第十一章3简谐运动的回复力和能量

3简谐运动的回复力和能量1.弹簧的弹力与形变量成_____,形变量越大,弹力_____,弹簧的弹性势能_____。2.物体的加速度与其所受的合外力成_____,方向与合外力的方向_____。3.当加速度方向与速度方向相同时,物体做_____运动,当加速度方向与速度方向相反时,物体做_____运动。4.振子经过关于平衡位置对称的两点时,速度大小_____,加速度大小_____。正比越大越大正比相同加速减速相同相同一、简谐运动的回复力1.回复力:2.简谐运动的动力学特征:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成_____,并且总是指向_________,质点的运动就是简谐运动。项目内容定义振动质点受到的总能使其回到_________的力方向指向_________表达式F=____平衡位置平衡位置-kx正比平衡位置二、简谐运动的能量1.振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系:弹簧振子运动的过程就是_____和_____互相转化的过程。(1)在最大位移处,_____最大,_____为零。(2)在平衡位置处,_____最大,_____最小。2.简谐运动的能量特点:在简谐运动中,振动系统的机械能_____,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种_______的模型。动能势能势能动能动能势能守恒理想化【思考辨析】1.判断正误:(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。()(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。()(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。()(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此能量一定为零。()(5)回复力的大小与速度大小无关,速度增大时,回复力可能增大,也可能减小。()提示:(1)√。由F=-kx可知,回复力F的方向总是与位移x的方向相反。(2)×。回复力的方向与速度方向可能相同,也可能相反,当振子加速运动时相同,减速运动时相反。(3)×。由牛顿第二定律可知,加速度的方向总是与力的方向相同。(4)×。平衡位置处,回复力为零,但速度不为零,故振子能量不为零。(5)×。速度增大时,位移减小,故回复力减小。2.问题思考:在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有几个?动能最大的位置有几个?提示:在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有两个,分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个,就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。一、对回复力和加速度的理解1.回复力的来源:(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。分析物体的受力时不能再加上回复力。2.关于k值：公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。3.加速度的特点：根据牛顿第二定律得表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。【学而后思】(1)简谐运动的回复力的大小如何变化?何处为零何处最大?提示:向着平衡位置运动时,回复力越来越小,远离平衡位置运动时回复力越来越大。平衡位置处,回复力为零,最大位移处回复力最大。(2)怎样证明某一个振动是否为简谐运动?提示:只要机械振动的回复力满足F=-kx,此振动即为简谐运动。【典例1】如图所示,挂在竖直弹簧下面的小球,用手向下拉一段距离,然后放手,小球上下振动。试判断小球的运动是否为简谐运动。【解题探究】(1)弹簧的弹力是否等于小球的回复力?提示:小球的回复力应等于弹簧弹力和小球重力的合力。(2)小球的位移大小是否等于弹簧的伸缩量?提示:不相等,平衡位置是回复力为零的位置,不是弹簧弹力为零的位置,因此小球的位移大小不等于弹簧的伸缩量。【标准解答】小球静止时的位置为其运动时的平衡位置,设此时弹簧伸长量为x0,由力的平衡条件可知kx0=mg,向下再拉长x,释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为:F=k(x+x0)-mg=kx,考虑到力的方向和位移方向的关系,应有:F=-kx。由此可见,小球的运动为简谐运动。【互动探究】若将弹簧下端固定,上端连接一个小球由平衡的位置下压弹簧一段距离后释放,小球的运动是否为简谐运动?【解析】小球静止时的位置为其运动时的平衡位置,设此时弹簧压缩量为x0,由力的平衡条件可知:kx0=mg,向下再压缩x,释放后小球受到指向平衡位置的合力大小为:F=k(x+x0)-mg=kx,考虑到力的方向和位移方向的关系,应有:F=-kx。由此可见,小球的运动为简谐运动。【总结提升】判断一个振动为简谐运动的方法根据简谐运动的特征进行判断，由此可总结为：(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F=-kx进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征进行判断。二、简谐运动中各个物理量的变化规律1.根据水平弹簧振子图,可分析各个物理量的变化关系如下:振子的运动A→OO→A′A′→OO→A位移方向向右向左向左向右大小减小增大减小增大回复力方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大加速度方向向左向右向右向左大小减小增大减小增大速度方向向左向左向右向右大小增大减小增大减小振子的动能增大减小增大减小弹簧的势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变2.各个物理量对应关系不同:位置不同,位移不同,加速度、回复力不同,但是速度、动能、势能可能相同,也可能不同。【学而后思】(1)简谐运动中在最大位移处和平衡位置处各物理量的特点是什么?提示:在最大位移处,x、F、a、Ep最大,v=0,Ek=0;在平衡位置处,x=0,F=0,a=0,Ep最小但不一定为零,v、Ek最大。(2)对竖直弹簧振子来说,振动能量包含哪几种形式的能量?提示:动能、弹性势能、重力势能。【典例2】如果表中给出的是做简谐运动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系,T是振动周期,则下列选项中正确的是()0T/4T/23T/4T甲零正向最大零负向最大零乙零负向最大零正向最大零丙正向最大零负向最大零正向最大丁负向最大零正向最大零负向最大时刻物理量状态A.若甲表示位移x,则丙表示相应的速度vB.若丁表示位移x,则甲表示相应的速度vC.若丙表示位移x,则甲表示相应的速度vD.若乙表示位移x,则丙表示相应的速度v【解题探究】(1)做简谐运动的物体运动到关于平衡位置对称的两点时,描述运动的各物理量有什么特点?提示:关于平衡位置对称的这两点速度、加速度、回复力、位移的大小分别相等。(2)做简谐运动的物体从平衡位置向最大位移处移动时,v、x、a、F的大小怎样变化?提示:速度减小、位移增大、加速度和回复力增大。【标准解答】选A、B。本题可结合如图所示的弹簧振子的振动情况具体分析。在振子从平衡位置(t=0)向右(正方向)运动到正向最大位移的过程中,其速度为正且由最大值减小到零,A正确;在振子从负向最大位移处运动,经周期回到平衡位置时,振子向右运动,速度为正且增大,B正确;若振子从正向最大位移向平衡位置运动时,振子的速度为负且逐渐增大,C错误;若振子从平衡位置向负向最大位移处运动,则振子的速度为负且逐渐减小,D错误。【变式训练】(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,一轻弹簧一端固定,另一端连接一物块构成弹簧振子,该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动,振幅为A0,周期为T0。当物块向右通过平衡位置时,a、b之间的粘胶脱开;以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T,则A

A0(选填“>”“<”或“=”),T

T0(选填“>”“<”或“=”)。【解析】物块以一定的速度通过平衡位置时,质量减小,则振动的动能减小,也就是系统的机械能减小,所以能到达的最大位移减小,振幅减小;由于在这周期内,初速度和末速度不变,平均速度不变,而位移减小了,所以运动时间减小,即振动周期减小。答案:<<【变式备选】弹簧振子做简谐运动,下列说法中正确的是()A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小B.振子在最大位移处,势能最大,动能最小C.振子在向平衡位置振动时,由于振幅减小,故总机械能减小D.在任意时刻,动能与势能之和保持不变【解析】选A、B、D。振子在平衡位置两侧往复振动,在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变量最大,势能最大,所以B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,D正确,到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,所以A正确;振幅的大小与振子的位置无关,所以选项C错误。三、简谐运动的三大特征1.瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由F=-kx可知回复力不同。由牛顿第二定律得可知加速度a也不相同，也就是说a、F、x具有瞬时对应性。2.对称性：物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。3.周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可作如下判断：(1)若t2-t1=nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。(2)若t2-t1=nT+，则t1、t2两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。【学而后思】(1)做简谐运动的物体每次经过同一位置时,加速度和速度有什么特点?提示:物体经过同一位置时,位移相同,回复力相同,所以加速度相同;速度的大小一定相同,方向可能不同。(2)做简谐运动的物体从某一位置出发,经过时间Δt又回到了初位置,则Δt是否等于周期T的整数倍,即Δt=nT?提示:不一定。即Δt=nT不一定成立,物体经过nT一定回到初位置,但物体从出发到再回到初位置经历的时间不一定是nT。【典例3】如图所示,A、B叠放在光滑水平地面上,B与自由长度为L0的轻弹簧相连,当系统振动时,A、B始终无相对滑动,已知mA=3m,mB=m,当振子距平衡位置的位移x的大小为时,系统的加速度大小为a,求A、B间摩擦力Ff与位移x的函数关系。【解题探究】(1)系统做简谐运动时，物体A和物体B各自做什么运动？它们的加速度、回复力是否等于系统的加速度和回复力？提示：A、B两个物体均做简谐运动，加速度和系统的加速度相同，回复力不同。(2)物体A的回复力由哪个力来提供？A、B间的摩擦力是否为恒力？提示：物体B对A的静摩擦力提供A的回复力，摩擦力的大小满足|Ff|=｜kx｜。【标准解答】设弹簧的劲度系数为k，以A、B整体为研究对象，系统在水平方向上做简谐运动，其中弹簧的弹力作为系统的回复力，所以对系统运动到距平衡位置时，有由此得当系统的位移为x时，A、B间的静摩擦力为Ff，此时A、B具有共同加速度a′，对系统有-kx=(mA+mB)a′,①②对A有Ff=mAa′，③结合①②③有答案：【变式训练】(2013·咸阳高二检测)质量为m1和m2两物块用轻弹簧相连，将它们竖立在水平面上，如图所示。现在用竖直向下的压力压m1，使它们处于静止状态。突然撤去压力，当m1上升到最高点时，m2对地压力恰好为零。则系统静止时竖直向下压力大小等于多少？(提示：撤去力后m1上下做简谐运动)【解析】当m1运动到最高点时，m2对地压力恰好为零，则此时弹簧弹力为m2g。所以m1简谐运动最大加速度根据简谐运动对称性可知，突然撤去压力时m1向上加速度也是：则：压力F=m1am=(m1+m2)g答案：(m1+m2)g【典例】一轻质弹簧竖直立在地面上，其劲度系数k=400N/m,弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰好与A接触，如图所示。A和B的质量均为1kg，先将A向上抬高，使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起做竖直方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变的大小，求：(g取10m/s2,阻力不计)(1)物体A的振幅。(2)B的最大速度。考查内容对简谐运动的性质的理解【标准解答】(1)物体A在平衡位置时，所受合外力为零，设此时弹簧被压缩Δx，则有(mA+mB)g=kΔx，得Δx=(mA+mB)g/k=0.05m=5cm。开始释放时物体A处在最大位移处，故振幅h=5cm+5cm=10cm。(2)设物体B的最大速率为v，因为初始位置与平衡位置的弹性势能相等，故从初始位置到平衡位置，根据机械能守恒定律有