高中数学苏教版第一章立体几何初步空间几何体的表面积和体积 全国获奖

一、填空题1.一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的体积为________．2.若在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．4.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．5.如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A，D为圆心，1为半径作圆弧EB，EC(E在线段AD上)．若由两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为__________．(第5题)(第6题)6.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为________．7.已知一个圆锥的侧面展开图(扇形)恰好是一个半圆的四分之三，若此扇形的面积为S1，圆锥的表面积为S2，则S1∶S2＝________．8.如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使点A到A′的位置．若平面A′MN与平面MNCB垂直，则四棱锥A′MNCB的体积为________．9.若长方体的长、宽、高分别为2a，a，a的长方体的8个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．10.如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球(球的直径大于8cm)放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm3.二、解答题11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积．12.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)求证：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱锥C1­ABA1的体积．13沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计)．(1)如果该沙漏每秒钟漏下cm3的沙，那么该沙漏的一个沙时约为多少秒(精确到1s)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到cm)．1.2π解析：由底面周长为2π可得底面半径为1，S底＝πr2＝π，V＝S底·h＝2π.2.eq\r(3)解析：依题意有，三棱锥PABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×2×3＝eq\r(3).3.eq\f(3,2)解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，所以eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1).又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(req\o\al(2,1),req\o\al(2,2))·eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,2).4.eq\r(7)解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为eq\f(1,3)π·52×4＋π·22×8＝eq\f(196π,3).设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则eq\f(1,3)π·r2·4＋π·r2×8＝eq\f(28π,3)r2＝eq\f(196π,3)，解得r＝eq\r(7).5.eq\f(2π,3)解析：旋转所形成的几何体是高为AD，底面半径为AB的圆柱挖去分别以A，D为球心、半径为AB的两个半球，V＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3).6.eq\f(\r(3),12)解析：三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为eq\f(\r(3),2)，底面积为eq\f(1,2)，故其体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).7.8∶11解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝eq\f(3,4)πl，则l＝eq\f(8,3)r，所以S1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)r))eq\s\up12(2)×eq\f(3π,4)＝eq\f(8,3)πr2，S2＝eq\f(8,3)πr2＋πr2＝eq\f(11,3)πr2，因此S1∶S2＝8∶11.8.3解析：∵平面A′MN与平面MNCB垂直，根据面面垂直的性质定理，可知A′E就是四棱锥A′MNCB的高，A′E＝eq\r(3).又四棱锥的底面面积是eq\f(2＋4,2)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.9.6πa2解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，则长方体的体对角线长为eq\r(（2a）2＋a2＋a2)＝eq\r(6)a.∴2R＝eq\r(6)a，∴S球＝4πR2＝6πa2.10.eq\f(500π,3)解析：作出该球轴截面的图形，如图所示，依题意得BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．11.(1)证明：如图，取BC的中点G，连结AG，EG.∵E是B1C的中点，∴EG∥BB1，且EG＝eq\f(1,2)BB1.由题意知，AA1∥BB1.而D是AA1的中点，∴EG∥AD，且EG＝AD.∴四边形EGAD是平行四边形．∴ED∥AG.又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.所以VEBCD＝VDBCE＝VABCE＝VEABC.由(1)知，DE∥平面ABC，所以VEBCD＝VEABC＝VDABC＝eq\f(1,3)AD·eq\f(1,2)BC·AG＝eq\f(1,6)×3×6×4＝12.12.(1)证明：如图，连结AB1，∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1.故AC⊥BA1.∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形．∴BA1⊥AB1.又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1.又CB1⊂平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)解：∵AB＝AA1＝2，BC＝eq\r(5)，∴AC＝A1C1＝1.由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，∴VC1­ABA1＝eq\f(1,3)S△ABA1·A1C1＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).13.解：(1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(16,3)(cm)，底面半径为r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)(cm)，V＝eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\