激光原理第三章

3.1光学谐振腔的衍射理论3.2对称共焦腔内外的光场分布3.3高斯光束的传播特性

3.4稳定球面腔的光束传播特性3.5激光器的输出功率

3.6激光器的线宽极限第三章激光器的输出特性3.7激光光束质量的品质因子M2

目标：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横模场分布、纵模间隔等基本概念与描述；理解腔内外光场分布特点，掌握高斯光束的传播特性，理解掌握稳定球面腔的光束传播特性；理解输出功率特点与影响因素；掌握线宽极限的物理机制，品质因子的定义式及物理意义。本章任务：掌握激光输出特性的理论基础，会描述光束的传播特性，理解掌握功率输出特性、线宽极限的物理机制；掌握描述光束质量的品质因子的物理本质，为后期激光控制技术打下扎实基础。第三章激光器的输出特性§3.1光学谐振腔的衍射理论开腔模的一般物理概念---自再现模孔阑传输线菲涅耳—基尔霍夫衍射积分积分方程物理意义分离变量法

目标：通过谐振腔衍射理论的描述，掌握自再现模、横模场分布、纵模间隔等基本概念与描述。本节任务：理解激光输出特性的理论基础，会解释自再现模、积分方程及其解的物理含义、掌握纵模间隔表达式并会运用其进行腔模式相关计算。§3.1光学谐振腔的衍射理论一、开腔模的一般物理概念---自再现模1.开腔的自再现模或横模:在开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场(不随时间变化)分布。2.往返损耗：自再现模往返一次所经受的能量损耗。3.往返相移：自再现模往返一次所经受的相移。4.谐振条件：往返相移等于2π的整数倍。二、孔阑传输线光在平面开腔中的传输特点：往复传播；逸出腔外便不能返回腔内；腔镜边缘存在衍射损耗。当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布:渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。二、孔阑传输线二、孔阑传输线*通过孔阑传输线的光场分布的变化①初始入射平面波在到达腔镜时是均匀平面波。②在到达反射镜发生反射时，在镜边发生衍射，边缘场分布出现旁瓣(强度次极大，非等相位面),波前发生改变，等相位面也发生改变，不再是均匀平面波。③此后每次在镜面反射时均发生衍射，每经过一次反射，光波的振幅和相位分布就经历一次改变，经过若干次反射后，光波的振幅和相位分布受衍射的影响越来越小，趋于稳定。④当等相位面经过腔镜反射，不再发生改变时，就称存在的模式为自再现模。⑤均匀平面波入射→自再现模。⑥空间相干性：开始自发辐射—空间非相干。⑦无源开腔中，自再现模的实现伴随着能量的衰减；有源开腔中，自再现模可以形成自激振荡，得到光放大，形成激光。二、孔阑传输线三、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分目的：用数学方法定量地表示开腔模光场分布方法：如果已知某一腔镜镜面上的场分布，求在衍射作用下，经一次渡越在另一腔镜镜面上生成的光场。

工具：菲涅耳—基尔霍夫衍射积分：如果知道光波场在任一处的空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置的振幅和相位分布。将以上积分用于开腔的两个镜面上的场:三、菲涅耳-基尔霍夫衍射积分假设:S΄尺寸远大于λ,ρ足够远,使来自S的光都可以作用于P点一次渡越后,镜Ⅱ：q次渡越后,生成的场uq+1与产生它的场uq之间满足类似的关系:由“自再现”的概念,当q足够大时,除了一个振幅衰减和相移的常数因子外,uq+1应能再现uq,即:代入菲涅耳-基尔霍夫积分方程,简化后有:进一步简化：此即为自再现模场u(x,y)应满足的积分方程式，K(x,y,x’,y’)称为积分方程的核。|U(x,y)|描述镜面上场振幅的分布，其辐角argV(x,y)描述镜面上的相位分布。四、自再现模积分方程(3-7)五、积分方程物理意义本征函数的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。(1)本征函数和激光横模图3-3横模光斑示意图复数：五、积分方程物理意义α表示衰减系数,自再现模振幅按指数衰减,α↑,衰减越大,α→0,无衰减。(-β(β>0)滞后;-β(β<0)超前)表示相位滞后系数(单位相位滞后),↑相位滞后越多。1.单程损耗:单程相对功率损耗3.谐振条件:(有激活介质)一次往返的总相移等于2π的整数倍,开腔自再现模谐振条件:

(2)本征值和单程衍射损耗、单程相移2.单程渡越的总相移

五、积分方程物理意义3.谐振条件:(有激活介质)一次往返的总相移等于2π的整数倍,(2)本征值和单程衍射损耗、单程相移图(3-4)腔中允许的纵模数要根据腔的结构，进一步简化积分方程，使之从数学上可解。对于矩形、圆形平面镜腔、共焦球面腔和一般球面镜腔等常见腔型，这种简化是可行的。关键：简化K(x,y,x΄,y΄),即ρ(x,y,x΄,y΄)的表达式条件:x<<1时六、分离变量法1、矩形平面镜腔六、分离变量法－矩形平面镜腔六、分离变量法－矩形平面镜腔以Um和Un表示第m个和第n个解，m和n表示相应的复常数：积分本征值问题，m、n为一系列不连续的特定值，分别对应相应的本征函数Um(x)和Un(y)。六、分离变量法－矩形平面镜腔多模性:用和表示它们的第m个和第n个解,γm和γn表示相应的复常数,有:*数学描述:求解以上积分方程问题称为积分本征值问题,当γm,γn取不连续的特定值时,方程才成立,γm,γn称为方程的本征值,使方程成立的分布函数和称为与γm,γn对应的本征函数。求解积分方程就是要求出全部的本征值和本征函数，它们决定开腔自再现模的全部特征，包括场分布(镜面上场的振幅和相位分布)、传输特性(模的衰减、相移和谐振频率等)。*意义:代表在x方向

宽度为2a,在y方向无限长的条状腔的自再现模；代表在y方向宽度为2b,在x方向无限长的条状腔的自再现模;矩形镜腔为二者叠加,,即图中阴影部分为其自再现模。

当满足L>>a>>λ，六、分离变量法2、圆形球面腔(由圆形对称性引入极坐标)其中

六、分离变量法-圆形球面腔分离变量:设,(m=0,1,2,---)解为多解，将其第n个解写成Rmn(r),相应的复常数γ→γmn,则有:而整个镜面上的场分布函数为:,γmn为与相对应的本征值。代入上式并化简:六、分离变量法3、一般球面腔P2(x’,y’)P1(x,y)P’1P’2D2D1设两反射镜的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L，六、分离变量法一般球面腔①对称开腔：R1=R2=R，g1=g2=1-L/R。②对称共焦腔：R1=R2=R=L，g1=g2=0，平行平面腔模的自再现膜迭代计算方法迭代法的意义平行平面腔自再现模的形成对于对称开腔，当j足够大时，由数值计算出的uj、uj+1、uj+2…能否满足下述关系：一、迭代计算方法

用迭代公式：…即出现稳定场分布：镜面上各点的场振幅按同样比例衰减(损耗)。各点的相位发生同样大小的滞后(相移)—即“自再现”。1961年，FoxA.G.andLiT.(BellsystemTech.J.,1961,40:453)首次完成此种方法。求出平行平面腔，圆形镜共焦腔等的自再现模。⑴迭代法直观地证明了开腔模式的存在性。⑵迭代法模拟了孔阑传输的过程，形象地、具体地说明了模的各种特征。⑶普适性：计算任何几何形状的开腔中的自再现模。

二、迭代法的意义

振幅相位300次迭代结果三、平行平面腔自再现模的形成考察镜的宽度为2a，腔长为L的对称条状腔：由矩形腔结果，模式迭代方程为：三、平行平面腔自再现模的形成选择初始波—最简单—均匀平面波—u1=1。(等相位面为平面(镜面)Φ＝0)，且振幅为1。将上式代入，求出u2，然后将u2归一化，取再计算u3。特点：⑴开始几次渡越，振幅和相位发生很大变化，边缘的起伏更大。象单边衍射特征。⑵随着渡越次数越多，场分布变化越来越小。(3)经过300次后，场分布不再变化。获得自再现模：振幅中心强。两边弱。具有对称性。基模TEM00模⑷相位：(相移)中心处无滞后，两边滞后增加，已不是平面波(等相位面已不是平面)。⑸自再现模的建立时间：(300次渡越)设λ＝1μm，⑹形成自再现模所需次数(时间)与NF有关。N↑，次数↑。N↑，δ↓(损耗小)。因而渡越次数要多。三、平行平面腔自再现模的形成§3.2对称共焦腔内外的光场分布积分方程及其精确解镜面上场的振幅和相位分布单程损耗单程相移和谐振频率

目标：通过谐振腔衍射理论的解析解描述，掌握自再现模特征表示参数：镜面光斑半径、相位分布、衍射损耗、单程相移、谐振频率等概念与描述，理解频率简并现象。本节任务：理解共焦腔内外光场分布的理论求解过程，会解释自再现模特征表示参数定义及公式并运用之，会解释频率高度简并现象。§3.2对称共焦腔内外的光场分布一、积分方程及其精确解（方形镜对称共焦腔）

尺寸，有。当满足条件：时，其自再现模umn(x.y)所满足的积分方程为式：变量代换：分离变量,令：1)一、积分方程及其精确解代入上式，得到Fm(X)、Gn(Y)分别满足的方程：两个积分方程是有限付氏变换，它们的解是长椭球函数：(Goyd,Gordon)本征函数：长椭球函数本征值：为径向长椭球函数二、镜面上场的振幅和相位分布1、厄米—高斯近似：当共焦腔有较大的NF，即x<<a、y<<a，(仍有)，(光束半径较小)，则积分限可扩展到-∞→+∞。上式中，先求第一式：对上式对X两次微分，得：考虑如下积分：利用，在∞趋于0二、镜面上场的振幅和相位分布－厄米-高斯近似将（2）与（3）相加，得：分部积分法：满足同一形式的方程与线性谐振子的Schrödinger方程相同：二、镜面上场的振幅和相位分布－厄米-高斯近似方程的解(本征函数)是厄米－高斯函数，即有：同理：式中Cm为归一化常数，Hm(X)是阶厄米多项式。将上式代入并换回坐标x，y，得到大菲涅耳数共焦腔衍射积分方程的本征函数（场分布）：为归一化常数。为m阶（n阶）厄米函数。为高斯函数二、镜面上场的振幅和相位分布厄米多项式表达式：2、镜面上的振幅和相位分布：m,n=0,1,2,…表示取整数二、镜面上场的振幅和相位分布阶数为0、1、2最低阶次的厄米－高斯分布和镜面上光强分布图象：二、镜面上场的振幅和相位分布*基模：取m=n=0，称为基模，（最低阶）所以，场分布函数：特征：⑴高斯函数，⑵当时，振幅下降，⑶通常用半径的圆来定义基模光斑的大小,称共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸(半径),(3-23)二、镜面上场的振幅和相位分布注意：（1）理论上，高斯函数是延伸到处，只是在的区域内光强已很弱。（2）仅与曲率半径R(焦距)、腔长、波长有关，与镜面尺寸无关。（）（边缘δ可略）（3）半功率点（基模强度的一半处）的光斑尺寸：强度：当，有：解得：（4）借用光斑尺寸，本征函数（3-18）式为：二、镜面上场的振幅和相位分布* 高阶横模：例：（1）节线：TEM10：有x＝0一条节线。TEM20:有x＝m

两节线依此类推：m表示在TEMmn模沿x方向有m条节线。同理：n表示在TEMmn模沿y方向有n条节线。特点：不等间距，中间密,由H（X）零点方程决定。边缘强，中间弱。二、镜面上场的振幅和相位分布* 高阶横模：x坐标：，对y坐标：x坐标y坐标由ws可求高阶模光斑的大小。例：（2）光斑尺寸：* 相位分布：镜面上的相位分布由umn(x,y)的辐角决定。由于（3-18）为实数，这就表明镜面上的各点相位相同。即：共焦腔反射镜面本身构成了场的一个等相位面，对任何m、n都成立。这与平行平面腔不同。三、单程损耗* 共焦腔自再现模TEMmn的单程功率损耗：

结合其他教材有结论：⑴均匀平面波的衍射(夫琅和费)损耗比平面镜腔的自再现模的损耗大的多。⑵平面镜腔的损耗比共焦腔的损耗大的多。见图4－5。图4-5不同腔的衍射损耗曲线四、单程相移和谐振频率1、共焦腔TEMmn模在腔内单次渡越的总相移：2、共焦腔谐振条件：而结论：由相移表达式可以看出，共焦腔相移与菲涅耳数无关，不同横模的相移之差为/2的整数倍。q：纵模m，n：横模四、单程相移和谐振频率3、共焦腔的振荡频谱：4、频率简并：当q一定时横模频率间隔为：通常q表征沿Z轴（腔轴）方向的场分布，称为纵模。属于同一横模（m、n一定）的相邻纵模频率间隔为3-16&26式：共焦腔对于所有（2q+m+n）相同的模式，有相同的谐振频率，如TEMmnq、TEMm-1,n+1,q、TEMm,n-2,q+1、TEMm-2,n,q+1、…称为模式的频率简并。注意：不同的横模的损耗不同，因此，一般频率简并的模式，损耗并不简并。图(3-6)方形镜共焦腔的振荡频谱五、共焦腔行波场与腔内外的光场分布1.腔内的光场可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。

图3-7计算腔内外光场分布的示意图§3.2对称共焦腔内外的光场分布积分方程及其精确解镜面上场的振幅和相位分布单程损耗单程相移和谐振频率§3.3高斯光束传播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模体积等相位面的分布远场发散角

目标：理解掌握高斯光束传输相关特性本节任务：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用相关公式计算。§3.3高斯光束传播特性

BoydandGordon(1961)证明：镜面上的场能用厄米－高斯函数描述的条件下，共焦腔场可以解析地表示为3－29式：一、共焦腔中的厄米－高斯光束其中：而：是TEMmn模在腔内任意点(x,y,z)处的电场强度，Cmn为归一化常数。二、振幅分布和光斑尺寸共焦场的振幅分布：对基模：二、振幅分布和光斑尺寸定义：在振幅的处的基模的光斑尺寸（z点）：因为x，y方向的对称性，可理解Eoo(x，y)是以z轴为对称轴的旋转。位置z中心（O）镜面（）任意点（z）光斑w(z)最小光斑w0(z=0)称为高斯光束的基模腰斑半径（束腰）。（3-31）可写为：光斑沿z轴的变化为双曲线。三、模体积1．概念：模体积就是该模式在腔内所占有的空间范围。

3．共焦腔基模的模体积：2．模体积与输出功率的关系（除损耗外）：模体积越大，参与该模式振荡的反转粒子数就越多，输出功率也越大，反之，则小。4．共焦腔高阶模的模体积：TEMmn模的模体积是基模的倍，模的阶次越高，模体积越大，多模的输出功率比单模的大。三、模体积5．举例：

共焦腔CO2激光器：腔长L＝1m，放电管直径2a=2cm，。激活介质体积：基模的模体积：基模的模体积率：高功率的基模输出很难，只有用非稳腔。

四、等相位面的分布共焦腔场相位分布由相位函数描述：忽略微小变化（oz<<L）引起的的变化：得：相位随坐标x,y,z而变化，与腔轴相交于zo点的等相位面方程由下式给出：四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：---抛物面方程，顶点在z＝zo处抛物面焦距：（3-38）与腔轴线在zo点相交的等相位面的曲率半径：

⑴zo＞0（等相位面位于右侧），z－zo<0,z在zo左侧，凹向中心zo＜0（等相位面位于左侧），z－zo＞0，z在zo右侧，凹向中心四、等相位面的分布共焦腔基模等相位面特征：⑵曲率半径R随zo而变化：当时，,对称共焦腔的反射镜面为等相位面。⑶zo＝0时，R(zo)，O点等相位面为平面。

zo

时，R(zo)，无穷远，平面。⑷如果在场的任意一个等相位面处，放置一个相同曲率的反射镜，则入射在该镜片上的场将准确地沿原路返回。共焦场不会被扰动。这样任何一组这样的镜片，都可以构成与原共焦腔等价的球面镜腔。等相位面随zo变化过程中，曲率半径R，曲率中心都在不断的变化之中。五、远场发散角发散角（全角）定义：双曲线的两条渐近线之间的夹角2.共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，它的方向性相当好。

3.由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。

讨论1.由波动光学知道，在单色平行光照明下，一个半径为r的圆孔夫琅和费衍射角(主极大至第一极小值之间的夹角)。与上式相比较可知．高斯光束半角远场发散角在数值上等于以腰斑为半径的光束的衍射角，即它已达到了衍射极限。

§3.4圆形镜共焦腔FoxandLi的数值解拉盖尔－高斯近似模的特征圆形镜共焦腔的行波场一、FoxandLi的数值解特点：（与平行平面镜腔相比）⑴振幅：圆形镜共焦腔中的场更集中在反射镜的中心附近，在相同的NF时，镜的边缘处的场振幅降落到比平面镜腔更低的值。⑵等相位面：圆形镜共焦腔反射镜面为场的等相位面，即等相位面为球面。⑶相移：模的单程附加相移与菲涅尔数N无关,平面镜腔的与N有关;共焦腔的与N无关。单程相移对m,n是不同的，有：，与方形镜共焦腔和平面镜腔不同⑷损耗：不同横模的衍射损耗不同，随模的阶次增加而迅速增大，在相同的NF下，比平面腔的损耗小的多。但比方形镜共焦腔的损耗大几倍。二、拉盖尔－高斯近似其中为缔合拉盖尔多项式条件：，圆形镜共焦腔模集中于镜中心附近，超椭球函数近似到拉盖尔－高斯函数：镜面上表示自再现模的本征函数为：n=0、1、2…二、拉盖尔－高斯近似1、图象：角向m=0，径向n取0、1、2（节圆）：2、图象：对于辐角方向的节线，m取不同的值.共焦腔模的小结在菲涅耳数N＞＞1的条件下，共焦腔的自再现模能以厄米－高斯（方镜）和盖拉尔－高斯函数（圆镜）近似描述。1．镜面上的场：①振幅：方镜方向节线方向节线圆镜m辐角方向节线n径向r方向节线基模镜面光斑：共焦腔模的小结*基横模

①振幅：对称高斯分布，二者相同高阶模：二者不同*高阶横模：方镜圆镜方镜圆镜共焦腔模的小结②单程相移和谐振频率：注意：n脚标的频率间隔不同，频率简并不同（都高度简并）③单程衍射损耗相移方镜圆镜频率方镜圆镜方镜圆镜共焦腔模的小结式中：在N>>1的条件下，利用菲涅耳－基尔霍夫衍射积分公式，将共焦腔整个空间的场分布解析地表示出来。这就是厄米－高斯光束（方镜）或拉盖尔－高斯光束（圆镜）。圆镜方镜2．行波场：所以二种高斯光束的行为特性相似，只是轮廓不同。共焦腔模的小结基横模体积：远场发散全角：3．高斯光束基本特性：光斑尺寸：等相位面曲率半径：都唯一地由焦距f(腔长L)决定，与反射镜横向尺寸无关。所以f或w0（由f决定）可作为表征共焦腔高斯光束的特征参数。对比平行平面镜w(z)、都与镜尺寸a有关。

高亮度：共焦腔模的小结①基横模体积很小，易产生多横模振荡。缺点：4．只有精确解才能正确描述共焦腔的损耗特性。每一横模的损耗都唯一地由腔的菲涅耳数NF决定。不同的横模的损耗也不相同。5．共焦腔具有衍射损耗低、模式鉴别力高、易于调整。②对称共焦腔是理想情况（介稳）R1＝R2＝L。如果调整或加工，使得R1＜L＜R2，则腔成为非稳腔。因此对反射镜曲率半径的加工和镜的间距的调整是苛刻的§3.3高斯光束传播特性共焦腔中的厄米－高斯光束振幅分布和光斑尺寸模体积等相位面的分布远场发散角

目标：理解掌握高斯光束传输相关特性本节任务：会表述高斯光束传输相关特性参数及运用相关公式计算。§3.3高斯光束传播特性§3.4稳定球面腔的光束传播特性稳定球面腔的等价共焦腔稳定球面腔的光束传播特性

目标：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相关特性本节任务：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价性；会运用相关公式进行计算。§3.4稳定球面腔的光束传播特性一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性

“等价”—指是有相同的“自再现模”。以共焦腔模式的等相位面分布为依据。根据前面的讨论，由（3-38）式等相位面曲率公式为：1．任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价：＊与无穷多个球面腔等价：前已证明，在共焦腔场的任意两个等相位面上放置两块有相应曲率半径的球面反射镜，则共焦腔场将不会受到扰动，维持原来的光波场状态和特征。但它们就构成一个新的球面腔。即它的场与共焦腔的完全相同。这就是二者“等价”的概念。因为共焦腔的等相位面可以有无穷多个，因此构成的等价球面腔也是无穷多的。

一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性1．任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价：＊这些等价球面都是稳定腔：图中，任意c1、c2处的反射镜的曲率半径分别为：等价球面腔的腔长可证(后面)R1,R2,L满足,的稳定性判据。故等价球面腔都是稳定的。一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性2.任意一个稳定球面腔唯一等价于某一个共焦腔：设：已找到等价共焦腔，焦距f，中心为0处，其行波场的某两个等相位面与给定的球面腔镜面重合，则有：3-48：前提：已知R1、R2、L为一稳定球面腔。上式联立消去一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性2.任意一个稳定球面腔唯一等价于某一个共焦腔：必有①若引入谐振腔几何结构因子：则（3－48）式为：和或②

和但②不能同时满足谐振腔稳定性条件，只有条件①满足。所以：－－证明了前题的稳定条件，也说明球面腔是稳定的。二、镜面上的光斑尺寸按前面共焦腔讨论，基模的光斑尺寸为：＊代入f可得出一般稳定球面腔的行波场基模光斑尺寸。＊再代入Z1、Z2，可得出两个镜面上的光斑尺寸：利用二、镜面上的光斑尺寸表示腔长相同的共焦腔镜面上的光斑半径。可得一般稳定球面腔中束腰的尺寸：由共焦腔中基模束腰的公式：以上三式只对稳定腔运用，因为当或时，、成为复数。没意义。当，或（但）时，和中至少一个趋于发散。（而）所以试用条件为稳定腔二、镜面上的光斑尺寸原腔镜面上光斑尺寸3－50二、镜面上的光斑尺寸作为一般稳定球面腔的例子：对称球面腔，光腰位于腔中心讨论：①（共焦腔）镜面上光斑最小。②（平行平面腔）镜面光斑趋于无穷。③（共心腔）镜面光斑趋于无穷。除去两种极限情况，其它情况，光斑尺寸与共焦腔相差不大。三、等相位面的分布将f代入得：将中的z1和z2代入得：四、谐振频率从共焦腔的相位函数式出发:得（方镜）（圆镜）以（3－48）式之f、z1、z2、分别代入上式，并利用谐振条件：利用（方镜）（圆镜）可见：对一般稳定球面腔而言，共焦腔模的高度简并现象已经减弱四、谐振频率例：对于两块全同的大曲率半径球面镜构成的近平面腔的频谱，与共焦腔相比，纵模的简并已消除，横模的简并仍存在。即：代入方镜公式得：五、衍射损耗＊由于稳定球面腔与等价共焦腔有相同的行波场，而且反射镜的镜面都为等相位面，那么它们的衍射损耗应遵守相同的规律。a：腔镜尺度（方＿线度；圆＿半径）＊前面已经讨论：对称共焦腔的单程衍射损耗单值地与菲涅耳数NF有关（反比）对称共焦腔镜面上的光斑尺寸为：从此式可以看出：为镜的面积量纲，为光斑面积，正比于镜面积与镜面上光斑的面积之比。镜面积↑或镜上光斑面积↓，则。五、衍射损耗＊对于一般稳定球面腔，镜面半径为，镜面上光斑半径;其等效共焦腔,镜面半径为，镜面上光斑半径.则说明两腔的单程损耗相同。将的具体表达式代入上式得：根据上面的讨论：如果引入稳定球面腔的有效菲涅耳数：五、衍射损耗＊从以上分析可见：对一般稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数，即使二镜的线度相同，相应的有效菲涅耳数也不一定相同。当时：＊求出有效菲涅耳数后，即可按共焦腔的单程损耗曲线来查得一般稳定腔的损耗值。＊两镜的平均单程损耗值：六、基模远场发散角根据远场发散角（全角）的表达式（：例：将f的表达式（3－48）代入上式，得到一般稳态球面腔的基模远场发散角（全角）对于对称稳定球面腔，平凹稳定腔是以上的特例。非对称稳定球面腔的所有参数全部求出

①平凹腔：②对称稳定球面腔：③对称共焦腔：④半共焦腔：小结

一、任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，而任一稳定球面腔唯一等价于一个共焦腔。等价共焦腔位置：①基模镜面光斑尺寸：3－48二、一般稳定球面腔特征：ws为同腔长共焦腔镜面的光斑尺寸小结

②模体积：二、一般稳定球面腔特征：⑥发散角：③等相位面分布：镜面为等相位面。④谐振频率（圆镜）：（方镜）⑤衍射损耗：求等效菲涅耳数－－两镜平均§3.4稳定球面腔的光束传播特性稳定球面腔的等价共焦腔稳定球面腔的光束传播特性

目标：与共焦腔比较，理解掌握稳定球面腔光束传输相关特性本节任务：会表述并证明稳定球面腔的共焦腔的等价性；会运用相关公式进行计算。§3.4稳定球面腔的光束传播特性§3.5激光器的输出功率均匀加宽连续激光器的输出功率脉冲激光器的输出功率

目标：理解均匀、非均匀增宽介质激光器输出功率的公式推导思路和过程；掌握输出功率的影响参数。本节任务：会分析均匀、非均匀增宽介质激光稳定输出过程，并运用相关公式进行计算，会解释兰姆凹陷形成过程和结果。§3.5激光器的输出功率1.激光器稳定运转的形成过程*随PP↑→Δn↑，当Δn≈Δnt时，G0(νq)=Gt小信号增益系数=阈值增益系数激光开始自激振荡,但如果仅维持在这个水平上，腔内激光是很弱的。*当Δn>Δnt，G0(νq)>Gt，则↑→≈Is，G(νq,

)饱和→Δn↓→G0(νq)↓这样就出现了一个矛盾的过程：pump持续作用，使G0↑，而增益饱和使G0↓一、均匀加宽连续激光器的输出功率§3.5激光器的输出功率*当pump一定时，仅当G(νq,

)=Gt时，不再增加，系统已达到平衡---稳定的工作状态，

)=Gt=G(νq,

此时,已成为大信号*若再增加pump速率，则重复上述过程[G0↑→↑→G(νq,)饱和→Δn↓→G0(νq)↓→G0≈Gt]最后腔内光强达到一个新的稳定状态，而增益系数仍然满足G(νq,

)=Gt=*当激光器稳定运转时，大信号增益总是等于阈值增益的数值、连续或长脉冲激光器的输出功率1.激光器稳定运转的形成过程§3.5激光器的输出功率*对于均匀加宽介质正比于曲线G0(ν)-Gt所包含的面积*对于非均匀加宽介质正比于G0(ν)

曲线上的烧孔面积2.均匀增宽型介质激光器的输出功率稳定出光时激光器内诸参数的表达式、连续或长脉冲激光器的输出功率1.激光器稳定运转的形成过程§3.5激光器的输出功率图(3-11)谐振腔内光强(1)腔内最小的光强I+(0)(2)腔内最大光强I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a内)(3)输出光强：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a内)(4)镜面损耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a内)剩余部分：I+’(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a内)(5)最大最小光强、输出光强和镜面损耗之间关系

由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光强对于腔内任何一处z都有两束传播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子数反转分布值发生饱和，增益系数也发生饱和，近似用平均光强2I代替腔内光强I+(z)+I-(2L-z)，用作为腔内的平均增益系数，则腔内的平均行波光强为：2.均匀增宽型介质激光器的输出功率稳定出光时激光器内诸参数的表达式3-612.均匀增宽型介质激光器的输出功率②激光器的输出功率对M1有：激光器的总损耗为：如果很小，将用级数展开取一级近似，可得：(1)理想的情况，将全反射镜M2上的镜面损耗都折合到M1上，对M2有：激光器输出光强也可以表示为：若激光器的平均截面为A，则其输出功率为：2.均匀增宽型介质激光器的输出功率②激光器的输出功率激光器输出光强也可以表示为：3-65(1)P与Is的关系:两者成正比(2)P与A的关系:A越大，P越大；而高阶横模的光束截面要比基横的大(3)P与t1的关系:实际中总是希望输出功率大镜面损耗小，即希望这要求t1大，a1小，使t1>>a1

t1过大又使增益系数的阈值G阈升高，而如果介质的双程增益系数2LG0不够大将会导致腔内光强减小，使输出功率降低。严重时使腔内不能形成激光。t1过小，虽然使G阈降低,光强增强，但镜面损耗a1I-(2L)也将增大。2.均匀增宽型介质激光器的输出功率③输出功率与诸参量之间的关系解此方程得：

为了使激光器有最大的输出功率，必须使部分反射镜的透射率取最佳值：此时，激光器得输出功率为：

2.均匀增宽型介质激光器的输出功率②激光器的输出功率3-671).稳定出光时激光器内诸参数的表达式(1)腔内最大光强(2)输出光强(3)镜面损耗(4)最小光强：光波在腔内传播情况如图3-12所示

图3-12非均匀增宽激光器腔内的光强(5)非均匀增宽型介质的增益系数随频率而变光波的频率ν不在非均匀增宽介质的中心频率处，光波在腔内传播时将有两部分粒子—和粒子对它的放大作出贡献。3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率即频率为的光波，和两束光在增益系数的曲线上的两侧对称的“烧”了两个孔。如图3-13所示。非均匀增宽激光器的“烧孔效应”腔内不同地点的光强不同，取I作为平均光强，当增益不太大时I=I+=I-，则介质对光波的平均增益系数为：这就是非均匀增宽型介质对非中心频率光波的增益系数的表达式。(5)非均匀增宽型介质的增益系数随频率而变光波的频率ν不在非均匀增宽介质的中心频率处，光波在腔内传播时将有两部分粒子—和粒子对它的放大作出贡献。3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率光波的频率为线型函数的中心频率，它只能使介质中速度为的这部分粒子数密度反转分布值饱和。此时腔内的光强为I++I-，故介质对的增益系数为：若用平均光强2I来代替，则光波在腔中的平均增益系数可表示为：(5)非均匀增宽型介质的增益系数随频率而变3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率3-74若腔内各频率的光强都等于Is，则以及附近的光波所获得的增益系数分别为：若增益系数的阈值都相等，则和附近频率为光波的平均光强分别为下值，且前者比后者要弱：(5)非均匀增宽型介质的增益系数随频率而变3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率3-74若腔内只允许一个谐振频率，且，激光器在理想的情况下，仍有：依3-72此时腔内的平均光强为：激光器的输出光强为：若光束的截面为A，则激光器的输出功率为：(1)单频激光器的输出功率

2).激光器的输出功率3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率3-79激光器输出光强为：若腔内单纵模的频率为，激光器腔内平均光强为：若光束的截面为A，激光器的输出功率为：3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率(1)单频激光器的输出功率

2).激光器的输出功率3-823-79与一般情形比较，多了一个1/2因子，可见νq=ν0时的输出功率下降了。①当νq=ν1时，，P=0。

②νq=ν2时，，在ν2和=2ν0-ν2处形成两个烧孔，这两部分粒子对频率ν2模有贡献，P2∝两孔(凹陷)面积之和，③当νq=ν3时，两孔面积增加,则P3>P2。④当νq→ν0，且，两个靠近的烧孔开始发生重叠，两个烧孔面积之和小于未重合时的面积和，故P开始小于P3。⑤当νq=ν0时，两个烧孔完全重合，此时仅有υz的一部分粒子对ν0模有贡献，虽然，有最大值，但由于烧孔面积减少了(Δn减少了)，所以，P0仍下降到某一极小值。兰姆凹陷：(Ⅰ)分析输出功率与单纵模频率νq的关系，P∝GD(ν1)∝烧孔面积。3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率2).激光器的输出功率(1)单频激光器的输出功率

(Ⅱ)在P～νq关系曲线上，于中心频率ν0处出现凹陷，称为

兰姆凹陷(多普勒加宽介质)。(Ⅲ)兰姆凹陷的宽度:因时，两烧孔开始重叠，所以，兰姆凹陷的宽度≈烧孔的宽度，即(Ⅳ)兰姆凹陷与气压P的关系：当激光管内气压增高时，以碰撞加宽为主的均匀加宽ΔνH≈ΔνL增加，则凹陷变宽，变浅；当气压高到一定程度，谱线以均匀加宽为主时，兰姆凹陷消失。兰姆凹陷：3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率2).激光器的输出功率(1)单频激光器的输出功率

图(3-14)曲线与“兰姆凹陷”图(3-14)为曲线；图(3-15)为兰姆凹陷与气压的关系曲线图(3-15)“兰姆凹陷”与管中气压的关系3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率2).激光器的输出功率若腔内允许多个谐振频率，且相邻两个纵模的频率间隔大于烧孔的宽度以及各频率的烧孔都是彼此独立的，则平均光强为：(2)多频激光器的输出功率

输出功率为：多频激光器的输出功率为：3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率2).激光器的输出功率若腔内多纵模的频率对称的分布在的两侧，也即有一个纵模率，必有另一个纵模频率，则在理想情况下纵模的增益系数为：纵模在腔内的平均光强为：纵模的输出功率为：该多模激光器的输出功率为：(2)多频激光器的输出功率

3.非均匀增宽型介质激光器的输出功率2).激光器的输出功率二、短脉冲(t0<<τ2)激光器的输出能量阈值泵浦能量Δnt≈n2t，四能级Δnt≈n/2，三能级所以，对于四能级系统，若泵浦能量为EP，则有：个粒子从E1经E3跃迁到E2能级当EP>EPt→N2>N2t→g>gt=δ/l→(I↑→Is饱和作用)→N2↓当N2>N2t，受激辐射迅速衰减至熄灭，剩余的n2tV个粒子由自发辐射返回基态，它们对激光能量没有贡献，所以，净受激发射光子数(对受激发射有贡献的上能级粒子数)为：§3.5激光器的输出功率所以，腔内产生激光能量为：设腔由一全反射镜和一透过率为T的输出镜构成，腔内光能部分损耗(α)，部分输出(T)，则输出能量为：说明：E∝EPt，输出能量与泵浦能量是线性关系二、短脉冲(t0<<τ2)激光器的输出能量其中η0=T/(T+α))§3.5激光器的输出功率§3.5激光器的输出功率均匀加宽连续激光器的输出功率脉冲激光器的输出功率

目标：理解均匀、非均匀增宽介质激光器输出功率的公式推导思路和过程；掌握输出功率的影响参数。本节任务：会分析并运用相关公式进行计算。§3.5激光器的输出功率1.造成线宽的原因2.激光器的线宽§3.6激光器的线宽极限3.造成激光器线宽的原因4.激光线宽与激光器输出功率成反比

目标：理解掌握激光器线宽的起因以及影响。本节任务：会分析激光器的线宽极限。§3.6激光器的线宽极限1.造成线宽的原因(1)能级的有限寿命造成了谱线的自然宽度(2)发光粒子之间的碰撞造成了谱线的碰撞宽度(或压力宽度)。(3)发光粒子的热运动造成了谱线的多普勒宽度。实际的谱线线型是以上三者共同作用的结果，我们把这样的谱线叫做发光物质的荧光谱线，其线宽叫做荧光线宽。2.激光器的线宽§3.6激光器的线宽极限对一个激光器来说，当它在稳定工作时，其增益正好等于总损耗。这时的理想情况是：损耗的能量在腔内的受激过程中得到了补充，而且在受激过程中产生的光波与原来光波有相同的位相，所以新产生的光波与原来的光波相干叠加，使腔内光波的振幅始终保持恒定，相应的就有无限长的波列，故线宽应为“0”。图(3-16)荧光谱线与理想的单色激光谱线§3.6激光器的线宽极限2.激光器的线宽如果激光器是单模输出的话，那么它输出的谱线应该是落在荧光线宽范围内的一条“线”(见图(3-16))。3.造成激光器线宽的原因另一方面，腔内自发辐射又产生一列一列前后位相无关的波列，这些波列和相干的波列的光强相叠加，使腔内的光强保持稳定。而这样一些一段一段的互相独立的自发辐射的波列也要造成一定的线宽。首先,实际的激光器尽管它的自发辐射相对于受激辐射来说是极其微弱的，但它毕竟还是不可避免地存在着，而且在激光器的输出功率中也贡献它极其微小的一个份额。这样，激光器的增益就应该包括受激过程和自发过程两部分的贡献。在振荡达到平衡时，激光器内的能量平衡，应该是介质的受激辐射增益与自发辐射增益之和等于腔的总损耗，因而受激辐射的增益应略小于总损耗。这样，对于受激辐射的相干光来说，每一个波列都存在一定的衰减率，正是这种衰减造成了一定的线宽，这是问题的一面。§3.6激光器的线宽极限