【创新方案】高考数学 第五章第五节 数列的综合应用 A

1．已知数列{an}是一个递增数列，满足an∈N*，aan＝2n＋1，则a4的值等于(

)A．8

B．7C．6D．4解析：根据题意，≥a1，又＝3，若a1＝1，则与＝a1＝3矛盾，若a1＝3，则＝3＝a3，不符合题意，故a1＝2.a2＝＝3，a3＝＝5，a5＝＝7，而数列{an}是一个递增数列，且an∈N*，故a4＝6.答案：C答案：A答案：

C4．已知数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n(n∈N*)，则a9＋a10的值为________．答案：485．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…叫做三角数，它们有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为________．解析：令a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，则an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，所以a30－a29＝30，a29－a28＝29，所以第30个三角数与第28个三角数的差为a30－a28＝59.答案：591．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．(2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图：2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.考点一等差、等比数列的综合问题若将“S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列”改为“Sn＝2an－1，n∈N*”．

如何求解？解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为2的等比数列，∴数列{an}的通项公式是an＝2n－1.设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数列，求{an}和{bn}的通项公式．解：由已知a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝－1－(－2)＝1，∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d＝－2＋(n－1)×1＝n－3，即an－an－1＝n－4(n≥2)．故an－an－1＝n－4，某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．考点二数列的实际应用[自主解答]

(1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a.∴该林场第6年植树的面积为80a亩．答：该林场第6年植树的面积为80a亩．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．依题意有Sn＋T30－n＝8670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2445n－14850)＝8670.化简整理得n2－61n＋588＝0，所以n＝12，n＝49，又1≤n≤30，所以n＝12.所以第12日的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570，所以11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天新患者人数为570人．考点三数列与函数、不等式的综合问题考点四(理)数列与解析几何的综合问题已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*)．以数列为背景的不等式的证明问题以及以函数为背景的数列构造问题一直是高考对本节内容的考点，其中等差数列与等比数列的交汇问题，数列与函数、不等式交汇问题是高考的一种重要考向．[规范解答]

(1)由题设，可得a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*，所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．……………(2分)由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，1．解决数列综合问题应注意的问题(1)对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决相应问题．(2)在解决数列知识与其他数学知识综合的问题中，应注意思维角度与解题途径的选择．从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化、联系制约的观点解决数列综合问题．其解题策略可借助于常见函数的性质，也可借助于研究函数性质的常用方法．2．解决数列应用题应注意的问题(1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列等等)，应首先建立数列的通项公式．(2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an－1的关系)．(3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”．答案：C答案：C3．已知数列an＝2n(n∈N*)，把数列

{an}的各项排列成如图所示的三

角形数阵．记M(s，t)表示该数