第十章无穷级数

1第十章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质第二节数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数的幂级数展开第五节傅里叶级数2

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

齐诺悖论—阿基里斯与乌龟3第一节常数项级数的概念和性质

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.

一、级数的基本概念

计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积41、级数的定义:—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和52、级数的收敛与发散:6解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)

的收敛性.

7

发散发散综上所述,8

公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：

如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,

如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？

齐诺悖论—阿基里斯与乌龟9如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.

1011解例2讨论无穷级数

的收敛性.

12解例3所以级数发散.

13级数收敛的必要条件证明定理14说明：1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；

级数发散；

级数发散。152、必要条件不充分：再举一个重要例子：

但级数发散。

调和级数

16讨论于是矛盾，调和级数

17二、收敛级数的基本性质也收敛,且有由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。思考：可逆吗？性质1性质218说明：证矛盾.19去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).

性质3性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.证因为部分和数列只相差一个常数。例如，20性质4收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.续证注收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.推论如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.

例如例如，则级数

且和不变.21例4判断下列级数的敛散性：

因为都收敛，故原级数收敛，解且和为22例4判断下列级数的敛散性：

收敛；发散。23第二节数项级数的审敛法

1、定义：这种级数称为正项级数.2、正项级数收敛的充要条件：定理一、正项级数的收敛问题24证明比较审敛法定理(1)25(2)是(1)的等价命题.

注：定理的条件可放宽为：

证明比较审敛法定理26解例1所以原级数收敛.

27解例228所以于是29重要参考级数：几何级数,p-级数,调和级数.比较：30解例3例4解所以原级数发散。所以原级数收敛。例8-1331,设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数如果,当时;则(1)两级数有相同的敛散性(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;(2)当时，若收敛,则收敛;比较判别法的极限形式：32证明由比较判别法,可知两级数有相同的敛散性.33证明由比较判别法可知,

(注意：不可逆)；

由(2)即得结论.

34例5例6例7例8所以原级数发散。收敛发散收敛35常用等价无穷小：36例9解例10收敛。解37例1138例12解39证例13由基本不等式40比值判别法(达朗贝尔D’Alembert判别法)

证略.41例14例15收敛.解收敛.解42例16解所以用比值法无法判断.用比较法,收敛.43解例17收敛.44例18解45根值判别法(柯西Cauchy判别法)：

证略.46例19解所以级数收敛.

例20解所以级数收敛.

47例21收敛.解48二、交错级数及其审敛法定义：正、负项相间的级数称为交错级数.定理(莱布尼茨判别法)

如果交错级数满足条件称莱布尼茨型级数

49证另一方面,

50定理(莱布尼茨判别法)

如果交错级数满足条件注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.

51例22解这是交错级数,

由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，称为交错

p—级数.所以级数收敛。52解所以级数收敛.例2353三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.54证明定理：由正项级数的比较判别法可知,

55上述定理的作用：任意项级数正项级数说明：这是因为它们的依据是

如上例；

56例24例25的绝对收敛,条件收敛或发散性.判定解故原级数绝对收敛.

判定的绝对收敛,条件收敛或发散性.解绝对收敛.

57例26解58例27解即原级数非绝对收敛;59由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．60例28解所以级数发散；故原级数绝对收敛；61小结正

项

级

数任

意

项

级

数判别法4.充要条件5.比较法6.比值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;1.2.7.根值法62第三节幂级数

1、定义：一、函数项级数的一般概念632、收敛点与收敛域：3、和函数：64解由达朗贝尔判别法，原级数绝对收敛.例165原级数发散.收敛;发散;解例166二、幂级数及其收敛性1、幂级数的定义级数称为关于x的幂级数。672、幂级数的收敛半径和收敛域68证O定理(阿贝尔Abel定理)

69由正项级数的比较判别法知,

证70由(1)结论,几何说明收敛区域发散区域发散区域这与所设矛盾.71此时正数

R

称为幂级数的收敛半径.规定问题如何求幂级数的收敛半径?72定理简单地讲，就是73证74证毕.75求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

例1解发散；收敛。76一般，求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

例177例2解例3解78例4解收敛半径为

收敛；发散.79发散收敛故收敛域为(0,1].例5解80缺少偶次幂的项级数收敛；例6解直接应用达朗贝尔判别法，81级数发散,所以原级数的收敛域为级数收敛；级数发散；823、幂级数和函数的性质且收敛半径仍为R.

83且收敛半径仍为R.

(2)逐项积分或求导后,端点处的收敛性可能发生如下变化：逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛；逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。84例1逐项求导,

再逐项求导,

85例1逐项积分,

86换元，再逐项积分，例187例2解881、解逐项求导,

所以例3求下列幂级数的收敛域及和函数：892、解收敛半径903、解914、解所以从而924、解935、解94解6、95例4解所以由例3.4知，96例5解积分得所以？第四节函数的幂级数展开一、泰勒级数二、函数展开成幂级数泰勒级数、函数展开成幂级数的步骤定理、麦克劳林级数展开式的唯一性函数ex

的幂级数展开函数sinx

的幂级数展开求幂级数展开式的间接展开法幂级数展开式小结一、泰勒级数本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x)．如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数．

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x

在(a，b)内时，f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：这里x是x0与x

之间的某个值．复习泰勒中值定理：其中

如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f(x)，f(x)，···，f(n)(x)，···，则当n时，f(x)在点x0的泰勒多项式泰勒级数：成为幂级数这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数．显然，当xx0时，f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)．需回答的问题：除了xx0外，f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即证明先证必要性．设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数，即因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)Rn(x)，其中sn1(x)是f(x)的泰勒级数的前n1项的和，又在U(x0)内有sn1(x)f(x)(n)．于是Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)．这就证明了条件是必要的．证明再证充分性．设R

n(x)0(n)对一切xU(x0)成立．

因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)sn1(x)R

n(x)，于是sn1(x)=f(x)R

n(x)f(x)(n)，即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛，并且收敛于f(x)．定理

设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n时的极限为零，即

在泰勒级数麦克劳林级数：此级数称为f(x)的麦克劳林级数．中取x00，得事实上，如果f(x)在点x00的某邻域(R,R)内有幂级数展式f(x)a0a1

x

a2

x2

···an

xn

···，那么必有f

(x)a12a2x3a3x2···nanxn1···，f(x)2!a23·2a3x···n·(n1)anxn2···，f

(x)3!a3···n·(n1)(n2)anxn3

···

···········f

(n)(x)

n!an

(n1)n(n1)···2an1x

···，把x=0代入以上各式，得

如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这种展式是唯一的，它一定与f(x)的麦克劳林级数一致．展开式的唯一性：

如果f(x)能展开成x的幂级数，那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数．但是，反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛，它却不一定收敛于f(x)．因此，如果f(x)在点x00处具有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来，但这个级数是否在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察．应注意的问题：

二、函数展开成幂级数第一步求f(x)，f(x)，···f(n)(x)···．第二步求f(0)，f(0)，···，(n)(0)

···第三步写出幂级数函数展开成幂级数的步骤：并求出收敛半径R．第四步考察当x在区间(R，R)内时余项的极限是否为零．如果为零，则在区间(R，R)内有

解因为f(n)(x)e

x(n1,2,···)，所以f(n)(0)1(n1,2,···)．于是得级数

例1

将函数f(x)ex

展开成x的幂级数．它的收敛半径R．对于任何有限的数x、x(x介于0与x之间)，有函数ex

的幂级数展开：例2

将函数f(x)sinx

展开成x的幂级数．函数sinx

的幂级数展开：环地取0，1，0，1···(n0,1,2,3,···)于是得级数它的收敛半径为R．对于任何有限的数x、x(