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北师大版九年级数学上第1章《特殊平行四边形》单元试题(100分钟,120分)一、选择题1.下列给出的条件中,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AB∥CD,AD=BC B.∠A=∠C,∠B=∠D C.AB∥CD,AD∥BC D.AB=CD,AD=BC2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若BD、AC的和为18cm,CD:DA=2:3,△AOB的周长为13cm,那么BC的长是()A.6cm B.9cm C.3cm D.12cm3.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于()A.50° B.55° C.60° D.65°4.给出以下三个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③对角线互相垂直的矩形是正方形;④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中真命题的是()A.③ B.①② C.②③ D.③④5.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是()A.3 B.4 C.5 D.76.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长为()A.6cm和9cm B.5cm和10cm C.4cm和11cm D.7cm和8cm7.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要添加的条件是()A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD8.如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为何?()A.8 B.9 C.11 D.129.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′,边B′C′与DC交于点O,则四边形AB′OD的周长是()A.2 B.3 C. D.1+10.如图,正方形ABCD的面积为4,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()A.2 B.3 C. D.二、填空题11.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形.12.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是3cm【解答】解:∵菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,∴它的面积是:×2×3=3(cm2).13.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是45°.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵等边三角形ADE,∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°,AB=AE,∠AEB=∠ABE=(180°﹣∠BAE)÷2=15°,∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°,故答案为:45°.14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∴∠AOD=90°,∵AB+BC+CD+DA=28,∴AD=7,∵H为AD边中点,∴OH=AD=;15.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为5.【解答】解:过E作EM⊥AB于M,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∴EM=AD,BM=CE,∵△ABE的面积为8,∴×AB×EM=8,解得:EM=4,即AD=DC=BC=AB=4,∵CE=3,由勾股定理得:BE===5,三、解答题(15题12分,16题12分,17题16分)16.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,求△AEF的周长。【解答】解:在Rt△ABC中,AC==10cm,∵点E、F分别是AO、AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,EF=OD=BD=AC=cm,AF=AD=BC=4cm,AE=AO=AC=cm,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.17.(2023•聊城)如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.求证:四边形BECD是矩形.【解答】证明:∵AB=BC,BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,AD=CD.∵四边形ABED是平行四边形,∴BE∥AD,BE=AD,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形.∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴▱BECD是矩形.18.(2023春•历下区期末)已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)求CF的长;(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.【解答】(1)证明:如图1,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(SAS);(2)证明:如图1,∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的对角线,∴∠EBC=∠DBC=°,由(1)知△BCE≌△DCF,∴∠EBC=∠FDC=°(全等三角形的对应角相等);∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),∴∠BGF=90°;在△DBG和△FBG中,,∴△DBG≌△FBG(ASA),∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),∵BD==,∴BF=,∴CF=BF﹣BC=﹣1;(3)解:如图2,∵CF=﹣1,BH=CF∴BH=﹣1,①当BH=BP时,则BP=﹣1,∵∠PBC=45°,设P(x,x),∴2x2=(﹣1)2,解得x=1﹣或﹣1+,∴P(1﹣,1﹣)或(﹣1+,﹣1+);②当BH=HP时,则HP=PB=﹣1,∵∠ABD=45°,∴△PBH是等腰直角三角形,∴P(﹣1,﹣1);③当PH=PB时,∵∠ABD=45°,∴△PBH是等腰直角三角形,∴P(,),19.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.(1)证明:PC=PE;(2)求∠CPE的度数;(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∵PA=PE,∴PC=PE;(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,即∠CPF=∠EDF=90°;(3)在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°,在△ABP和△CBP中,,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP
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