第七章应力状态分析-r

第七章应力状态分析低碳钢拉伸铸铁扭转§7-1概述应力状态的概念物体上一点处所有截面上应力的集合应力状态的研究方法

取单元体物体上某点周围截取的足够小长方体。各截面上应力均匀，对应截面上应力等值反向，相互垂直截面上切应力互等。

一般应力状态zxy

平面应力状态xysyzxytytxsysxtxtysx一、解析法abcdfenaayxsxsxsysytytytxtxtnbfe(设ef的面积为dA)1.斜截面上的应力§7-2平面应力状态分析——平面应力状态下任意斜截面（其法线在xy平面内）上的σα和τα计算公式。列平衡方程：tnbfe(设ef的面积为dA)对于与ef

垂直的截面上的应力，abcdfenaayxsxsxsysytytytxtx——平面应力状态下任意斜截面（其法线在xy平面内）上的σα和τα计算公式。tnbfe(设ef的面积为dA)——过一点任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数，切应力服从切应力互等定理。xyxyyxσ1σ2主应力公式：主平面方位：主单元体主方向（主平面的法线方向）二、图解法①②若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在处，半径为。这样的圆——应力圆（莫尔圆）。yx应力圆的作法：COF

应力圆上点的坐标和斜截面上的应力有着一一对应的关系。naaEA1A2起始半径；2倍角对应关系。转向一致；点面yx应力圆的作法：COA1A2点面30°40°例1：单元体σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力；（b）求主应力，确定主平面的位置。解：

解析法（a）COE1E230°40°例1：单元体σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力；（b）求主应力，确定主平面的位置。解：

图解法（a）CO例1：单元体σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面上的应力；（b）求主应力，确定主平面的位置。解：（b）α0=69.2o例2：一纯切应力状态的单元体如图所示。求主应力大小和方向。解：σ1

=OA1=τ，σ3=OA2=-τO铸铁扭转图示单元体上，σx=-6MPa，τx=-3MPa，求主应力大小和主平面位置。OC22.567.5解：σ1σ3

1.24-7.24MPatan2α0=-2τx/σx

=-1，α0=67.5o例3：一、关于下图四个应力状态，说法正确的是：

练习：A:四者均等价；B：a和b等价；C：b和c等价；D：a和c等价。(a)(b)(c)450(d)450二、该单元体是二向应力状态吗？（其中﹦

）

450yxCO12D1D2§7-4三向应力状态下的最大应力abcBEFEAO(a)(b)(a)图中，已知σ1=40MPa，σ2=0，σ3=-60MPa。得：(b)图中，已知σ1=60MPa，σ2=40MPa，σ3=0。得：§7-3基本变形杆件的

应力状态分析FF一、拉压杆件应力状态分析nx——拉压杆件斜截面应力公式στ2ατmax低碳钢拉伸二、扭转杆件应力状态分析TTnx任意α斜截面上的应力：στ三、梁的应力状态分析qmabcdembedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxx在一组曲线上每一点切线的方向是该点主拉应力的方向（主拉应力轨迹线），而在另一组曲线上每一点切线的方向则是主压应力的方向（主压应力轨迹线）。梁的主应力轨迹线：

（两组正交曲线）σ1σ3梁内任意一点的主应力为：弯起钢筋纵向钢筋qτ-+bdc练习：草绘下列杆件内两组主应力轨迹线的大致形状。FFaaFFTTMM§7-5广义虎克定律体积应变一、广义虎克定律单向应力状态下的虎克定律：三向应力状态下的虎克定律：广义虎克定律：

表明各向同性材料在弹性范围内应力分量和应变分量之间的线性本构关系。xzy润扬大桥桥底力学测试现场xzy广义虎克定律：特例：如二向应力状态，令σ3=0F1010例1：在一槽形钢块内，放置一边长为10mm的立方体铝块。铝块与槽壁间无间隙。当铝块受到合力为F=6KN的压力时，试求铝块内任一点的应力。设铝块的泊松比=0.33。解：例2：直径为80mm的圆轴受外力偶T作用。若在圆轴表面沿与母线成－450方向测得线应变为260µ，求T的大小。已知E＝2.0

105MPa，泊松比＝0.3。解：TT450二、体积应变dxdzdy单位体积的改变体积应变

对于纯切应力状态：结论：在任意应力状态下，一点处的体积应变与切应力无关，而与通过该点的任意三个相互垂直平面上的正应力之和成正比。切应力不会引起体积改变——体积模量（压缩模量）§7-6应变能和应变能密度

应变能（弹性应变能）Vε=W（Vε）一、轴向拉压杆件的应变能和应变能密度Fll1FAOBF△lΔl

应变能

应变能密度F`d(Δl)二、三向应力状态下的应变能密度（a）与单元体体积变化相应的那一部分应变能密度——体积改变能密度vV

；与单元体形状改变相应的那一部分应变能密度