“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试文科数学试题含答案

20222023文科数学:150分单选题（5分*12）1.𝑀={𝑈A.1∉𝑈

𝑀=则( )B.2∈𝑈 C.3∉𝑈 D.4∉𝑈2.设复𝑧满𝑧=̅，则|=( )2A.2

3 C.1 1B.D.2 2B.D.3.函数𝑓(𝑥)=𝑥3+|𝑥|的零点共( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已𝑐𝑜𝑠𝛼=1，𝛼为第四象限角，𝑠𝑖𝑛𝛼=( )3−±. 2√23−±C. √23

B. 3D.√2±3±5.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1

𝐵𝐶11

𝐷中，𝐸，𝐹分別为𝐵𝐶，𝐶111

𝐷的中点，( )1A.𝐴𝐹⊥𝐸𝐷1

B.𝐸𝐹⊥𝐶𝐴1C.𝐴1

𝐹⊥𝐵𝐹

D.𝐴1

𝐹⊥𝐸𝐷16.已知函𝑓(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛2𝑥，下列说法正确的( A.𝑓(𝑥)的最小正周期2𝜋B.𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=

𝜋对称12)C.𝑓(𝑥)(0𝜋)2

上单调递增D.𝑓(𝑥)的图象可由𝑦=2𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象向左平移𝜋12

个单位得到7.已⃗⃗⃗均为单位向量且满⃗∙⃗=⃗∙⃗命⃗∙⃗=⃗∙⃗命⃗∙⃗=⃗∙，则下列命题恒为真命题的( )A.¬𝑝∨𝑞C.𝑝∧𝑞

B.𝑝∨𝑞D.¬𝑝∧¬𝑞8.1𝑡𝑎𝑛2(𝜋+𝛼)+𝑠𝑖𝑛2(5𝜋

+𝛼)的最小值( )9 25 1 1A. B. C.9 3 4

D.09.已知一个定义在𝐑上的奇函数𝑓(𝑥)，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥−1+𝑙𝑛𝑥，则不等式𝑥𝑓(𝑥)>0的解集为( )A.(−∞，−1)∪∪(1，+∞)

B.(−1，0)∪(0，1)D.(−∞，−1)∪(1，+∞)14001400是否有带智能手个.1400人回答否”“”.“()A.8 B.20 C.148 D.247()√34C.3√24设

√1−𝑐𝑜𝑠50∘

√64D.3√64𝑠𝑖𝑛50∘ 1

√3 ，则( )𝑎=A.𝑎<𝑐<C.𝑎<𝑏<𝑐

2 =1+𝑐𝑜𝑠50∘=2𝑐𝑜𝑠6∘−B.𝑐<𝑎<𝑏D.，𝑎<𝑐<𝑎

2𝑠𝑖𝑛6∘填空题（5分*4）

2𝑥，𝑥<0，已知函𝑓(𝑥)={ 𝑓(𝑓(𝑙𝑜𝑔12)) = .𝑥2，𝑥⩾0， 414.函𝑓(𝑥)=𝑙𝑛(𝑥−1)+的一条过原点的切线方程.15.设𝐹是抛物线𝐶：𝑦2=4𝑥𝐴在抛物线𝐶𝐵(3，0)，若|𝐴𝐹|=2|𝐵𝐹|，则|𝐴𝐵|= .16.△𝐶𝑂𝐴𝐵𝐶

1

8 𝑏=4.则△𝐴𝐵𝐶面积的最大值.

∙𝐵𝐶=2

−5𝑐)解答题部分17.（12分）𝑛

}前𝑛项和为𝑆𝑛

𝑛

+𝑛2=2𝑛𝑎𝑛

+𝑛.}为等差数列；𝑛(2)若𝑎 =1，𝑇为数

的𝑛项积，证明1<2.1 𝑛 𝑛

𝑘=1𝑇𝑘18.（12分△𝐴𝐵𝐶=2𝑠𝑖𝑛2𝐵，2𝑠𝑖𝑛2𝐴+2𝑠𝑖𝑛2𝐶=5𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶.(1)求𝐵；(2)若𝐴>𝐶，𝑏=√3，求𝐴.19.（12分）在三棱锥𝐶−𝐴𝐵𝐷中，平面𝐵𝐴𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐷𝐶=90∘，𝐸是𝐵𝐶的中点.(1)证明：𝐴𝐵⊥𝐴𝐶；(2)若𝐶𝐷=√6𝐴𝐷=√3𝐴𝐵=√6，求点𝐸到平面𝐴𝐶𝐷的距离.𝑥20.（12分）𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥+𝑒−1+𝑎(𝑥>).𝑥(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性；𝑓(𝑥).21.（12分）设椭𝐶：𝑥2+𝑦2=1 (𝑎>𝑏>0)，右焦𝐹(𝑐，0)，短轴长为2，直

𝑎2与𝑥𝑎2

𝑏2

𝑥=𝑐轴的交点到右焦点的距离为√3.3(1)求𝐶的方程；(2)点𝑃(1，0)，𝐴，𝐵均在𝐶上，且满足𝑃𝐴⊥𝑃𝐵，𝑃𝐴=𝑃𝐵，若𝐴𝐵与𝑥轴交点为𝑄，求满足条件的点𝑄的坐标.选考题22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程是{

𝑥=2+𝑐𝑜𝑠𝜃，(𝜃为参数)，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点均𝑦=𝑠𝑖𝑛𝜃，在𝐶上，且𝐴，𝐵，𝐶，𝐷依逆时针次序排列，点𝐴(3，0).(1)求𝐶的普通方程及点𝐵，𝐶，𝐷的坐标；(2)设𝑃为𝐶上任意一点，求|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2+|𝑃𝐶|2+|𝑃𝐷|2的最小值.23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]已知𝑎，𝑏，𝑐为正实数，𝑎2+𝑏2+𝑐=1.(1)求证：𝑎+𝑏+√𝑐⩽√3；(2)求证：𝑎𝑏𝑐⩽1.8答案B【解析】由题意，得𝑈={1，2，3，4，5}.C【解析】由题意，得𝑧=−1.则|𝑧|=1.C【解析】当𝑥>0时𝑓(𝑥)=0无解；当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥=𝑥(𝑥+1)(𝑥−1)=0有解𝑥 =1

=−1.综上，函数𝑓(𝑥)有2个零点.A【解析】∵𝛼为第四象限，∴𝑠𝑖𝑛𝛼<0，3∴𝑠𝑖𝑛𝛼=−√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼=−2√2.3D【解析】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则

⃗∙

4

⃗∙

4⃗⃗=3⃗⃗ 0.故𝐴1

1 1 1 1 1𝐹⊥𝐸𝐷.1D【解析】3)𝑓(𝑥)=−2𝑠𝑖𝑛(2𝑥−3)

，(𝑘∈𝑍)⇒𝑇=2𝜋=𝜋，故𝐴选项错误；23 2 12 令2𝑥−𝜋=𝜋+𝑘𝜋，(𝑘∈𝑍)⇒𝑥=5𝜋+𝑘𝜋，(𝑘∈𝑍)23 2 12 ∵此时对应的𝑘不为整数，∴直线𝑥=

𝜋不为其对称轴，故选项错误；𝐵12𝐵12(05𝜋)𝑓(𝑥)𝐶选项错误；12𝜋将𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠2𝑥的图象向左移个单位得12𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋

𝜋 𝜋=2𝑠𝑖𝑛[ −(2𝑥+6)

6)]3 =2𝑠𝑖𝑛(𝜋3

.故D.B【解析】⃗⃗⃗𝑞𝑝∨𝑞.A【解析】原式=( 1

−1 +𝑐𝑜𝑠2𝛼≥2√ 1

∙𝑐𝑜𝑠2𝛼−1=5.9𝑐𝑜𝑠2𝛼 9)

9𝑐𝑜𝑠2𝛼 9 9D【解析】𝑥由题意，得𝑓′(𝑥)=1+1>0.则𝑓(𝑥)单调递增.𝑥又𝑓(1)=0∴当𝑓(𝑥)<时，𝑥∈(当𝑓(𝑥)>0时，𝑥∈(.∴𝑥>时，𝑥𝑓(𝑥)>(1+∞).又𝑓(𝑥)为奇函数，∴𝑥𝑓(𝑥)为偶函数，∴𝑥𝑓(𝑥)>(−∞−1+∞).B【解析】理想情况下，1400人分为1400∙3=840(人)和1400∙2=560(人)，5 5840人中将有420人回答“否”，则560人中有972−420=552(人)回答“否”，8人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占1，70701400170

=20(人).C【解析】如图为单位正四面体𝐴−𝐵𝐶𝐷.过点𝐴作面𝐵𝐶𝐷的垂线交面于点𝐸，𝐹为外接球球心，则𝐸为△𝐵𝐶𝐷的中心，𝐵𝐸=√3，∴𝐴𝐸=√6.3 3不妨设𝐴𝐹=𝑅.在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中，由勾股定理，得√6 2 √32

.解得

√6.34∴4

−𝑅 + 3

=𝑅2

𝑅=4B【解析】𝑎

√𝑐𝑜𝑠225∘+𝑠𝑖𝑛225∘−𝑐𝑜𝑠225∘+𝑠𝑖𝑛225∘22𝑠𝑖𝑛25∘𝑐𝑜𝑠25∘

=𝑠𝑖𝑛25∘，𝑏=2 ∘ 2 ∘

2 ∘ 2

∘=𝑡𝑎𝑛25∘，𝑐𝑜𝑠

25+𝑠𝑖𝑛25+𝑐𝑜𝑠

25−𝑠𝑖𝑛25𝑐=𝑠𝑖𝑛30∘−6∘ =𝑠𝑖𝑛24∘，2∵在02

上𝑡𝑎𝑛𝑥=

𝑠𝑖𝑛𝑥

>𝑠𝑖𝑛𝑥⇒𝑏>𝑎，0在，𝜋20

上𝑠𝑖𝑛𝑥单调递增⇒𝑎>𝑐，∴𝑐<𝑎<𝑏.12

【解析】=222原式=𝑓𝑓 − 1 =𝑓 √2 =222𝑦=𝑥【解析】由题意，𝑓′𝑥 =

1 ⇒𝑓𝑥

的切线方程为𝑦=

1 𝑥− 𝑥0 +𝑙𝑛𝑥 −1+>0𝑥−1

𝑥0−1 𝑥0−1 0 0当𝑥0

=时，此直线过原点，故函𝑓𝑥 过原点的一条切线方程𝑦=𝑥.

【解析】由题意，得|𝐵𝐹|=2.∴|𝐴𝐹|=4，∴点𝐴到抛物线准线的距离为4.∵抛物线的准线方程为𝑥=−1，∴或(3−2√3)，∴|𝐴𝐵|=2√3.12【解析】设𝐵𝐶的中点为𝑀，则𝑂𝑀⊥𝐵𝐶.∴∙

⃗=+⃗∙

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1

1(𝑏2−𝑐2)=𝐴𝑀∙𝐵𝐶=2(𝐴𝐵+𝐴𝐶)(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 8∵𝐴𝑂∙𝐵𝐶=2𝑎(𝑎−5𝑐)1 1 8∴2(𝑏2−𝑐2)=2𝑎(𝑎−5𝑐)∴𝑐𝑜𝑠𝐵=4，5∴𝑠𝑖𝑛𝐵=35，8 8 2，∴16=𝑏2=𝑎2+𝑐2−5𝑎𝑐≥2𝑎𝑐−5𝑎𝑐=5𝑎𝑐∴𝑎𝑐≤40，证明：

1∴𝑆=2𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵≤12.2𝑆𝑛

=2𝑛𝑎𝑛

+𝑛−𝑛2.则2𝑆𝑛−1

=2(𝑛−

𝑛−1

+𝑛−1−(𝑛−1)2.两式相减，(2𝑛−2)𝑎 −(2𝑛−2)𝑎 =2𝑛−≥∈𝑁∗，𝑛 𝑛−1即𝑎𝑛

−𝑎𝑛−1

=1，𝑛≥2，𝑛∈𝑁∗，∴{𝑎𝑛

}是等差数列.(2)∵

1= 1 ≤ 1 ，𝑇𝑛 𝑛！2𝑛−1∴∑𝑛 1≤∑𝑛

1 =2(1

1)<2.𝑘=1𝑇𝑘

𝑘=12𝑖−1

2𝑛(1)𝐵=𝜋.(2)𝐴=𝜋.3 2【解析】=(1)由题意，得3𝑎𝑐=2𝑏2，2𝑎2+2𝑐2=5𝑎𝑐.=∴𝑐𝑜𝑠𝐵3∴𝐵=𝜋.3

𝑎2+𝑐2−𝑏2 2𝑎𝑐 2(2)将𝑏=√3代入(1)中两式，得𝑎𝑐=2，2𝑎2+2𝑐2=5𝑎𝑐.∴𝑎𝑐=2，(2𝑎−𝑐)(𝑎−2𝑐)=0.当2𝑎=𝑐时，解得𝑎=1，𝑐=2；当𝑎=2𝑐时，解得𝑐=1，𝑎=2.又𝐴>𝐶，∴𝑎>𝑐，∴𝑎=2，𝑐=1.∴𝑐𝑜𝑠𝐴2∴𝐴=𝜋.2

𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐

=0，(1)证明：由题意，面𝐵𝐴𝐷⊥ 面𝐵𝐶𝐷面𝐵𝐴𝐷∩ 面𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷}⇒𝐶𝐷⊥面𝐵𝐴𝐷⇒𝐶𝐷⊥𝐵𝐴.𝐶𝐷⊥𝐵𝐷,𝐶𝐷⊂𝐵𝐶𝐷又𝐵𝐴⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷∩𝐵𝐴=𝐴，∴𝐵𝐴⊥面𝐶𝐷𝐴∴𝐴𝐵⊥𝐴𝐶.𝐸𝐴𝐶𝐷到𝐴𝐶𝐷.∵𝐶𝐷=√6𝐴𝐷=√3𝐴𝐵=√6，∴𝐴𝐵=√2∴点𝐸到𝐴𝐶𝐷的距离为0+𝐴𝐵=√2.2 2(1)由题意，得𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1−

𝑒−1

2(𝑒−1)， (𝑥>0) 𝑓′′(𝑥)=𝑒𝑥+ >， 𝑥2 𝑥3又𝑓′(1)=0，∴在上，𝑓′(𝑥)<0(1上，𝑓′(𝑥)>0，∴𝑓(𝑥)在+∞).(2)由(1)的结论不妨有0<𝑥1

<1<𝑥2

，𝑥𝑥12

<1⇔𝑥2

<1.𝑥1又𝑥，2

1均∈(1+∞)，𝑥1只需证𝑓(𝑥)<𝑓(1)⇔𝑓(𝑥)<𝑓(1)，𝑥

∈(0，1).2 𝑥1 1 𝑥1 1构造函𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓 1

1 𝑒𝑥

，𝑥∈(0，1).(𝑥)=𝑒 −𝑒𝑥+𝑥−𝑒𝑥1 2 𝑥 1则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒𝑥−𝑒−𝑒=𝑥(𝑒−𝑒)+𝑒𝑥−𝑒𝑥2 𝑥2 𝑥2𝑥 1

√𝑥+1

2√𝑒2−2𝑒≥

−𝑒+𝑒𝑥−𝑒≥2𝑒

𝑥−2𝑒≥ =0，𝑥2

𝑥2

𝑥2当𝑥1故𝑔′(𝑥)>0⇒𝑔(𝑥)<𝑔(1)=0，说明

)<𝑓(1)，𝑥

∈(0，1)恒成立，结论得证.(1)𝑥24

1+𝑦2

𝑥1 1=1.((2)符合条件的点𝑄的坐标有(0，0)或(8，0)或12，0).(5 5【解析】(1)由题意，得𝑏=1

，𝑎2𝑐

−𝑐

𝑎2−𝑐2𝑐

𝑏2𝑐3=√3⇒𝑐=√3⇒𝑎2=𝑏2+𝑐2=4.3𝑥2即椭𝐶的方程为 +4

=1.(2)当𝐴𝐵//𝑥轴时，此时点𝑄不存在；当𝐴𝐵不平行𝑥轴时，不妨设𝐴𝐵：𝑥=𝑚𝑦+𝑡，𝑄(𝑡，0).联立直线𝐴𝐵和椭圆C的方程，得(𝑚2+4)𝑦2+2𝑚𝑡𝑦+𝑡2−4=0.则Δ=16(𝑚2+4−𝑡2)>0⇒𝑡2<𝑚2+4.由韦达定理，得𝑦1

+𝑦2

=−2𝑚𝑡.𝑚2+4设𝐴𝐵的中点为𝑀，则𝑃𝑀⊥𝐴𝐵,2𝑑<𝑃,𝐴𝐵>=|𝐴𝐵|.√16(𝑚2+4−𝑡2)∴2|1−𝑡|√𝑚2+1

=√𝑚2+1

.|𝑚2+4|结合直线𝐴𝐵和𝑦

+

，得𝑀(

4𝑡

−𝑚𝑡).1 2 𝑚2+4 𝑚2+4∴𝑃𝑀⊥𝐴𝐵⇒𝑦𝑃−𝑦𝑀=−𝑚，𝑥𝑃−𝑥𝑀即 𝑚𝑡𝑚

=−𝑚.3若𝑚≠0，则𝑡=𝑚2+4，3𝑚2+4

2|1−𝑡|

√ √16(𝑚2+4−𝑡2)

16.将𝑡=

代入 =3 √𝑚2+1