2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.3直线与平面垂直的性质5作业含解析新人教版必修220220226149

PAGEPAGE4第1课时直线与平面、平面与平面垂直的性质一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为()①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析：选C①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正确，由线面垂直的定义可知其正确．故正确的有3个．2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条 B．1条C．无数条 D．任意条解析：选C可构造图形，若a∥α，a′⊂α，且a′∥a，则在平面α内有无数条直线垂直于a′，故平面α内有无数条直线垂直于直线a.3．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：选D如图所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，故选D.5．线段AB的两端在直二面角α­l­β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：选B过B作l的平行线，过A′作l的垂线，两线交于点C，连接AC，则∠ABC即为异面直线AB与l所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝eq\f(1,2)AB，BB′＝A′C＝eq\f(1,2)AB，AB′＝eq\f(\r(3),2)AB，所以A′B′＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，AC＝eq\f(\r(2),2)AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，则∠ABC＝45°.二、填空题6．一条与平面α相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm,3cm，这条线段与平面α所成的角是________．解析：如图：作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.答案：30°7.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l⊂α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.答案：平行8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E，连接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.连接CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.答案：7三、解答题9.如图：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥C—PBD的体积．解：(1)证明：连接AC，如图所示，则F是AC的中点，又E为PC的中点，∴EF∥PA.又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中点N，连接PN，如图所示．∵PA＝PD，∴PN⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊂平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，即PN是三棱锥P－BCD的高．又∵PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(2),2)a，∴PN＝