杆系结构的有限元法

第四章杆系结构的有限元法章节目录4.1概述4.2拉压直杆的有限元分析4.3梁的有限元分析4.4刚架的有限元分析4.1概述4.1.1杆系结构定义由有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构分类平面杆系：各杆轴线和外力作用线在一个平面内空间杆系：各杆轴线和外力作用线不在一个平面内工程中常见类型拉压直杆，桁架（平面和空间），梁（简支悬臂梁等），刚架（平面和空间）4.1概述4.1.2杆系单元定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。杆系单元为一维单元。结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②4.1概述4.1.2杆系单元分类桁架单元：桁架中的杆件刚架单元：刚架中的杆件区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点

传递力和力矩！4.1概述4.1.3杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较，基本流程完全相同；具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。4.2拉压直杆的有限元分析4.2.1拉压直杆（单元描述）几何形状：等截面A,长度为l载荷q：沿轴线分布节点：2个局部坐标系：沿轴线定义的一维坐标系ox因此，节点坐标

在x轴的坐标：xi,xj节点位移（自由度）

沿x轴的位移：ui

,uj单元节点位移列阵ijlxuiuj4.2拉压直杆的有限元分析4.2.2位移模式单元位移模式的推导位移模式形函数ijlxuiuj4.2拉压直杆的有限元分析4.2.3应变应变分量

拉压直杆只有轴向应变：几何方程的推导4.2拉压直杆的有限元分析4.2.4应力应力分量

拉压直杆只有轴向应力：物理方程的推导4.2拉压直杆的有限元分析4.2.5单元刚度矩阵4.2拉压直杆的有限元分析4.2.5单元节点等效载荷（轴向载荷）集中力根据离散的要求，集中力直接施加在所处节点上体力轴向分布载荷q(x)推导依据：

面力按照集中载荷施加在面所在的节点上4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析网格离散单元分析整体分析400mm300mmXY20kN25kN①②③④1234ij4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析网格离散单元分析：在局部坐标系下建立单元平衡方程整体分析：在整体坐标系下组装整体平衡方程因此，组装过程中需要两个坐标系之间的转换：整体坐标系:OXY局部坐标系:OxyxyXYOα4.2.6平面桁架的有限元分析整体坐标系OXY：节点位移为Ui

,Vi(i,j)局部坐标系

Oxy：节点位移为ui

,uj

则有：4.2拉压直杆的有限元分析ijxyXYOαUjVjUiViujui从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵[T]4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析推导：注意：局部坐标系下的应力和应变4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析因此，单元刚度矩阵在局部坐标系和整体坐标系下的变换式：4.2拉压直杆的有限元分析4.2.6平面桁架的有限元分析在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：4.3梁的有限元分析4.3.1纯弯梁单元(单元描述)几何形状：长度l，横截面为A。材料属性：弹性模量E，横截面的惯性矩为I。节点：i,j共2个局部坐标系：oxy物理量：挠度v，剪力Q，弯矩M，梁的转角θ4.3梁的有限元分析材料力学基础知识4.3梁的有限元分析4.3.1纯弯梁单元(单元描述)节点坐标值：xi=0,xj=l节点位移值：挠度vi和转角θi节点力：弯距Mi和剪力Qi因此，单元位移列阵：单元载荷列阵：4.3梁的有限元分析4.3.2

位移模式

代入单元两个节点的坐标和位移条件，即可求解四个待定常数a1～a4：（）广义坐标法建立形函数（两个节点，四个自由度）4.3梁的有限元分析4.3.3应变4.3梁的有限元分析4.3.4应力4.3.5单元刚度矩阵单元平衡方程：34.3梁的有限元分析4.3.6等效节点载荷若存在集中力或者集中力矩，将作用点取为节点若存在分布载荷，按照虚功等效的原则进行计算适用情况：截面高度小于长度的1/5的杆系结构。原因：单元的位移模式，决定了没有考虑剪切挠度。4.4刚架的有限元分析4.4.1平面刚架相互独立的两种变形形式轴向拉压面内弯曲因此：刚架单元＝杆单元＋梁单元局部坐标系:oxyz任一节点有三个自由度：轴向拉伸、横向位移、绕z轴的转角4.4刚架的有限元分析4.4.1平面刚架两个坐标系：局部坐标系整体坐标系4.4.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）节点位移轴向位移横向位移绕z轴的转角节点载荷轴向力剪力弯矩4.4刚架的有限元分析刚架的有限元分析因此，局部坐标系下：单元节点位移列阵：单元节点载荷列阵：4.4.2平面刚架单元（单元描述：局部坐标系下）4.4刚架的有限元分析4.4.3单元刚度矩阵(局部坐标系下)3单元分析：局部坐标系整体分析：整体坐标系因此，需要进行坐标转换。4.4刚架的有限元分析4.4.4坐标变换（推导过程省略）

-坐标变换矩阵-节点力

-单元刚度矩阵4.4刚架的有限元分析等效结点载荷

单元上的非结点载荷向结点移置时应遵循的静力等效原则，而静力等效移置的结果是唯一的，载荷移置后的结构与载荷移置前相比，所有结点位移无变化，且除进行过载荷移置的单元外，其他单元的内力分布不受影响．本讲虽然没有构造形函数设定位移模式，不便于依前述静力等效的定义进行非结点载荷的移置，仍可以根据上述等效移置应获得的效果方便地构造出等效结点载荷。

图(a)所示平面刚架，第3单元作用有非结点载荷，该单元相应的杆端力和杆端力矩如图3(b)所示，为V1、V2与M1、M2．构造图3(c)所示的两种受力状态，这两种状态的组合显然构成原结构的受力状态，其中Ⅱ状态的位移与内力同原结构对比，结点位移一致，其他单元内力一致，所以Ⅱ状态的结点载荷就是所要求的等效结点载荷。上述分析虽然在平面刚架中进行，对空间刚架也是同样适用的．求等效结点载荷的具体方法归结为：按结构力学位移法解题思想求出该单元的固端力与固端力矩(参考结构力学相关内容)，将这些固端力与固端力矩反方向作用于结构的对应结点，即该单元非结点载荷的等效结点载荷。例、平面框架结构的有限元分析

如图所示的框架结构,其顶端受均布力作用,用有限元方法分析该结构的位移。结构中各个截面的参数都为:E=3.0X1011Pa,I=6.5×10-7m4,A=6.8×10-4m2。1离散化：均布外载的等效计算公式：2求单元刚度阵

单元1的局部坐标与整体坐标一致，其他单元的刚度阵要进行坐标变换之后，在进行整体刚度阵的组装。3建立整体刚度矩阵4边界条件计算结果：4.4刚架的有限元分析4.4.5空间刚架结构分析办法：将平面刚架结构扩充到空间刚架结构。节点位移（自由度）：6个（3个平动位移和3个旋转位移）第四章杆系结构的有限元法学习要求：掌握拉压直杆单元和梁单元的单元特性，了解刚架单元的单元特性；掌握拉压直杆单元和梁单元的单元分析方法，了解刚架单元的单元刚度矩阵的构成；掌握平面杆系结构的有限元分析中局部坐标系和整体坐标