第8章导行电磁波

第八章导行电磁波8.1沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析8.2矩形波导8.3波导中的能量传输与损耗8.4同轴线8.5谐振腔8.1沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析8.1.1在导波装置中电磁场纵向场分量与横向场分量间的关系在无耗的媒质中电磁波沿+z方向传输，则对于角频率ω的正弦电磁波，它满足无源区域的麦克斯韦方程：采用广义坐标系(u1,u2,z)，其中u1和u2为导波装置横截面上的坐标，z为纵向坐标。场强的纵向分量用Ez(u1,u2,z)和Hz(u1,u2,z)来表示，场强的横向分量用Et(u1,u2,z)和Ht(u1,u2,z)表示，则场强矢量可表示为式中为电磁波在无限媒质中的波数。由分离变量法可知，式(8-4b)中的Ez和Hz的解，可表示为f(u1,u２)e-γz的形式，其中称为导行电磁波的转输常数。这样横向场分量与纵向场分量间的关系可表示成将广义柱坐标系中的▽t算子代入，可得横向场分量的表达式为8.1.2导行波波型的分类1.横电磁波(TEM波)此传输模式没有电磁场的纵向场量，即Ez=Hz=0，由式(8-6)可知，要使Et和Ht不为零，必须有kc=0，即2.横电波(TE波)或磁波(H波)此波型的特征是Ex=0,Hz≠0，所有的场分量可由纵向磁场分量Hz求出。3.横磁波(TM波)或电波(E波)此波型的特征是Hz=0，Ez≠0，所有的场分量可由纵向电场分量Ez求出。8.1.3导行波的传输特性1.截止波长与传输条件导行波的场量都有因子e-γz(沿+z轴方向传输)，γ=α+jβ，为传播常数。由前面的推导可知对于理想导波系统，为实数，而kc是由导波系统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的不同，γ2可能有下述三种情况：(1)γ2<0，即γ=jβ。此时导行波的场为(2)γ2>0，即γ=α。此时导行波的场为显然这不是传输波，而是沿z轴以指数规律衰减的，称其为截止状态。(3)γ=0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临界状态，它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时由所决定的频率(fc)和波长(λc)分别称为截止频率和截止波长，并且其中为无限介质中电磁波的相速，而kc称为截止波数，并有这样导波系统传输TE波和TM波的条件为截止条件为对于TEM波，由于kc=0，即fc=0，λc=∞，因此在任何频率下，TEM都能满足f>fc=0的传输条件，均是传输状态。也就是说TEM波不存在截止频率。2.波导波长在传输状态下，γ=jβ=jkz，将kc=2π/λc，k=2π/λ=2π/λ0代入上式得所以可得对于TEM波，λc=∞，3.相速、群速和色散(1)相速。对于TEM波(λc→∞)，有(8-11a)(2)群速。群速是指一群具有相近的ω和kz的波群在传输过程中的“共同”速度，或者说是已调波包络的速度。从物理概念上来看，这种速度就是能量的传播速度，其一般公式为(8-11d)可见，群速vg<v，并且对于TEM波(λc→∞)，有(3)色散。由式(8-11a)和(8-11d)可知，TE波和TM波的相速和群速都随波长(即频率)而变化，称此现象为“色散”。因此TE波和TM波(即非TEM波)称为“色散”波，而TEM波的相速和群速相等，且与频率无关，称为“非色散”波。4.波阻抗对于TEM波，有5.传输功率导波沿无耗规则导行系统+z方向传输的平均功率为式中Z=ZTE(或ZTM或ZTEM)。8.1.4模式电压与模式电流1.TM波式中：上式左边仅是横向坐标(u1,u2)的函数，右边仅是纵向坐标z的函数，要使等式成立，两边必须等于同一常数-k2c，即式中，ZTM=β/ωε。2.TE波TE波型电场的纵向分量Ez=0，代入式(8-2a)得▽t×Ht=0。令3.TEM波横电磁波的纵向电磁场分量都为零，即Ez=0，Hz=0，故E=Et,H=Ht。显然，如果TM波的Ez(或TM波的Hz)等于零，它就变成了TEM波，但由式(8-6)可知，此时必有kc=0，γ=jβ=jkz。这样Et和Ht仍可由式(8-15a)计算，即式中：8.1.5边界条件图8-1导波系统横截面对于TM波，其边界条件为由于kc≠0，所以有对于TE波，其边界条件为用横向分布函数表示时有对于TEM波，其边界条件为或者是用横向分布函数表示为8.2矩形波导8.2.1矩形波导中的TM波图8-2矩形波导上式两边除以XY，得这里的x和y是互不相关的独立变量。欲使上式对任意x和y值都成立，只有等式左边的两项分别等于常数。因此，可令且于是Ez的通解是(1)当x=0时，Ez=0(理想导体表面切向场为零)：欲使上式对所有y值都成立，则c１应等于零。(2)当y=0时，Ez=0，欲使上式对所有x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零，因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的情况不符，因此只能取c3等于零。(8-38)(3)当x=a时，Ez=0，式(8-38)变为欲使上式对所有y值都成立，kx必须满足下面关系：这里m不能等于零，否则kx=0，则Ez恒等于零，这不符合TM波的定义。(4)当y=b时，Ez=0，欲使上式对所有x值都成立，ky必须满足下面关系：这样Ez的表示式为式中：在矩形波导中TM波的传输常数为当传输常数γ=0所对应的频率为载止频率fc，且截止频率为当工作频率高于截止频率时，即f>fc，γ为纯虚数，γ=jβ=jkz，电磁波才可能在波导中沿+z方向传输。这种z方向传输常数为或写成当工作频率低于截止频率时，即f<fc，γ为实数，γ=α。此时e-αz表示衰减，电磁波衰减很快，不可能在波导中传输。式中为无限介质中的电磁波的波度。电磁波在矩形波导中的速度vp为在矩形波导中的波导波长λg为图8-3矩形波导中几种波型的场结构(—磁力线；—电力线)8.2.2矩形波导中的TE波其中：截止波数kc为截止频率为截止波长为TE波在波导中的相速vp为TE波在波导中的波导波长λg为图8-4矩形波导中截止波长分布图(以BJ—100为例)8.2.3矩形波导中的TE10波将m=1、n=0、kx=kc=π/a代入式(8-49)，便可得到TE10模的场分量表示式为式中传输常数TE10模电磁场各分量的瞬时表示式为图8-5TE10模的电场、磁场结构图8-6TE10模电磁场结构立体图当波导中有电磁能量传输时，波导内壁处有感应的高频传导电流。由于波导内壁是导电率极高的良导体，在微波波段，其趋肤深度在微米数量级。因此波导内壁上的电流可看成表面电流，其面电流密度由下式确定：式中n为波导内壁上的单位法向矢量，它由波导管壁指向波导管内；Ht是波导管内壁处的切向磁场。TE10模在波导管内壁上的感应面电流密度为图8-7TE10模的壁电流分布在矩形波导中传输TE10模时，其截止波长为波导波长为波阻抗为8.3波导中的能量传输与损耗在矩形波导中传输功率为在圆柱形波导中其传输功率为(8-72)8.3.1波导的击穿功率与功率容量对于矩形波导中的TE10模，其横向电场只有Ey分量，其表示式为(8-74)式中E0=ωμaH0/π。将式(8-74)代入式(8-72)，则在行波状态下TE10模的传输功率为式中为无限介质中的波阻抗。设Ebr为波导中填充介质的击穿电场强度，即介质所能承受的最大电场强度，将式(8-75)中的E0用Ebr代替，则在行波状态下TE10模传输的极限功率Pbr为图8-9矩形波导功率容量与波长的关系在实际应用中，由于传输线终端难以完全匹配，传输线处于行驻波工作状态(而有部分反射波存在)，此时驻波系数ρ>1，这时击穿功率可减小到事实上，波导的击穿功率还与其它因素有关。如波导内表面不干净，有毛刺或出现不均匀性等等，都会使波导的击穿功率进一步降低。为使波导能安全地工作，通常把传输线允许通过的功率Pt规定为8.3.2波导的损耗和衰减在考虑损耗的波导中，电磁波的传输常数是复数，即γ=α+jβ=α+jkz，此时电磁波的场矢量式中E′(u1，u2)e-αz和H′(u1，u2)e-αz是场矢量的振幅。显然电磁波每传输一个单位距离，场矢量的振幅是原来值的e-αz倍，而电磁波所携带的功率则是原来值的e-2α倍。设在z处通过波导横截面的功率为P，则传输一个单位距离所损耗的功率PL为(8-80)在一般情况下，波导中任意横截面处的传输功率P总是远大于该处单位长度波导中损耗的功率PL，即P>>PL，这说明衰减常数α<<1。在此种情况下，将e-2α展成幂级数，并取前两项作近似，则式(8-80)可简化为由此可得衰减常数的近似表示式为(8-81)

1.波导内壁导体损耗引起的衰减常数αc若要计算αc，必须先计算传输功率P和损耗功率PL。由电磁场理论可知，这两部分功率分别为式中，Z为传输模的波阻抗，RS为金属材料的表面电阻。将式(8-84)和式(8-85)代入式(8-81)，可得(8-84)(8-85)图8-10矩形波导中TE10模的αc特性曲线2.波导中填充介质的损耗引起的衰减常数αd当波导中填充非理想介质时，介质中将损耗部分功率，使得电磁波在传输过程中衰减。波导中非理想介质引起的损耗包括两部分：一部分是由介质电导率不等于零，即σ≠0而引起的；另一部分是由介质极化阻尼而引起的。介质电导率不为零引起的衰减常数αdc由传输常数γ的表示式可以导出，其αdc为介质极化阻尼损耗引起的衰减常数αde为式中tanδe=ε″/ε′称为介质损耗角正切。以上的分析表明，对于空气填充的波导，其损耗是由波导壁有限电导率引起的，衰减系数α=αc；对于非理想介质填充的波导，不仅有波导壁引起的损耗，而且还有介质引起的损耗，其衰减常数α=αc+αdc+αde。8.4同轴线图8-11同轴线的结构与坐标8.4.1同轴线主模TEM波的性质1.同轴线中的场方程该方程的一般解为将φ以及式(8-22d)代入式(8-22a)，可得到同轴线中TEM波的横向场分量为式中E0是电场的振幅，η是TEM波的波阻抗。2.传输参数设同轴线内、外导体之间的电压为U(z)，内导体上的轴向电流为I(z)，则由特性阻抗的定义可知其特性阻抗Z0为其相移常数β和相速vp分别为(v0=光速)其波导波长(相波长)为3.传输功率与衰减设z=0时，内、外导体之间的电压为U0，同轴线传输TEM波的平均功率：同轴线的功率容量Pbr可按下式计算：Ubr与Ebr的关系：故功率容量的计算公式可写成8.4.2同轴线中的高次模对于同轴线内的TE或TM高阶模来说，其截止波数kc所满足的方程都是超越方程，严格求解是很困难的，一般采用近似的方法得到其截止波长的近似表达式。对于TM波，最低波型为TM01，其截止波长λc(E01)=2(b-a)。当m≠0、n=1时，对于TE波，其截止波长为最低波型为H11，其截止波长为在m=0时，TE01模的截止波长为8.4.3同轴线尺寸的选择1.保证同轴线中单模(TEM)传输为了保证在同轴线中只传输TEM波，其工作波长与同轴线尺寸的关系应满足2.保证传输电磁波能量时导体损耗最小为了保证获得最小的导体损耗，将αc表达式(8-100a)中b保持不变，对a求导并令，可求得αc取最小值时b/a的比值为此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为77Ω。3.保证同轴线具有最大的功率容量为了保证获得最大的功率容量，可将Pbr的表达式(8-99)中b保持不变，对a求导并令，可求得Pbr取最大值时b/a的比值为此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为33Ω。8.5谐振腔8.5.1空腔谐振器的一般概念图8-12集总参数LC电路向空腔谐振器过渡1.谐振波长λ0空腔谐振器的谐振波长λ0是指在空腔谐振器中工作模式的电磁场发生谐振时的波长。这时谐振器内的电场能量的时间平均值与磁场能量的时间平均值相等。谐振波长λ0取决于谐振器的结构形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/λ0(空气填充时，v为自由空间的光速)称为谐振频率。2.固有品质因数Q0品质因数Q是空腔谐振器的另一个重要参数。它表征了空腔谐振器的频率选择性和谐振器能量损耗，其定义为一个与外界没有耦合的孤立空腔谐振器的品质因数称为固有品质因数，以Q0表示。对孤立的空腔谐振器，式(8-101)中系统中每秒的能量损耗仅包括空腔谐振器本身的损耗，如导体损耗和介质损耗等。当场量用瞬时值定义时，总储能的时间平均值为式中ε1为谐振器内部介质的介电常数，μ1为介质的磁导率，V为谐振器的体积。对于孤立的金属空腔谐振器，其损耗主要来自导体壁的损耗，所以PL为由于所以式(8-104)也可以写成(8-104)8.5.2矩形空腔谐振器图8-13矩形波导谐振腔1.谐振频率矩形波导谐振腔内的场分量可由入射波和反射波叠加来求得。式中，E0(x,y)为该模式横向电场的横向坐标函数，A+、A-分别为正向和反向行波的任意振幅系数。TEmn和TMmn的传输常数为式中，，μ和ε是腔体内填充介质的磁导率和介电常数。将z=0处的边界条件Et=0代入式(8-106)，得到A+=A-，再将z=l处的边界条件Et=0代入式(8-106)，可得E(x,y,l)=-E0(x,y)2jA+sinkzl=0，由此可得这表明，谐振腔