西侧极板电势低，东侧极板电势高

C.海水的流速大小为1.25m/s

D.海水的流速大小为2m/s

【解析】在北半球地磁场竖直分量向下,由右手定则知，电磁感应使得西侧极板电势高,且有E=B2Lv,可得v=2m/s.

【答案】AD

2.如图甲所示，等腰直角三角形OPQ区域内存在匀强磁场，另有一等腰直角三角形导线框ABC以恒定的速度沿垂直于磁场方向穿过磁场，穿越过程中速度始终与AB边垂直且保持AC平行于OQ.关于线框中的感应电流，下列说法正确的是（）

A.开始进入磁场时，感应电流最大

B.开始穿出磁场时，感应电流最大

C.开始进入磁场时，感应电流沿顺时针方向

D.开始穿出磁场时，感应电流沿顺时针方向甲

【解析】乙进入时，感应电动势等效于图乙中长度为BD的导线垂直切割磁感线产生的感应电动势，故知进入过程中感应电动势均匀减小，电流为逆时针方向.同理可知，线框出来时感应电动势均匀增大，电流沿顺时针方向.

【答案】AD

3.如图所示，空间有一方向垂直于纸面宽度为h的匀强磁场区域，一质量为m的长方形金属线框abcd（bc边长大于h）从磁场的上方下落.已知线框的ab边在磁场区域运动的过程做匀速运动，穿过磁场区域所用的时间为t.则线框的cd边在磁场区域运动的过程中（）乙

A.做匀速运动

B.所用时间比t短

C.线框产生的热量大于mgh

D.线框产生的热量等于mgh

【解析】ab在磁场中运动时有：感应电流产生的热量Q=mgh

ab从磁场中出来至cd进入磁场之前，线框以加速度g做匀加速直线运动，cd进入磁场的初速度v′＞v，此时cd受到向上的安培力，故线框将做减速运动（变减速运动且速度趋于v），cd穿出磁场的时间小于t，产生的热量大于mgh.

【答案】BC

4.如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场的方向垂直于导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两棒ab、cd的质量之比为2∶1．用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉棒cd，经过足够长的时间以后（）

A．棒ab、cd都做匀速运动

B．棒ab上的电流方向是由b向a

C．棒cd所受到的安培力的大小等于

D．两棒间的距离保持不变

【解析】因棒ab、cd受到的安培力总是大小相等、方向相反的，故棒ab、cd最终都将做匀加速运动，加速度大小，选项A错误；此时棒cd与棒ab保持一稳定的速度差，使得由mab=2mcd可得F安=

,选项B、C正确.

【答案】BC

5.如图所示，光滑的“Π”形金属导体框竖直放置，质量为m的金属棒MN与框架接触良好.磁感应强度分别为B1、B2的有界匀强磁场方向相反，但均垂直于框架平面，分别处在abcd和cdef区域.现从图示位置由静止释放金属棒MN，当金属棒进入磁场B1区域后，恰好做匀速运动.下列说法正确的有（）

A.若B2=B1，金属棒进入B2区域后将加速下滑

B.若B2=B1，金属棒进入B2区域后仍将保持匀速下滑

C.若B2＜B1，金属棒进入B2区域后可能先加速后匀速下滑

D.若B2＞B1，金属棒进入B2区域后可能先减速后匀速下滑

【解析】金属棒MN在B1区域和B2区域受到的安培力方向都竖直向上，且有，当B2=B1时，金属棒进入B2区域仍将匀速下滑；当B2＜B1时，金属棒进入B2区域后将变加速下滑，速度加至时保持匀速；同理，当B2＞B1时，金属棒进入B2区域后将变减速下滑，速度减至时保持匀速.

【答案】BCD

6.如图甲所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中有固定的金属框架AOC，已知∠AOC＝θ，导体棒DE在框架上从O点开始在外力作用下，沿垂直DE方向以速度v匀速向右平移，使导体棒和框架构成等腰三角形回路.设框架和导体棒材料相同，其单位长度的电阻均为R，框架和导体棒均足够长，不计摩擦及接触电阻.图乙中关于回路中的电流I和电功率P随时间t变化的图象可能正确的是（）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④甲乙

【解析】经过时间t，电路总电阻为：

R总=感应电动势电流与时间无关，图象①正确.消耗的功率P=

R总，因为I与时间无关，R总与时间成正比，则P与时间成正比，故图象④正确.

【答案】B

7.如图所示，正方形线框abcd和直导体棒MN是由相同的、粗细均匀的电阻丝制成的，棒MN垂直跨放在ad边与bc边上，且接触良好，线框处于垂直纸面向里的匀强磁场中.棒MN在拉力的作用下自靠近ab边的位置向cd边匀速运动，不计摩擦，下列说法正确的是（）

A.棒MN中的电流先减小后增大

B.棒MN两端的电压先减小后增大

C.棒MN上拉力的功率先增大后减小

D.矩形线框和MN消耗的总电功率先减小后增大

【解析】棒MN向右匀速运动的过程，感应电动势不变，回路电阻先变大后变小，故有:（1）MN上的电流，先变小后变大.（2）MN两端的电压UMN=E-IRMN，先变大后变小.（3），先变小后变大拉力的功率P=F拉v也先变小后变大.（4）电路消耗的总电功率等于拉力做功的功率，即P电=F拉v，先变小后变大.

【答案】AD

8.光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线,如图所示,抛物线的方程是y=x2,下半部分处在垂直于纸面向外的匀强磁场中,磁场的上边界是y=a的直线(如图中的虚线所示).一个小金属球从抛物面上y=b(b＞a)处以速度v沿抛物面下滑,假设抛物面足够长，经过时间足够长，小金属球沿抛物面下滑后产生的焦耳热是（）

A.mgb

B.

C.mg(b-a)

D.

【解析】小金属球每次进出磁场的过程中发生电磁感应，这一过程将机械能转化为电能,电能再产生焦耳热.故最终小金属球只在y=a边界以下范围振动.由能量的转化和守恒定律可得：

【答案】D

9.2000年底，我国宣布已研制成功一辆高温超导磁悬浮列车的模型车．该车的车速可达到500km/h，可载5人．超导磁悬浮列车的原理图如图所示，图中A是圆柱形磁铁，B是用高温超导材料制成的超导圆环．将超导圆环B水平放在磁铁A上，它就能在磁力的作用下悬浮在磁铁A的上方空中.下列说法正确的是（）

A.若A的S极朝上，则B中感应电流的方向如题图所示

B.若A的N极朝上，则B中感应电流的方向如题图所示

C.在B放入磁场的过程中，B中将产生感应电流,稳定后感应电流消失

D.在B放入磁场的过程中，B中将产生感应电流,且稳定后感应电流仍存在

【解析】不管A的上端是什么极性，线圈受到的安培力一定竖直向上，故选项A正确，B错误；又因为超导中的电阻为零，故磁通量不变化时，电流也能保持恒定.

【答案】AD

10.如图甲所示，两根光滑的平行金属导轨PQ和MN相距d=0.5m，它们与水平方向的夹角为37°（已知sin37°=0.6），导轨的上端与阻值R=4Ω的电阻相连，导轨上放有一根金属棒，金属棒的质量m=0.2kg，电阻r=2Ω.整个装置放在方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1.2T.金属棒在方向沿导轨向上的恒力F作用下由静止开始沿导轨向上运动，电阻R消耗的最大电功率P=1W.（取g=10m/s2）求：（1）恒力F的大小.（2）恒力做功的最大功率.甲

【解析】（1）当感应电动势为E时，回路中的总电功率为：此时R上的电功率故回路中最大的电功率因为又Em=Bdvmcos37°可得：金属棒滑行的最大速度v