质量管理与质量管理实验设计

第五章试验设计

一、试验设计及其应用范围二、

方差分析三、正交设计

2/3/20231试验设计－5一、试验设计及其应用范围试验设计发源于英国，最早应用于农业生产，在考察各种肥料及施肥量对农作物产量的影响时，建立了试验设计的最初的数学模型。随着生产的发展，试验设计的理论和方法也就随之不断发展，各种有效的试验方法越来越广泛地被各个部门所采用。在质量管理中使用试验设计主要有下面二个目的：1、通过试验，确定影响质量或生产过程的主要原因；2、选择满足设计质量或产品质量的操作条件。2/3/20232试验设计－5试验设计的有关概念1、指标。用以衡量试验效果的特性值被称为试验指标。试验指标通常分为两大类型：一类是定量指标，直接用数量来表示的指标，如收率、产量、硬度等；另一类是定性指标，不能直接用数量来表示，只能凭感觉或感官(触、观、尝、嗅等)来评定的指标，如棉花的手感与颜色、食品的酥、脆、香等。2/3/20233试验设计－52、因素。影响试验指标（结果）的原因称为因素，如反应温度、时间、催化剂种类等。有些因素可以在试验的过程中人为的加以调节与控制，称之为可控因素。如反应温度、反应时间、催化剂的种类等。另一类因素是由于自然、技术与设备等条件的限制，暂时还不能人为调控，这类因素被称为不可控因素(随机因素)，例如地面的轻微震动等。下面我们主要研究可控因素。2/3/20234试验设计－53、水平——因素在试验中所处的各种状态称为因素的水平，如不同的试验温度550C、600C、800C等

。根据试验的需要，因素的水平可以设为二水平、三水平等等。2/3/20235试验设计－5

二、方差分析

1、单因素试验

2、双因素试验

2/3/20236试验设计－51、单因素试验

（1）单因素试验数据表水平组号A1A2…Am∑1x11x21…xm12x12x22…xm2……………nx1nx2n…xmn∑X1。X2。…Xm。x..`X1。`X2。…`Xm。`x..2/3/20237试验设计－5表中各符号定义如下：2/3/20238试验设计－5(2)总变差ST我们定义N=mn个数据xij的总变差ST为：总变差ST反应了试验数据相对于数据均值离散程度（即波动）的大小。2/3/20239试验设计－5(3)因素A引起的条件变差SA在因素A的各水平下，数据均值互不相同，它们之间的差异主要是由于因素A的水平变化所致。这些均值之间的离差平方和称之为条件变差，记为SA，计算公式如下：2/3/202310试验设计－5（4）试验误差Se考察因素A的第i水平下的n个数据：xi1,xi2,…xin它们也互不相同，这些差异是由于除了因素A以外的其它试验误差所引起的。我们称因素A在同一水平下，n个数据之间的离差平方和为试验误差，记为Se，其计算公式如下：2/3/202311试验设计－5(5)分解公式前面已经介绍了数据的总变差ST，因素A引起的条件变差SA，以及试验误差Se。从直观上看,引起数据总变差ST的原因，不外乎因素A及除因素A以外的其它试验误差。所以应当有：ST＝SA＋Se。事实上，下面的推导验证了这种想法是正确的。2/3/202312试验设计－5称之为波动平方和分解公式2/3/202313试验设计－5（6）小结1）试验误差：Se由于试验过程中各种偶然因素及测量误差引起在同一试验温度下试验结果有差异。2）条件变差：SA由试验条件不同导致试验结果不同，在本例中各种温度下的试验结果的差异即属这类变量。3）总变差：ST试验误差和条件变差之和称为总变差，且：ST=Se+SA2/3/202314试验设计－5（7）用方差分析解决这类问题的思路是：a、利用试验数据的总变差分解出条件变差和试验误差；b、将条件变差与试验误差在一定意义下进行比较,如两者之比值不显著,则说明条件对试验结果影响不大,反之,则说明条件对试验结果有影响；c、若条件的影响是显著的，可据此选择好的工艺条件或确定进一步试验的方向。

2/3/202315试验设计－5（8）变差的数量表示设有数据：x1,x2,…,xn，它们的变差平方和以下式表示。其中:2/3/202316试验设计－5（9）自由度的一般定义

设有:x1,x2,……,xn的自由度取决于

xi之间的m个线性约束关系。如果有m个(0≤m≤n)线性约束方程,即:……2/3/202317试验设计－5并且这m个方程是相互独立的，则：的自由度f=n-m。求自由度的目的主要是为了消除数据量的差异对变差平方和的影响。定义下式为均方：

2/3/202318试验设计－5单因素试验的方差分析计算表

A1A2…Ai…Am1x11x21…xi1…xm12x12x22…xi2…xm2………

…

…jx1jx2j…xij…xmj………

…

…nx1nx2n…xin…xmn∑2/3/202319试验设计－5∑X∑x1j∑x2j…∑xij…∑xmj(∑X)2(∑x1j)2(∑x2j)2…(∑xij)2…(∑xmj)2∑X2∑x1j2∑x2j2…∑xij2…∑xmj22/3/202320试验设计－5引入下列记号2/3/202321试验设计－5为了利用上表进行各项平方和的计算，下面对表达式作些演变。

2/3/202322试验设计－52/3/202323试验设计－52/3/202324试验设计－5单因素试验方差分析表1方差来源平方和自由度均方F比因素ASAm-1误差SeN-m总和STN-12/3/202325试验设计－5单因素试验的方差分析例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。温度（oc）

6065707580得率（%）

909796848492939683868892938882平均得率（%）

9094958584将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：利用方差分析表来计算下面的例子：见下表2/3/202326试验设计－5对下表用方差分析表求解60oC65oC70oC75oC80oC

Σ02-2732663-6-7-2-6-4-8∑(∑)2∑200812144621522581-1522589-18324116-69183562/3/202327试验设计－52/3/202328试验设计－5由数理统计知识得知：2/3/202329试验设计－5均方：

2/3/202330试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F临界F值温度303.6475.915.18**F0.01=6.0误差50.0105

总和353.614

2/3/202331试验设计－5a、F0.01<F，因素的影响特别显著,记为“**”；b、F0.05<F≤F0.01，因素的影响显著,记为“*”；c、F0.10<F≤F0.05，因素有影响记为“(*)”；d、F0.25<F≤F0.10，因素有一定影响记为“[*]”；e、F≤F0.25，因素无明显影响不作记号。相应F临界值比较，常用的判断标准如下；影响的显著性，即将

与一定显著性水平的由统计学知~F分布，判断条件对试验结果2/3/202332试验设计－5注：

a、如自由度fe太小会降低F检验的灵敏度，如某因素本来有显著影响，但F检验却检验不出来。fe越大，则F检验灵敏度越高，但fe大也意味着试验次数增加，费用增加。一般情况希望保证fe在5~10。

2/3/202333试验设计－5b、F值特别小，例如大大小于1，这种情况一般不应发生，其原因可能是取样或测量中有系统误差或是实验结果的有效位数取得太小等原因。c、试验的随机化，例如将例中的15个试验按温度条件分三批，每批5个试验不是按顺序，而是先将它们编号，然后用随机数表等方式决定它们的试验次序。这样的目的是为了尽量减少人为因素等的影响。2/3/202334试验设计－5不等重复数的单因素试验

在前面讨论的例子中，不同试验条件下的试验重复数是相同的，在实践中，并不总是能满足这种情况，有时试验条件不允许，或试验数据失落不全等会造成各试验条件下的试验数据量不等，即试验重复数不等。对重复数不等的单因素试验的方差分析与重复数相等时很相似，在计算时只需对P、Q、R稍作修改。设因素A有m个试验条件，各个试验条件相应的试验重复数是r1,r2,……,rm，共N个数据，令：

2/3/202335试验设计－5A1A2…Am∑X11X21…Xm1X12X22…Xm2…………………X1r1X2r2…Xmrm∑X∑x1j∑x2j…∑xmj(∑X)2(∑x1j)2(∑x2j)2…(∑xmj)2∑X2∑x1j2∑x2j2…∑xmj22/3/202336试验设计－5各平方和的计算公式为:ST=R-P,SA=Q-P,Se=R-Q2/3/202337试验设计－5单因素试验方差分析表2方差来源平方和自由度均方F比因素ASAm-1误差SeN-m总和STN-12/3/202338试验设计－5例：六种不同的农药，分析它们在杀虫率方面有无明显的差异，试验结果如下:

农药ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ

杀虫率（%）

8791565592758589624899728087

9581

95

92

解：设xij’=xij-80，简化后的数据，及其计算表如下:

2/3/202339试验设计－5ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ∑711-24-2512-559-18-3219-807

151

15

12

ri34224318∑1242-42-5758-121(∑)21441764176432493364144(∑)2/ri484418821624.5841483884.5∑27447690016498749040632/3/202340试验设计－52/3/202341试验设计－52/3/202342试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F临界F值农药3884.45776.952.2**F0.01=5.1误差178.51214.9

总和4062.917

注：当试验总次数相等时，等重复数试验的精度比不等重复数试验要高，因此，应尽量避免不等重复数试验。2/3/202343试验设计－52、双因素试验

(1)交叉分组的双因素试验

交叉分组系统分组混合分组多因素试验的分组法交叉分组时，各因素处于平等地位，因素的各个水平之间都要相遇。2/3/202344试验设计－5例

为了考察蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，将蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度分成如下几种情况进行试验。

1234PH值（A）硫酸铜溶液浓度（B）5.40.045.60.085.70.105.8

2/3/202345试验设计－5采用交叉分组方法进行试验,试验结果(白蛋白与球蛋白之比)如下：

A1A2A3A4B13.52.62.01.49.52.4B22.32.01.50.86.61.7B32.01.91.20.35.41.4

7.86.54.72.521.52.62.21.60.82/3/202346试验设计－5试验结果的方差分析

设因素A有p个水平，因素B有q个水平，在AiBj条件下的试验数据是xij,令：2/3/202347试验设计－5总平方和

:因素A的平方和

:因素B的平方和：2/3/202348试验设计－5试验误差

:（可以证明：）2/3/202349试验设计－5为了便于计算，类似于单因素试验，将各平方和公式化简，并采用下列表达式：2/3/202350试验设计－5从而，

由例中的试验结果来计算各项值:2/3/202351试验设计－52/3/202352试验设计－5各项平方和为:

2/3/202353试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F临界F值A5.2931.7640.9**F0.01（3，6）=5.1B2.2221.1125.8**F0.01（2，6）=10.9误差0.2660.043

总和7.7711

2/3/202354试验设计－5（2）有交互作用的双因素试验

在一些试验中,不仅因素对试验结果有影响，而且因素之间还联合起来对指标产生作用，这个作用就叫交互作用。下面用两个实验分别对无交互作用和有交互作用的情况作比较。2/3/202355试验设计－5实验(a)中,从A1→A2或从B1→B2实验结果的变化与另外一个因素取何种水平无关，这说明因素A与因素B之间不存在交互作用(均增加3个单位)。A1A2B125B2710(a)2/3/202356试验设计－5实验(b)中,则有所不同,从A1→A2,实验结果与因素B取何种水平有关。当取B1时试验结果增加3，当取B2时试验结果下降4,这说明A与B之间有交互作用。A1A2B125B273(b)2/3/202357试验设计－5还可用下面的方法判断因素之间有无交互作用。

实验结果1050A1A2因素水平从图上可看出，因素之间无交互作用时，两线平行。2/3/202358试验设计－5有交互作用时两线交叉。在实践中由于试验误差的关系，即使因素间无交互作用，作用线也可能不完全平行，只要大体趋向平行就可判断因素间不存在交互作用.

1050A1A2因素水平实验结果2/3/202359试验设计－5如果从图上难以判断时，可用方差分析，但此时要求将试验重复一次以上，否则就无法进行F检验。

（如试验不重复，检验将无法进行）

2/3/202360试验设计－5例：

考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素，收缩率A和总拉伸倍数B。两因素各取四个水平，整个试验重复一次，试验结果如下：2/3/202361试验设计－5

0(A1)4(A2)8(A3)12(A4)460（B1）71,7314473,7514876,7314975,73148589

73.6

520（B2）72,7314576,7415079,7715673,72145596

74.5

580（B3）75,7314878,7715574,7514970,71141593

74.1

640（B4）77,7515274,7414874,7314769,69138585

73.1

58973.660175.160175.157271.5∑=2363

2/3/202362试验设计－5Ⅰ、直观分析

对B的每个水平作出它们的作用线，来考察因素A与B之间是否存在交互作用。2/3/202363试验设计－5从上图可以看出，当因素A变动时试验结果起伏较大,而当因素B变化时,则试验结果变化较平稳，这种现象说明A因素对纤维的弹性的影响比B因素要大。初次试验时，最好多取几个水平，否则将会误认为因素之间不存在交互作用见下图。2/3/202364试验设计－52/3/202365试验设计－5从图上看到，因素B的四条作用线相交叉，说明因素A与B之间存在交互作用。如果试验的目的主要是为了选择较好的工艺条件，则可不必对试验结果进行方差分析，直接从试验结果中挑选好的，例如156（A3B2）、155（A2B3）效果最好。2/3/202366试验设计－5Ⅱ、方差分析

如果要深入研究因素及它们的交互作用对试验结果的影响程度，可使用方差分析。设因素A有p个水平，B有q个水平，整个试验重复r次,在AiBj条件下的第k次试验结果记作Xijk，在AiBj条件下作的全部试验结果之和为：Xij即2/3/202367试验设计－5另设：可以证明各平方和之间有关系式

:2/3/202368试验设计－5相应地,总平方和为

:2/3/202369试验设计－5误差平方和

:其中:2/3/202370试验设计－5交互作用的平方自由度:2/3/202371试验设计－5为了便于计算，可将各平方和公式化简，设定易于使用表格中各项数据进行计算的表达式：2/3/202372试验设计－5设

:各项平方和的表达式改为：ST=W-P,SA=QA-P,SB=QB-PSA×B=R-QA-QB+P,Se=W-R

2/3/202373试验设计－5原数据表成为：

A1A2A3A4KBjB1Xijk1,33,56,35,329Xij4898B2Xijk2,36,49,73,236Xij510165B3Xijk5,38,74,50,133Xij81591B4Xijk7,54,44,3-1,-125Xij1287-2KAi294141121232/3/202374试验设计－5K=123,2/3/202375试验设计－52/3/202376试验设计－52/3/202377试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F临界F值A70.594323.53117.5**F0.01（3，16）=5.29B8.59432.8652.1F0.1（3，16）=2.46A×B79.53198.8376.6**F0.01（9，16）=3.78误差21.5161.344

F0.25（3，16）=1.51总和180.21931

2/3/202378试验设计－5

三、正交设计

正交设计是一种安排多因素试验的方法,这种方法简单、易于应用、省时、经济效果良好。它适用于制定新工艺或改良老工艺等需要大量试验的情况。2/3/202379试验设计－51、基本概念

（1）几个术语

a、指标：根据试验目的选定的用来衡量试验效果的特性值。b、因素：对试验指标可能有影响的原因。亦称因子，通常以A，B，C表示。c、因素水平：因素变化的各种状态。亦称位级,通常以A1，A2；B1，B2等表示。2/3/202380试验设计－5（2）正交表

列数(可安排的因素数量)字码数(可安排的因素水平数)行数（实验次数）正交表代号a、正交表的组成与表示法

2/3/202381试验设计－5列号试验号1231111212232124221正交表的性质：（a）每列中各个字码出现的次数相同;（b）任意两列中每个字码对出现的次数相等.使正交表具有搭配均匀的属性即正交性。2/3/202382试验设计－5还有一类正交表,表的各列中出现的字码不相同,这种正交表称为“混合型正交表”,如：

列数因素水平试验次数正交表代号2/3/202383试验设计－5列号试验号123451111112122223211224222115312126321217412218421122/3/202384试验设计－52、正交表设计的步骤

例：轴承圈热处理退火试验

(1)试验目的：轴承圈退火的旧工艺因退火后产品硬度偏高，每炉要有15%左右回炉，希望通过试验，找到较好的工艺条件，降低硬度。(2)确定试验因素和水平：通过分析确定有三个因素：上升温度(A),保温时间(B)，出炉温度(C)，因素水平如下：

2/3/202385试验设计－5(3)选择正交表与表头设计:由选定的因素及相应的水平来选择正交表，这时，往往同时有几种正交表可被利用，在开始做试验时一般可选实验次数较少的正交表，取得因素的初步资料后，再确定进一步试验的方向。本例选：L4(23)ABC一水平8000C6小时4000C二水平8200C8小时5000C2/3/202386试验设计－5表头设计：即将各因素安排到各列位置上。表头设计的原则是可自由选择各个因素的位置(因素之间存在交互作用时除外)

列号试验号1231111212232124221因素ABC列号1232/3/202387试验设计－5(4)确定试验方案：将设计好的表头及各因素的水平填写到正交表中去。

列号试验号ABC11(8000C)1(6小时)1(4000C)212(8小时)2(5000C)32(8200C)1242212/3/202388试验设计－5（5）试验的随机化

其中1号试验条件为：上升温度为8000C，保温时间为6小时，出炉温度为4000C为了消除某些可能的系统原因的影响，一般不按试验顺序做，而是用随机化方法来确定试验的次序。2/3/202389试验设计－53、单指标正交试验结果的计算和分析

对试验结果的分析方法通常有两种：

Ⅰ、极差分析―简单直观Ⅱ、方差分析―计算较复杂，但精确度高（1）极差分析法例：某五金厂在弹簧生产中发现产品因弹性差而断裂，为提高产品的弹性指标，要做回火工艺试验。2/3/202390试验设计－5a、试验目的：通过回火试验寻求新的工艺参数以提高弹簧的弹性指标。b、制定因素水平表：经分析，认为对弹性指标可能有影响的因素有三个：回火温度A，保温时间B，工件重量C，各取三个水平，具体如下表：A(0C)B(分)C(kg)1440315246041835005212/3/202391试验设计－5c、确定试验方案：根据因素及其水平，可选用L9(34)

表头设计：接着将各因素的各水平按所设计的表头填入选定的正交表中，试验时，应严格按照设计好的方案进行。列号1234因素ABC2/3/202392试验设计－5d、试验结果分析

ABCD弹性1111377

2122391

31333624212350522333062313207313326832130293323182/3/202393试验设计－5

ABCD弹性111137721223913133362421235052233306231320731332683213029332318K111301053999T=3076K2100010231059K394610001018377351333333341353315333339R6218202/3/202394试验设计－5从已做的9次试验中看，第二号试验结果最好，此时的试验条件为A1B2C2，但这是否是33=27次试验中最好的一次呢？现在还不能下结论，还需通过进一步的计算分析来确定。表的下半部分是试验结果的计算，其中：K1，K2，K3为每个因素的三个水平各自的三次试验结果之和。例：

2/3/202395试验设计－5例：

是对应于每个K1，K2，K3的平均值。R为极差，是每一个因素三种水平下试验结果平均值中最大值与最小值之差。

2/3/202396试验设计－5（a）因素—指标关系图(趋势图)画出因素—指标趋势图，可看出各因素对指标的影响趋势，从而确定进一步试验的方向。280300320340360380400A1A2A3B1B2B3C1C2C32/3/202397试验设计－5（b）因素对试验的影响分析

表中的极差R反映了试验结果的差异，R越大说明该因素取不同水平时对试验结果的影响就越大，反之，就对试验结果的影响越小。因此，可根据R的大小来决定各因素对试验结果影响的主次顺序。主→次：A→C→B2/3/202398试验设计－5（c）选择最佳工艺条件

选择最佳工艺条件的原则是优先考虑主要因素。本例中A为主要因素，根据对试验指标的要求，可选A1，其次可选C2及B1。可能的最佳工艺条件是A1B1C2，为什么说这是“可能的”最佳工艺条件呢？因为考虑到试验误差等的影响，还需对这些条件作试验验证。2/3/202399试验设计－5（d）对“最佳工艺条件”进行预估的经验公式

在对可能的最佳工艺条件作试验验证前，可先用经验公式对试验结果做预估。经验公式为：某条件下的指标估计值=该条件下各因素所选水平对应的指标平均值之和－(因素数－1)×总平均

2/3/2023100试验设计－5A1B1C2下的指标预估值=(377+351+353)-(3-1)×3076/9=397

2/3/2023101试验设计－5(2)方差分析法仍沿用上面的例子：令表示每次试验结果，设:各因素的偏差平方和为

:2/3/2023102试验设计－5其中：rA—A因素每个水平的试验重复数；

p—为A因素的水平数。其中：rB—B因素每个水平的试验重复数，

q—为B因素的水平数2/3/2023103试验设计－5其中:rc—C因素每个水平的试验重复数;m—为C因素的水平数

总平方和为

:可以证明：

所以

:2/3/2023104试验设计－5为了计算方便，可将上述平方和简化，设定有关的表达式

:2/3/2023105试验设计－52/3/2023106试验设计－5对上例进行计算得：

2/3/2023107试验设计－52/3/2023108试验设计－52/3/2023109试验设计－52/3/2023110试验设计－5一般情况下，可直接在表上计算，而不必另列算式。

2/3/2023111试验设计－5ABCD误差弹性1111137721222391313333624212335052231330623123207313232683213302933213182/3/2023112试验设计－5K1113010539991025K=3076P=1051308K21000102310591037K3946100010181014Qi1057272105177910519351051396Si5964471627882/3/2023113试验设计－5从上表可总结两点：

a、总平方和等于各列平方和。在正交表的第4列没有安排因素,如仿照各因素计算平方和的办法，可发现S4=Se，fe=f4，这不算是太特殊的情况。可以证明：一般情况下，未安排因素的空列的平方和恰好等于误差平方和(有交互作用与试验有重复时除外)。2/3/2023114试验设计－5b、对试验结果作方差分析的目的主要是要深入了解各因素对试验指标的影响程度。至于因素影响指标的主次顺序，可通过平方和的大小来判别（混合型正交表与拟水平法除外），平方和大的因素，说明其对指标影响大，反之，则小。2/3/2023115试验设计－5在本例中因素的主次顺序为：A→C→B，它与直观分析的结果是一致的。至于最佳工艺条件的选择，其标准与直观分析相同，先选主要因素，后选较次要的因素，本例中为A1C2B1，与直观分析也一致。所以，如果只是想通过试验在现有因素中获得最佳工艺条件，就不必作方差分析。这样可省去较多的计算工作量。2/3/2023116试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F临界F值A59642298267.77*F0.01=99B4712235.55.35[*]F0.05=19C6272313.57.13[*]F0.10=9误差88244

F0.25=3总和71508

2/3/2023117试验设计－5（3）正交试验的几何说明

前面介绍了正交表的正交性—均匀搭配性，正是由于正交表的这个特点，使得正交试验能省去大量不必要的试验，迅速找到最好的(或最接近最好的)试验条件。为了能更清楚、直观地了解正交表的这一特点，下面我们用几何方法来解释。以刚才的实验为例。在立方体上有27个交点，代表了一个三因素三水平的27次试验（33=27）。下面我们分析一下正交表上所列9次试验的分布特点。2/3/2023118试验设计－5的几何含义B3A1A2A3B2B1⑧④③②①⑥⑤⑦⑨C1C2C32/3/2023119试验设计－5a、6个平面上都有三个试验点。b、每个平面上的每行每列都有一个试验点，亦即每个因素的每个水平在试验中相遇的机会均等。这种既不遗漏，也不重复的安排方式，决定了正交试验相对于试验次数相同的其他试验来说，效率是最高的。c、另外一个规律是：全面试验中的最好点M离9次试验中的最好点不远，且主要因素的水平基本一致。在该试验中较好的是①号A1B1C1与②号A1B2C2，全面试验最好点M：A1B1C2就在附近，且主要因素A的水平是一致的。

2/3/2023120试验设计－54、因素间有交互作用时的正交试验

当因素间有交互作用时，表头设计有所不同。首先，要根据因素及因素间交互作用的数量及水平的情况来选择正交表，然后，利用与该正交表相对应的“交互作用的正交表”来安排因素及它们之间交互作用的位置。

（1）交互作用正交表

在现有的正交表中有一部分有对应的“交互作用正交表”，没有交互作用正交表的说明不能安排有交互作用的因素的试验。下面举例说明“交互作用正交表”的用法。

2/3/2023121试验设计－5正交表对应的交互作用正交表为：列号12345671(1)3254762(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7)2/3/2023122试验设计－5框内的数字都是列号。设有A、B、C三个因素，且都是二水平。如考虑它们之间的交互作用：A×B、B×C、A×C，如何进行表头设计呢？a、先安排A，B，C中的任意两个，此时这两个因素可安放在任意位置上，如将A、B放在1、2两列位置上。AB12345672/3/2023123试验设计－5b、由交互作用正交表找到A与B的交互作用A×B的位置为第3列，

ABA×BC1234567ABA×B1234567c、将因素C安排在除第1，2，3列之外的任意位置上,如排在第5列

2/3/2023124试验设计－5d、由交互作用正交表找到B×C，A×C的位置分别为第4列和第7列,即

ABA×BA×CCB×C1234567至此，表头设计完成。

2/3/2023125试验设计－5（2）因素间有交互作用时，正交试验结果的计算与分析

例：在梳棉机上纺粘棉混纺纱，为了提高质量，减少棉结粒数，选了三个因素，每个因素有二个水平，三个因素之间可能有交互作用。水平因素表为：

因素水平12金属针布（A）日本的青岛的产量水平（B）6公斤10公斤锡林速度（C）238转/分320转/分2/3/2023126试验设计－5方案设计及试验结果为:

ABA×BCA×CB×C

棉结粒数xiX’i=100×(xi-0.30)1234567111111110.300211122220.355312211220.20-10412222110.30052121212050207221122104010K1-5100-4020-5

2.35-5K20-15-535-250

R525575455

2/3/2023127试验设计－5a、极差分析

（a）确定因素及它们之间的交互作用的主次顺序由表中的极差可知各因素及它们的交互作用对试验的影响次序为主→次：C，A×C，B，A，A×B，B×C，A×C（b）

确定最佳工艺条件2/3/2023128试验设计－5原则：1、优先考虑主要因素；2、若因素的交互作用的影响很显著时，不管因素本身的影响显著与否，都从交互作用的角度去选择工艺条件。按上面两条原则，我们先来选A与C的工艺条件，A×C共有四种搭配，A1C1，A1C2，A2C1，A2C2，而且每种搭配都做了两次试验,将各种搭配的试验结果之和列于下表：

2/3/2023129试验设计－5B因素由表中的K值知，B2较B1好。

A1A2C1-10-30C2

530从左表中知搭配A2C1为最好所以，最佳工艺条件为A2C1B2，它恰好是表中第⑦号试验，是8次试验中最好的结果之一。另外，第⑤号试验的结果与第⑦号一样好。观察试验条件，其中A2C1与第⑦号一样，而B为B1与⑦号试验不同，这也可推断，B因素处于相对次要的位置。2/3/2023130试验设计－5b、方差分析

ABA×BCA×CB×C误差试验结果11111111021112222531221122-1041222211052121212-15621221212072211221-1582212112102/3/2023131试验设计－5K1K2-5010-150-5-403520-25-505-10∑-5QiSi6.253.12581.2578.1256.253.125706.25703.125256.25253.1256.253.12531.2528.125平方和Si的计算与以前定义一样，对于二水平的情况可用下面的简化公式。

，其中n—试验总次数

2/3/2023132试验设计－5方差分析

方差来源平方和自由度均方F值临界值B78.125178.1258.3*F0.05(1,4)=7.7C703.1251703.12575**F0.01(1,4)=21.2A×C253.1251253.12527**

A3.1251

A×B3.125149.375

B×C3.1251

误差28.1251

总和1071.8757=8-1

见下页说明2/3/2023133试验设计－5这三项的均方与误差相比是很小的，可认为这三项平方和是由试验误差引起的，所以，作方差分析时，可将这些平方和归并到误差项中去。决定因素的主次顺序时，可根据平方和Si（自由度不同时除外）的大小来决定，最佳工艺条件的选择与直观分析时相同。

2/3/2023134试验设计－5c、正交表的选择正交试验的优点是可减少试验次数，但如果因素间的交互作用较多时，正交试验的优越性就会减弱，因为每个交互作用都要占据一列，当有三个因素时，要考虑的交互作用就有C32=3个，当有4个因素时，交互作用有C42=6个，试验次数将要增加。解决这个矛盾的办法是：2/3/2023135试验设计－5（a）如果试验目的主要是在现有的因素水平中寻找较好的工艺条件，可以选择较小的正交表，而不必考虑因素之间是否存在交互作用；（b）当试验的主要目的是寻找事物内部的规律时，应选择尽量大的正交表。如果选择较小的正交表，不可避免地会产生许多混杂现象。2/3/2023136试验设计－55、因素的水平数不同时的正交试验

当因素的水平不等时，常用两种方法来设计正交试验:（1）利用混合型正交表;（2）拟水平法。下面分别介绍之。（1）利用混合型正交表安排水平数不同的因素的正交试验例：为了探索某胶压板的制造工艺，选择如下的因素及水平进行试验。2/3/2023137试验设计－5试验结果按产品质量的好坏分别用6、5、4、3、2、1打分，6分最好，1分最差。为了减少试验误差的干扰，整个试验重复了四次。水平因素1234压力（A）8公斤10公斤11公斤

12公斤温度（B）950C900C时间（C）9分12分2/3/2023138试验设计－5a、选用正交表与表头设计根据确定的因素水平情况，选用正交表L8(4×24),表头设计为：

列号12345因素ABCb、试验结果的计算与分析（a）极差分析2/3/2023139试验设计－5ABC45xi1xi2xi3xi4Xi111111666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342172/3/2023140试验设计－5K1414864∑Xi=K=111K2246347K319

K427

20.512161215.7511.759.5

13.5

R113.754.25R’75.3256.0352/3/2023141试验设计－5因素水平不等时，其极差的计算有所不同，因一般情况下，因素水平数多，其极差也大，为了消除因素水平不同对极差的影响，现将原有极差R折算成R’，其折算公式,其中：R—因素的极差,K—因素每个水平的试验重复数,d—折算系数。

2/3/2023142试验设计－5折算系数d

水平数2345678910d0.710.520.450.40.370.350.340.320.31

2/3/2023143试验设计－5(b)方差分析

ABC45xi1xi2xi3xi4Xi111111666422212222654419321122432211422211443213531212211156321214442147412214321108421126342172/3/2023144试验设计－5Xi=K=111K22463475452K319

K427

Qi418.375392.062394.0625385.3125385.5625Si33.34377.031259.031250.281251.53125其中Qi的计算因本试验有重复而与前面介绍的稍有不同：

2/3/2023145试验设计－5其中：qi——i因素的水平试验重复数；r——每号试验的重复数；pi——i因素的水平数

。如：2/3/2023146试验设计－5Se的计算如下

:Se=

Se’+Se”其中：Se’——各条件下试验误差之和Se”——各水平下试验误差之和①其中:2/3/2023147试验设计－5为了计算方便，将Se’化简为Se’=W-R，其中:

其中:②S4,S5的平方和较大时，说明因素间有交互作用存在，这时应先对它们作F检验，如检验显著，就应考虑因素间的交互作用。

2/3/2023148试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F值临界值A33.34375311.11469.46**F0.01(3,26)=4.64B7.0312517.031255.98*F0.01(1,26)=7.72C9.0312519.031257.68*F0.05(1,26)=4.23Se”1.81252

1.17551+1=2Se’28.752432-8=24总和79.96875314X8-1＝32-1＝31262/3/2023149试验设计－5(2)拟水平法

在正交试验中，有些水平数不同的试验，选不到合适的正交表或所选正交表的试验次数太多，这时可用“拟水平法”，所谓“拟水平法”，即将水平数较少的因素虚拟一些水平，使整个试验能在现有的合适的正交表上安排.例：为了提高某化工产品的转化率，选择四个试验因素：反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),搅拌速度(D),各自选取的水平如下：2/3/2023150试验设计－5如用混合型正交表来安排上述试验，则可用L18(2×37)，如想减少试验次数则可将因素D拟成3水平，用L9(34)来安排。“拟水平”一般可从现有的水平中挑，选需要重点考察的那个水平。因素水平温度（A）时间（B）用碱量（C）搅拌速度（D）1800C90分5%快速2850C120分6%慢速3900C150分7%快速(拟水平)2/3/2023151试验设计－5试验结果的计算与分析

a、极差分析ABCD转化率(%)11111(快)3121222(慢)5431333(快)384212353522314962312427313257832136293321642/3/2023152试验设计－5K1123141135297水平1、3之和K2144165171153K3183144144

41474549.548555751614848

R208121.52/3/2023153试验设计－5b、方差分析

的计算与前面的方法相同。

SD的计算方法如下：

Se可由求得。2/3/2023154试验设计－5ABCD转化率（%）11111(块)3121222(慢)5431333(快)384212353522314962312427313257832136293321642/3/2023155试验设计－5K1123141135297K=450P=22500K2144165171153K3183144144

Qi23118226142273422504.5Si6181142344.5试验次数2/3/2023156试验设计－5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F值临界值A618230934.33**F0.01(2,2)=99B1142576.33[*]F0.05(2,2)=19C234211713.00(*)F0.1(2,2)=9D4.519F0.25(2,2)=3误差13.51总和98489-1=81822/3/2023157试验设计－56、正交表的改造在生产实践与科学实验中，所遇到的问题错综复杂，在正交试验时，现有的正交表往往不能满足所有场合的需要，因此，对现有正交表进行改造，产生许多新的正交表以满足各种需要就显得十分必要。下面介绍几种常用的改造正交表的方法。（1）

并列法这是由相同水平正交表构造成水平数不同正交表的方法。

2/3/2023158试验设计－5例某试验有四个因素A（4水平），B（2水平），C（2水平），D（2水平），因素自由度之和为:fT=fA+fB+fC+fD=3+1×3＝6，总试验次数至少为:n＝fT+1=7，可选L8(27)表进行改造，因素A的自由度为3，而L8(27)上每列的自由度为1，所以它应占3列，一般情况是任取两列再加上它们的交互作用列，构成一个新的四水平列，构成规则如下(2水平→4水平)2/3/2023159试验设计－5a、(1,1)→1,(1,2)→2,(2,1)→3,(2,2)→4b、划去它们的交互作用列现对第1，2列改造，它们的交互作用列是第3列，改造后的情形如下图中所示：可以看出，改造后的L8(27)成为L8(4×24),它仍具备正交表的正交性的两个特点。

2/3/2023160试验设计－5列号试验号11’2345671111111112111122223122211224122222115231212126231221217242112218242121122/3/2023161试验设计－5拟因素法

它也是一种由水平数相同的正交表构成水平数不同正交表的方法。如将2水平列改造成3水平列，其改造规则是：a、(1,1)→1，(2,2)→2，(1,2)→2，(2,1)→3；b、让交互作用列空闲.2/3/2023162试验设计－5例：参加某一试验的因素有A（3水平）B（3水平）C（3水平）D（3水平）E（2水平），因自由度

:总试验次数至少为:

可选L16(215)进行改造。

2/3/2023163试验设计－5

12

34

5678

91011121314

15111111111111111111112111111111222222222231111222221111122222411112222222222111115122211122111221122261222111222221122111712222221111122221118122222211222111122292122122121221212122102122122122312121231112122231211221221231122122231212312112122132231122211222112231142231122212311221122152231231121222121122162231231122311212231空闲2/3/2023164试验设计－5用拟因素法与拟水平法设计的正交试验，其正交表已不具有正交表的原来的两个性质，但它们具有局部均衡搭配性，仍能起到省时、经济、高效的作用。2/3/2023165试验设计－5（3）裂区法

用正交表安排试验时，每个因素的各水平都要重复若干次，正交表越大，重复的次数就越多，但在实际试验中各因素重复的难易程度是不一样的，如果将它们一视同仁，往往会导致试验时间拖得很长，用裂区法来安排试验，可使重复困难的因素少重复，从而提高试验的效率。

2/3/2023166试验设计－5裂区法主要是使用正交表的结构特点，如在表L8(27)中，虽然各字码在每列中的重复数是一样的，但它们的分布是不一样的，第1列的字码“1”从第①-④号试验中重复4次，而第②③列从第①—④号试验，字码“1”只重复2次，包括在第①②号试验中，同是第①②号试验，第4、5、6、7列中，字码“1”只重复1次，根据这个规律，可将L8(27)划分成一些区域，如下图所示。2/3/2023167试验设计－5列号试验号123456712345678111111111111222222112222221122221212121221212112212121121232/3/2023168试验设计－5设计试验时，把重复难度高的先排，自左至右由难到易。例：钢制零件表面氰化处理试验，它是将零件表面经清洗处理后，放入氰化炉内，通入适量的甲苯、氨气，在一定氰化温度下，保温一段时间，然后出炉冷却，由于表面同时渗入碳和氮，零件表面的硬度、耐磨性和疲劳强度都提高了。所考虑的因素水平为：2/3/2023169试验设计－5因素水平ABCDEF甲苯量氨气量氰化温度(0C)保温时间(h)冷却方式预处理方式1少多低7油冷酸洗2多少中5保温箱冷砂若不考虑因素间的交互作用，可选用L8(27)表安排试验。

2/3/2023170试验设计－5诸因素中因素C耗时最长一炉要达10小时，另外因素A，B也较费工时，所以在安排试验时可先安排因素C，将其排在第1列，A，B因素排在第2，3列，D，E，F分别排在第4，5，6列。

列号1234567因素CABDEF2/3/2023171试验设计－5作试验时，可将要试验的8个零件（如试样无重复）分成4组，每组2个零件。一炉可同时放入2个零件，这样相当于把8次试验减为4次。这4炉分别是①②,③④,⑤⑥,⑦⑧,下面以①②为例来说明试验过程：①号试验的条件为C1A1B1D1E1F1②号为C1A1B1D2E2F2，先将2零件分别按F1与F2处理，放入炉中，按C1A1B1操作，保温时间达到5h（D2），取出一零件按E2操作，保温时间达到7h（D1），再取出另外一个零件，按E1操作。缺点:试验的随机化程度降低.2/3/2023172试验设计－5列号CABDEF试验号1234567(1)1111111121112222(2)3122112241222211(3)5212121262122121(4)72211221822121122/3/2023173试验设计－5（4）直积法

在冶金、化工、建筑等工业部门中，常将参加试验的因素分为二类：a、配方因素—如原材料、配料比例等。b、工艺因素—如