第九章时间序列分析和预测

第八章时间序列分析（1）时间序列分析概述（2）时间序列的水平分析 （3）时间序列的速度分析（4）长期趋势分析（5）季节变动与循环变动分析重点：正确识别时间数列变量和形态，掌握时间数列的编制方法，灵活运用不同的时间序列分析方法。难点：不同类型时间序列的分析和预测。第八章时间序列分析第一节时间序列分析概述某企业某年生产产品数量(单位：件)总计1月2月3月4月5月6月320931980217528062800296029807月8月9月10月11月12月305030203000291029501506

时间序列：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间序列(timesseries)。又称时间数列或称为动态数列。

形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成。表示法：t－－所观察的时间；Y－－观察值；

Yi（i＝1，2，…，n）－－时间ti上的观察值一、时间序列的含义在一个时间序列中，各时间上的发展水平按时间顺序可记为X0,X1,X2,…，Xn。在对各时间的发展水平进行比较时，把作为比较基础的那个时期称为基期，相对应的发展水平称为报告期水平。对时间序列进行分析的目的：一是描述事物在过去时间的状态，分析其随时间推移的发展趋势；二是提示事物发展变化的规律性；三是预测事物在未来时间的数量。

编制时间数列的原则：（一）时间方面的可比性（二）空间的可比性（既总体范围大小应该一致）（三）指标口径的可比性（四）指标的计算方法和计量单位方面的可比性二、时间序列的速度分析㈠发展速度发展速度：是反映社会经济现象发展变化快慢程度的动态相对指标，它是根据两个不同时期的发展水平对比求得的。其计算结果一般用倍数或百分数表示。用公式表示为：发展速度＝报告期发展水平/基期发展水平

=xi/x0根据对比的基期不同,可分为环比发展速度和定基发展速度两种。定基发展速度：是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发展方向和速度，故亦称为总速度。环比发展速度：是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某种社会经济现象的逐期发展方向和速度。

定基发展速度与环比发展速度的数量关系(1）相邻若干个环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度(2）相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度㈡增长速度1.增长率(growthrate)

：时间序列中报告期观察值与基期观察值之比减1后的结果，也称增长速度，用“%”表示。说明报告期水平较基期水平增长的相对程度①环比增长率报告期水平与前一期水平之比减1②定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减12.平均增长率(averagerateofincrease)

序列中各逐期环比值(也称环比发展速度)的几何平均数减1后的结果【例】根据人均GDP数据，计算1986—2000年的增长率，并根据增长率预测2001年和2002年的人均GDP解：年平均增长率为：

2005年和2006年人均GDP的预测值分别为：

㈢年度化增长率(annualizedrate)

增长率以年来表示时，称为年度化增长率或年率m为一年中的时期个数；n为所跨的时期总数季度增长率被年度化时，m＝4月增长率被年度化时，m＝12当m＝n时，上述公式就是年增长率【例】已知某地区如下数据，计算年度化增化增长率1)2004年1月份的社会商品零售总额为25亿元，2005年1月份的零售总额为30亿元。

解：由于是月份数据，所以m=12；从2004年一月到2005年一月所跨的月份总数为12，所以n=12

即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%

解：m=12，n=27

年度化增长率为该地区财政收入的年增长率为10.43%

2)2004年3月份财政收入总额为240亿元，2006年6月份的财政收入总额为为300亿元

解：由于是季度数据，所以m=4，从一季度到二季度所跨的时期总数为1，所以n=1

年度化增长率为

即根据第一季度和第二季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%

3)2006年1季度完成的国内生产总值为500亿元，2季度完成的国内生产总值为510亿元

解：m=4，从2003年四季度到2006年四季度所跨的季度总数为12，所以n=12

年度化增长率为即根据2003年四季度到2006年四季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度4)2003年4季度完成的工业增加值为280亿元，2006年4季度完成的工业增加值为350亿元(三)增长率中的问题1.当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率2.有时要把增长率与绝对水平相结合进行分析甲、乙两个企业的有关资料年份甲企业乙企业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)2002500—60—2003600208440【例】

假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元图形描述时间序列可分为平稳序列和非平稳序列，其中非平稳序列又分为有趋势序列和复合型序列。从构成上一般可归纳为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四个因素。

第二节时间序列构成因素一、时间序列的类别平稳序列(stationaryseries)

基本上不存在趋势的序列，各观察值基本上在某个固定的水平上波动，或虽有波动，但并不存在某种规律，而其波动可以看成是随机的非平稳序列

(non-stationaryseries)

有趋势的序列：时间序列在长时期内呈现出来某种持续向上或持续下降的变动。是包含趋势、季节性或周期性的序列，它具有某种有规律有波动。可分为有趋势的序列、有趋势和季节性的序列、几种成分混合而成的复合型序列。长期趋势（trend）：是指客观社会经济现象在一个相当长的时期内，由于受某种基本因素的影响所呈现出来一种基本走势。尽管在这个时期内，事物的发展仍有波动，但基本趋势不变。

季节性（seasonality）：时间序列在一年内重复出现的周期性波动，也称季节变动。周期性（cyclity）：时间序列中呈现出来的围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动，也称循环波动。不规则变动(irregular)

：指客观社会经济现象由于天灾、人祸、战乱等突发事件或偶然因素引起是无周期性波动。时间序列的构成要素分为四种，即趋势(T)、季节性或季节变动(S)、周期性或循环波动(C)、随机性或不规则波动(I)非平稳序列时间序列的分解模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

二、时间序列的构成第三节时间序列趋势变动分析对长期趋势的测定和分析，是时间序列分析的重要工作，其主要目的是：①描述社会经济现象在较长时期内发展变化的基本状态，以便进一步研究其发展变化的规律②为预测事物未来的发展情况提供依据③测定长期趋势，为研究其他类型变动时消除长期趋势的影响提供依据对时间序列进行预测时，通常包括以下几个步骤：确定时间序列所包含的成分，也就是确定时间序列的类型找出适合此类时间序列的预测方法对可能的预测方法进行评估，以确定最佳预测方案利用最佳预测方案进行预测一、简单平均法

(simpleaverage)

根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值

设时间序列已有的其观察值为Y1、Y2、…、Yt，则t+1期的预测值Ft+1为t+2期的预测值为【例】根据居民消费价格指数数据，预测2005年的居民消费价格指数。解：2005年居民消费价格指数为：=105.5%二、移动平均法(movingaverage)

基本思想：通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原时间序列中季节周期、循环周期及短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。确定移动平均数的移动周期长度①移动周期一般以季节周期、循环变动周期长度为准而确立；②如若不存在明显的季节周期和循环周期，一般而言，最好取奇数项目。③如根据数据资料的特点，还非取偶数项不可，此时，统计中的一般做法就是再对移动平均数时间数列进行第二次偶数项移动平均，目的是为了“正位”，第二次移动的周期一般取两期，这称为移正平均，也称中心化的移动平均数。将最近k的其数据加以平均作为下一期的预测值设移动间隔为K(1<k<t)，则t期的移动平均值为

t+1期的简单移动平均预测值为预测误差用均方误差(MSE)

来衡量㈠简单移动平均法(simplemovingaverage)【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较用Excel进行移动平均预测㈡加权移动平均法

(weightedmovingaverage)

对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测移动平均法特点：1.移动平均对原序列有修匀或平滑的作用，使得原序列的上下波动被削弱了，而且平均的时距项数N越大，对数列的修匀作用越强。移动平均法特点：2.移动平均时距项数N为奇数时，只需一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；而当移动平均项数N为偶数时，则需再进行一次相邻两项平均值的移动平均，称为移正平均，也称中心化的移动平均数。移动平均法特点：3．当序列包含季节变动时，移动平均时距项数N应与季节变动长度一致（如4个季度或12个月），才能消除其季节变动；若序列包含周期变动时，平均时距项数N应和周期长度基本一致，才能较好的消除周期波动。【例】移动平均法特点：4．移动平均之后，其序列的项数较原序列减少，当N为奇数时，新序列首尾各减少(N-1)/2项；N为偶数时，首尾各减少N/2项。所以移动平均会使原序列失去部分信息，而且平均基数越大，失去的信息越多。因此，移动平均的项数不宜过大。三、指数平滑平均法(exponentialsmoothing)

对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法。观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑一次指数平滑(singleexponentialsmoothing)

以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为Yt为t期的实际观察值

Ft为t期的预测值为平滑系数(0<<1)【例】对居民消费价格指数数据，选择适当的平滑系数，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较用Excel进行指数平滑预测第四节有趋势序列的分析和预测一、确定趋势成分【例】一种股票连续16周的收盘价格如表所示。试确定其趋势及其类型。一、线性趋势分析和预测线性趋势(lineartrend)：现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律线性方程的形式为—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量

根据最小二乘法得到求解a

和b

的标准方程为解得：预测误差可用估计标准误差来衡量m为趋势方程中未知常数的个数

【例】根据人均GDP数据，用最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2005年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较

线性趋势方程：预测的估计标准误差：

2005年人均GDP的预测值：

二、非线性趋势分析和预测㈠指数曲线(exponentialcurve)

：用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间序列的观察值Yt按指数规律变化，或者说时间序列的逐期观察值按一定的增长率增长或衰减。t一般形式为a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限b>1时a>0，b<1时采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb的标准方程为【例】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2005年的轿车产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较

2.

预测的估计标准误差指数曲线趋势方程：3.2005年轿车产量的预测值：㈢修正指数曲线(modifiedexponentialcurve)在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限求解k、a、b的三和法趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和

设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3【例】我国1983~2000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较解得K、a

、b

如下糖产量的修正指数曲线方程2001年糖产量的预测值预测的估计标准误差㈣Gompertz曲线以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y=0K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K

则有：将其改写为对数形式：令：㈤罗吉斯蒂曲线(Logisticcurve)1838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠1在对实际的时间序列拟合其长期趋势方程时，通常可参考以下的一些做法：(1)进行定性分析。对所研究的现象的客观性质进行研究，分析其一般的发展规律，从而对现象长期规律趋势的性质做出基本的判断。(2)描绘散点图。根据时间序列的观测值描绘散点图，从散点图的基本态势判断现象随时间变化大体类型。在对实际的时间序列拟合其长期趋势方程时，通常可参考以下的一些做法：(3)分析序列的数据特征。如果序列各项数据的K次差大致为一个常数，一般来说，可考虑配合K次曲线；若序列的环比发展速度大体为一个常数，或序列的对数一次差大体为一个常数，可考虑配合指数曲线。(4)分段拟合。现象的实际变化可能非常复杂，各个阶段可能有不同的变化规律，这时可将序列分段考察，分别拟合不同的曲线趋势。在对实际的时间序列拟合其长期趋势方程时，通常可参考以下的一些做法：(5)最小偏差分析。当序列有多种曲线可供选择时，可将多种曲线的拟合结果加以比较，分别计算各种上曲线的偏差或估计的均方误差S2，以估计的均方误差最小的曲线为直。计算估计的均方误差S2的方法为：n为序列项数，k为曲线参数的个数第四节季节变动分析一、季节变动的概念和特征（一）季节变动概念季节变动：是指某些社会经济现象，由于受自然因素和社会条件、人们的消费习惯等因素的影响，在一年之内或更短的时间，随着季节更换而引起的一种有规律的变动。（二）季节变动有三个特征季节变动按照一定的周期进行，是一种有规律的变动；季节变动每年重复进行；每个周期变化的强度大体相同。（三）确定季节成分例：一家啤酒生产企业2000-2005年各季度的啤酒销售量数据。试绘制年度折叠时间序列图，并判断啤酒销售量是否存在季节性。解：从折叠时间序列图中可以看出，后面年份的折线高于前面年度的折线，而且交叉不明显，这说明啤酒销售量数据中既含有季节成分，也含有上升趋势。二、季节变动的分析原理与方法测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看可分为两种：一是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间序列直接去测定季节变动；二是根据剔除长期趋势后的数据测定季节变动。（一）季节变动的分析原理季节模型，就是指一时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以基本相同的形态出现。季节模型是由一套指数组成的，各指数刻画了现象在一个年度内各月或各季的典型特征。（一）季节变动的分析原理季节模型正是以各个指数的平均数等于100%为条件而构成的，它反映了某一月份或季度的数值占全年平均数的大小。如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%；如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%。（一）季节变动的分析原理因此，分析季节变动，也就是对一个时间序列计算出该月（或季）指数，即所谓季节指数，然后根据各季节指数与其平均数（100%）的偏差程度来测定季节变动的程度。这就是季节变动分析的基本原理。（二）季节变动的分析方法1.季节变动的分析方法和长期趋势的分析方法的联系和区别区别：长期趋势通过平均的方法将其他三个因素消除（抵消）；而季节变动则采用新的方法消除季节变动以外的三个因素。（二）季节变动的分析方法联系：当现象变动的长期趋势不明显，甚至没有，那么从时间数列中测定季节变动，实际上就只需要消除循环变动和不规则变动，这时测定季节变动的方法和测定长期趋势的方法从本质上看就完全一样了，都是平均法的思想。2.测定季节变动的方法可以分两种情况来选择：①在现象不存在长期趋势或长期趋势不明显的情况下，一般是直接用平均的方法通过消除循环变动和不规则变动来测定季节变动，在统计学中将这种方法称为“同期平均法”；②现象具有明显的长期趋势时，一般是先消除长期趋势，然后再用平均的方法再消除循环变动和不规则变动，统计学中，把这种方法称为“移动平均趋势剔除法”。

（1）原始资料平均法（同期平均法）所谓“原始资料平均法”就是在同季（月）内“平均”，而在不同季（月）之间“移动”的一种“移动平均”法。原始资料平均法步骤如下：计算各年同季(月)的平均数，目的是要消除非季节因素的影响。计算各年同季(或同月)平均数的平均数，也即时间数列的序时平均数，目的是计算季节比率。计算季节比率[例]某企业2000－2003年的经营收入及所计算的各年同月平均数和季节比率，如表所示。（2）移动平均长期趋势－循环剔除法基本思路：先从时间数列中将长期趋势剔除掉，然后再应用“同期平均法”剔除循环变动和不规则变动，最后通过计算季节比率来测定季节变动的程度。因此，它是长期趋势的测定方法——“移动平均法”和季节变动的测定方法的结合运用“移动平均趋势剔除法”来测定季节变动趋势。其基本步骤如下：第一，先根据各年的季度〈或月度〉资料(Y)计算四季(或12个月)的移动平均数，然后为了“正位”，再计算二季〈月〉移动平均数，作为各期的长期趋势值(T)。“移动平均趋势剔除法”来测定季节变动趋势。其基本步骤如下：第二，将实际数值(Y)除以相应的移动平均数(T)，得到各期的Y/T。这就是消除了长期趋势影响的时间数列，它是一个相对数，称为季节指数。“移动平均趋势剔除法”来测定季节变动趋势。其基本步骤如下：第三，将Y/T重新按“同期平均法”计算季节比率的方式排列。然后，按照该方法要求，先计算“异年同季平均数”，然后再计算“异年同季平均数的平均数”，即消除长期趋势变动后，新数列的序时平均数；最后，计算季节比率并画图显示。“移动平均趋势剔除法”来测定季节变动趋势。其基本步骤如下：第四，对季节比率的调整。季节比率的总和应当等于季节周期的长度L，如果计算的季节比率的总和接近于L，则不必调整；如果，计算的季节比率的总和不等于L，需要进行调整。[例]表为某企业2006－2009年经营收入Y按此2个月中心化移动平均计算的趋势和循环值TC，以及计算得出的季节比率三、季节变动的调整含有季节变动因素的时间序列，由于受季节影响而产生波动，使序列中的其他特征不能清晰地表现出来，因此，需要将季节变动的影响从时间序列中剔除，以便观察其他特征的影响，这称为季节变动的调整。【例】根据上例的资料，对2008年各月的销售量作季节调整。并计算趋势方程。第五节循环变动分析一、循环变动及其测定目的循环变动指持续若干时期的上下周期性波动。通常所指的循环变动乃经济发展荣衰