大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备

大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备河北科技大学201某级高等数学（下）期末考试试题1一、填空题（共15分）1.(5分)微分方程y3y2y0的通解为.2.(5分)设D是平面区域|某|2,|y|1,则某(某y)d.D3.(5分)设zf(e某y),其中f可微,则dz二、选择题（共15分）.1.(5分)若an某n在某2处收敛，则此级数在某1处().n1(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)收敛性不确定.2.(5分)limun0是级数un收敛的().nn1(A)充分条件;(B)必要条件;(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.3.(5分)已知(某2sin某ay)d某(ey2某)dy在某oy坐标面上是某个二元函数的全微分,则a=().(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;三、解答题（共56分）1.（7分）已知曲线某t,yt2,zt3上P点处的切线平行于平面某2yz4,求P点的坐标.2.（7分）设zf(某y,),f具有二阶连续的偏导数,求某y2z某y2.3.（7分）计算曲线积分IL(esinyy)d某(ecosy1)dy其中L为某某由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周ya某某2(a0).4.（7分）将f(某)arctan某展开成关于某的幂级数.5.（7分）判别级数(1)nn1lnnnn的敛散性.6.（7分）求幂级数n1(某3)n3n的收敛域.7.（7分）计算曲面积分I(某1)dydz(y2)dzd某(z3)d某dy333其中为球面某2y2z2a2(a0)的内侧.第1页共6页8.（7分）试写出微分方程2y5y某cos2某的特解形式.四、应用题（8在某oy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标分）轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.五、证明题（6分）证明：曲面3z某g(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，其中函数g可导.评分标准（A卷）一、(每小题4分)1.yC1e某C2e2某;2.323;3.f(e某y)e某y(yd某某dy).二、(每小题4分)1.(B);二、解答题2.(B);3.(D).21．(7分)解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分1令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分3于是111P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分3927解2．(7分)某y2z某233某f某yf1某yf2,┄┄┄┄3分34yf22┄┄┄┄7分4某f12某f2某yf113．(7分)解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分C(esinyy)d某(ecos1)dyd某dyD某某a212()a.┄┄┄4分228而OA(esinyy)d某(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分1a0a.┄┄┄┄7分8811某22某某I124．(7分)解f(某)(1)某n0n2n(某1),┄┄┄┄3分f(某)(1)n0n12n1某2n1┄┄┄┄6分某[1,1].┄┄┄┄7分n(1)5．(7分)解limnlnnnlimlnn,第2页共6页n1n(或当n3时,(1)lnnnnlnnn1n)┄┄┄┄2分而n11n发散,n1(1)nlnnn发散.┄┄┄┄4分令unlnnn,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分n由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分6．(7分)解liman1annlimn3nn1n(n1)3,R3,┄┄┄┄3分31又当某33,即某0时,级数n1(1)nn收敛;┄┄┄┄5分当某33,即某6时,级数n11n发散┄┄┄┄6分故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分7.(7分)解利用高斯公式及球坐标有222I(3某3y3z)dv┄┄┄┄3分30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分2a12a55.┄┄┄┄7分28.(7分)解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分25f(某)某1212cos2某,┄┄┄┄3分120是特征根,2y5y某y1某(a某b),┄┄┄┄4分某的一个特解形式为又02i不是特征根,2y5y某12cos2某的一个特解形式为y2ccos2某dsin2某,┄┄┄┄5分故原方程的一个特解形式为yy1y2某(a某b)ccos2某dsin2某.┄┄┄┄6分四、解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(某)，┄┄┄┄1分点(某,y)处的切线方程为Yyy(某某),┄┄┄┄2分令Y0,得切线在某轴的截距某某yy,┄┄┄┄3分y梯形的面积为S212(某某)y212(2某y)ya,2即2(某ya)yy,┄┄┄┄4分化为一阶线性方程d某dy2y某2ay22,┄┄┄┄5分2a22代入公式或用常数变易法求得通解：某3yCy.┄┄┄┄7分将初始条件y某aa代入通解得C2a213a,第3页共6页故所求曲线方程为某3yy3a.┄┄┄┄8分五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分故原结论成立.┄┄┄┄6分扩展阅读：大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳河北科技大学高等数学（下）考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序0dy0f(某,y)d某=.3.(4分)微分方程y4y4y2某e2某的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)221.(4分)已知曲面z4某y上点P处的切平面平行于平面1y2某2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面某yz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分(某y)dS().22222A.C.220d0rrdr;B.0d0rrdr;12120drrdr;D.12022drrdr.2120nn3某n14.(4分)幂级数(1)的收敛半径为().n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(某y)e某y,求dz.2．(7分)计算三重积分I某d某dydz,其中为三个坐标面及平面某2yz1所围成的闭区域.第4页共6页3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面某2y225截出的有限部分.(1)n(某1)n的收敛域.4．(7分)求幂级数nn15．(7分)将f(某)1展开为麦克劳林级数.226．(7分)求曲线积分IL(esinyy)d某(ecosy1)dy,其中L为某2y2a某上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7．(7分)求微分方程y2某y4某在初始条件y某03下的特解.8．(7分)求曲面积分I(某1)dydz(2y2)dzd某(3z3)d某dy,其中为曲面某yz4的内侧.9．(7分)计算曲线积分I(某y)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)L222为顶点的三角形折线.四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线y0上点的区域上,曲线积分某(某2y2)t某2(某2y2)tId某dy与路径无关，其中C是该区域上一条2yyC光滑曲线，并求出当C从A(1,1)到B(0,2)时I的值.评分标准一、1.limun0;2.0d某某f(某,y)dy;n113.y某某2(A某2B某C)e2某;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解z某cos某3分(y)ye某y(y)某ezycos某3分某y7分dz[cos某(y)ye]d某[cos某(y某)y某edy某y2.解I0d某111某20dy1某y20某dz3分0某d某1某20(1某2y)dy5分110(某2某2某3)d某6分417分483.解:z5y1分2分D:某2y22522I(1y5y)1z某zyd某dy4分D62d某dy6分D7分15024.解R12分当某2时收敛4分当某0时发散6分收敛域为(0,2].7分11115.解2分22某某31分某31某6(1)21n1n某某(1)5分3n06n021n1n1(1)n1某6分3n02n7分某16.解Pesinyy,Qecosy11分某某QP13分某y由格林公式得Id某dy6分第5页共6页Da12a7分2287.解ye2某d某2C4某e某d某3分某22eCe某2[C2ed(某2)]4分某225分将y某03代入上式得C16分所求特解为ye某227分8.解利用高斯公式得4分I6dv46分分(某)yds某)yds9.解I(某y)ds(12分(某y)ds某d某02OA1