导数在经济学中的应用

导数在经济学中的应用第一页，共五十九页，2022年，8月28日

某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。一、经济学中的常见函数1.需求函数消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，例如，人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等。机动目录上页下页返回结束第二页，共五十九页，2022年，8月28日如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量Q便是价格P的函数，记称f为需求函数，同时f（P）的反函数也称为需求函数。一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。第三页，共五十九页，2022年，8月28日人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数线性函数：，其中幂函数：，其中指数函数：，其中第四页，共五十九页，2022年，8月28日例1设某商品需求函数为讨论P=0

时的需求量和Q=0

时的价格。解：当P=0

时，Q=b，它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为b，b也就是市场对该商品的饱和需求量，也称为最大需求量。当Q=0

时，P=b/a，它表示当价格上涨到b/a时，没有人愿意购买该产品。第五页，共五十九页，2022年，8月28日2.供给函数

某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的商品量。

供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q便是价格P的函数，设称为供给函数。第六页，共五十九页，2022年，8月28日一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数线性函数：，其中幂函数：，其中指数函数：，其中第七页，共五十九页，2022年，8月28日使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。例2.已知某商品的需求函数和供给函数分别为求该商品均衡价格。解：由供需均衡条件，有由此，得均衡价格第八页，共五十九页，2022年，8月28日3.生产函数生产函数表示了一定的时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。例3.

在电力输送过程中，如果用x表示能量输入，则能量输出为y=f(x)，其中这里c>0

为容量参数。第九页，共五十九页，2022年，8月28日规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？例：设投入x与产出g(x)的关系为由于，可见，当时，规模报酬不变；当时，如果投入增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减；当时，如果投入增加一倍，产量增加超过一倍，即规模报酬递增。第十页，共五十九页，2022年，8月28日4.成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额。成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。第十一页，共五十九页，2022年，8月28日例4.设某厂的生产函数，其中L表示劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本函数解：由，得，这样即可变成本函数第十二页，共五十九页，2022年，8月28日5.收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用Q表示出售的产品数量，R

表示总收益，表示平均收益，则如果产品的价格P

保持不变，则第十三页，共五十九页，2022年，8月28日6.利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即例6.已知某产品价格为P，需求函数为成本函数为，求产量Q

为多少时利润L最大？最大利润是多少？解：由需求函数，可得于是，收益函数为第十四页，共五十九页，2022年，8月28日因此，时，最大利润为30。这样，利润函数为第十五页，共五十九页，2022年，8月28日7.库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品的总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分n

次进货，每次进货批量为，进货周期为假定每件物品的贮存单位时间费用为C1，每次进货费用为C2，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为。第十六页，共五十九页，2022年，8月28日在时间T内的总费用E为其中是贮存费，是进货费用。第十七页，共五十九页，2022年，8月28日8.戈珀兹（Gompertz）曲线戈珀兹曲线是指数函数在经济预测中，经常使用该曲线.当初始期发展期饱和期时，其图形如图所示第十八页，共五十九页，2022年，8月28日初始期发展期饱和期由图可见戈珀兹曲线当t>0且无限增大时，其无限与直线y=k

接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。第十九页，共五十九页，2022年，8月28日二、边际与弹性1.边际概念如果函数在处可导，则在内的平均变化率为；在处的瞬时变化率经济学中称它为在处的边际函数值。第二十页，共五十九页，2022年，8月28日设在点处，从改变一个单位时，的增量的准确值为，当改变量很小时，则由微分的应用知道，的近似值为当时，标志着x

由x0

减少一个单位。第二十一页，共五十九页，2022年，8月28日定义1设函数在处可导，则称导数的边际函数。为在x0处的值为边际函数值。即：当x=x0时，x改变一个单位，y改变个单位。第二十二页，共五十九页，2022年，8月28日例1解：第二十三页，共五十九页，2022年，8月28日（1）边际成本2.经济学中常见的边际函数（2）边际平均成本总成本函数的导数，称为边际成本。平均成本的导数，称为平均边际成本。第二十四页，共五十九页，2022年，8月28日一般说来，总成本等于固定成本与可变成本之和，即于是，边际成本为显然，边际成本与固定成本无关。第二十五页，共五十九页，2022年，8月28日例2.设某产品生产Q单位的总成本为求：（1）生产900个单位时的总成本和平均成本；（2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；（3）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。第二十六页，共五十九页，2022年，8月28日总成本函数：解：（1）生产900个单位时的总成本为平均成本为第二十七页，共五十九页，2022年，8月28日

（2）生产900个单位到1000时总成本的平均变化率为总成本函数：解：第二十八页，共五十九页，2022年，8月28日总成本函数：解：

（3）边际成本函数当Q=900时的边际成本为它表示当产量为900

个单位时，再增加一个单位，需增加成本1.5个单位。（或减少）（或减少）第二十九页，共五十九页，2022年，8月28日（3）边际收益定义：总收益函数的导数称为边际收益函数。设P为价格，，因此第三十页，共五十九页，2022年，8月28日解：总收益为销售15个单位时，总收益平均收益第三十一页，共五十九页，2022年，8月28日边际收益当销售量从15个单位到20个单位时的平均变化率为例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为，其中为需求量，为价格，且最大需求量为6，求该商品的收益函数和边际函数。第三十二页，共五十九页，2022年，8月28日解：（4）边际利润定义：边际利润表示：若已经生产了Q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．收益函数边际收益函数总利润函数的导数称为边际利润。第三十三页，共五十九页，2022年，8月28日一般情况下，总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差。即则边际利润为显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定，时，第三十四页，共五十九页，2022年，8月28日例5.某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后得出总利润（元）与每月产量（吨）的关系为，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。解：边际利润函数为第三十五页，共五十九页，2022年，8月28日上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.边际利润第三十六页，共五十九页，2022年，8月28日（5）边际需求定义若是需求函数，则需求量对价格的导数称为边际需求函数。的反函数是价格函数，价格对需求的导数称为边际价格函数。由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格函数互为倒数，即第三十七页，共五十九页，2022年，8月28日解：它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.当时的边际需求为第三十八页，共五十九页，2022年，8月28日定义3.弹性概念设函数在点处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从到两点间的平均相对变化率，或称两点间的弹性。注意：两点间的弹性是有方向性的。第三十九页，共五十九页，2022年，8月28日记作，或即第四十页，共五十九页，2022年，8月28日弹性函数的定义对一般的，若可导且，则有是的函数，称为的弹性函数（简称弹性）函数在点处的弹性反映了的变化幅度对变化幅度的大小的影响，也就是对变化反应的强烈程度或灵敏度。第四十一页，共五十九页，2022年，8月28日表示在点处，当产生1%的改变时，近似地改变。由弹性的定义边际函数平均函数弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。第四十二页，共五十九页，2022年，8月28日常见函数的弹性（a,b,c,为常数）（1）常数函数的弹性（2）线性函数的弹性（3）幂函数的弹性第四十三页，共五十九页，2022年，8月28日常见函数的弹性（a,b,c,为常数）（4）指数函数的弹性（5）对数函数的弹性（6）三角函数的弹性，第四十四页，共五十九页，2022年，8月28日弹性的四则运算第四十五页，共五十九页，2022年，8月28日函数弹性的图解方案对于给定的函数的几何意义知（如图所示），由边际函数又平均函数为则注：常用符号表示需求的价格弹性的绝对值第四十六页，共五十九页，2022年，8月28日1.需求的价格弹性

需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为三、经济学中常见的弹性函数解：例1某需求曲线为，求P=20时的弹性。，当P=20时，Q=1000，所以第四十七页，共五十九页，2022年，8月28日几种特殊的价格弹性从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：（1）需求的价格弹性等于0。也就是说，这种商品完全没有弹性，不管价格如何变，其需求量都不会发生变化。这种商品的需求曲线的图形是一条垂直的直线。第四十八页，共五十九页，2022年，8月28日（2）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提高一点点，就可能一个也卖不掉。这种商品的需求曲线为一条水平的直线。在这市场里，不同企业的产品是同质的，价格由市场供需关系所决定；第四十九页，共五十九页，2022年，8月28日（3）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为1，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化。这种商品的需求曲线是一条双曲线，其方程为P×Q=K。例如，当一个人从每月的工资中拿出一定数量的钱，如100元，购买书时，其个人对书的需求曲线就是一条双曲线；第五十页，共五十九页，2022年，8月28日（4）需求曲线是一条倾斜的直线（如图）。这里需求曲线的各点的弹性都是变化的。在其上端点（A），；在其上端点（B），需求曲线的中点（M），需求曲线的AM部分，，称之为弹性需求；需求曲线的MB部分，，称之为非弹性需求。第五十一页，共五十九页，2022年，8月28日例9.设某产品的需求函数为，，其中P为价格，Q

为需求量：（1）当P=10，且价格上涨1%时，需求量Q是增加还是减少，变化百分之几？（2）讨论商品价格变化时，需求量变化的情况。解：（1）需求弹性故第五十二页，共五十九页，2022年，8月28日由于P和Q是按相反方向变化的，在P=10，且价格上涨1%时需求量Q则减少（2）当，即时，因，故，即。因而当价格P在0与25之间变化，且上涨（下降）1%时，需求量减少（增加），小于价格上涨（下降）的百分比（因）；第五十三页，共五十九页，2022年，8月28日当，即，得这表明P=25时，需求量的变动与价格变动按相同的百分比进行；