图形与几何-黄晓学

“图形与几何”内容解析

主讲：江苏师范大学黄晓学

本专题的学习目标为：1．把握“图形与几何”内容新变化．2．体会“图形与几何”教学三策略．3．如何显化数学思想．4．如何教好初中数学．【学习目标】新版数学课程标准基本框架2012年1月，教育部正式颁布《义务教育数学课程标准（2011版）》（简称《标准》）。

《标准》由4个本体部分和2个附录组成。前言：课程性质、基本理念和设计思路课程目标：总体目标和学段目标课程内容：数与代数；图形与几何；统计与概率；综合与实践实施建议：教学、评价、教材、资源开发附录1：有关行为动词的分类附录2：课程内容与实施中的实例人人学有价值的数学人人都能获得必需的数学不同的人在数学上得到不同的发展人人都能获得良好的数学教育不同的人在数学上得到不同的发展

树立正确的课程观《标准》的核心理念《标准》的核心概念核心概念10个：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。与“图形与几何”密切相关的概念：“空间观念、几何直观、推理能力”数学课程目标总目标：获得四基、发展能力、培养科学态度学段目标：3个学段；4个方面（知识技能、数学思考、问题解决和情感态度）

图形与几何（三学段）：内容结构上略有调整（图形的性质、图形的运动、图形与坐标）（原来是图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）对基本事实规定更清晰（9条），不再使用“公理”这个词增强了“图形与几何”内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多样性“图形与几何”内容构成图形的性质点、线、面、角，相交线与平行线，三角形，四边形，圆，尺规作图，定义，命题，定理。图形的变化图形的轴对称，图形的旋转，图形的平移，图形的相似，图形的投影。图形与坐标坐标与图形位置，坐标与图形运动8“图形与几何”内容的变化（删除的内容）图形的认识所有关于梯形、等腰梯形的相关要求探索并了解圆与圆的位置关系所有关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和麦比乌斯带等图形的欣赏图形的变化关于镜面对称的要求9“图形与几何”内容的变化（增加的内容）必学部分会比较线段的大小，理解线段的和、差以及中点的意义；了解平行于同一条直线的的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；过一点作一知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆与内切圆；作圆的内接正四六边形选学部分了解平行线性质定理的证明；了解相似三角形判定定理的证明；探索并证明垂径定理；探索并证明切线长定理；了解圆周角及其推论的证明。10“图形与几何”内容的变化（改变的内容-图形的性质）（实验稿）（新版）1.通过丰富的实例进一步认识角理解角的概念2.了解补角、余角、对顶角的概念理解补角、余角、对顶角的概念3.知道等角的余角相等、补角相等、对顶角相等探索并掌握。。。的性质4.了解线段垂直平分线及其性质探索并证明线段垂直平分线的性质定理（。。。；反之，。。。）5.探索并掌握等腰三角形的性质探索并证明等腰三角形的性质定理6.探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件探索并证明等腰三角形的判定定理7.了解等边三角形的概念并探索其性质探索等边三角形的性质定理和判定定理8.体验勾股定理的探索过程探索勾股定理及其逆定理9.会用勾股定理解决简单问题能运用它们解决一些简单的实际问题10.了解切线的概念掌握切线的概念11“图形与几何”内容的变化（改变的内容-图形的变化）（实验稿）（新版）1.认识轴对称了解轴对称的概念2.能按要求做出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形，探索简单图形间的轴对称关系，并指出对称轴能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形3.认识旋转认识关于旋转中心的旋转4.了解平行四边形、圆是中心对称图形探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质5.探索形似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方了解相似多边形和相似比（增加了两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例这一基本事实）“图形与几何”内容变化分析原因分析试验区一线教师的意见和建议；关注数学课程改革的数学家和数学教育家的意见和建议因素分析与理念的契合程度；是否利于目标的实现；与学生的经验和实践的联系；学生对知识内容的接受能力；对学科本质以及核心思想的体现。特点分析：突出基本数学思想；不同的人得到不同的发展；重视发展学生的几何直观；适度增加几何推理和证明（9条基本事实）13基本事实1：两点确定一条直线。基本事实2：两点之间线段最短。基本事实3：过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。基本事实4：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。基本事实5：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。基本事实6：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。基本事实7：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。基本事实8：三边分别相等的两个三角形全等。基本事实9：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。基本事实9条*了解平行线性

质定理的证明

例证明两直线平行，同位角相等。这个证明可以利用反证法完成。如图15所示，我们希望证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”这个基本事实，可得A′B′∥CD。这样，过点O就有两条直线AB，A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是有∠1＝∠2。“图形与几何”数学教材基本模式《标准》意义下的数学教材特征：充分体现数学价值；准确体现《标准》要求；利于学生学习；内容出现体现过程性。数学教材基本结构章节结构：章题图引言+若干节+回顾与思考习题：节习题+章习题主题呈现模式：问题情境-建立模型-解释应用拓展学习活动体例：问题情境—探索归纳—随堂练习“图形与几何”教学实施要点空间观念、几何直观和推理能力是与“图形与几何”课程领域密切相关的核心概念空间观念：根据物体特征抽象出几何图形根据几何图形想象出实际物体；想象出物体的方位和相互位置之间的关系；描述图形的运动和变化；根据语言的描述画出图形。几何直观：利用图形描述和分析问题，侧重对非几何对象的处理推理能力：合情推理（用于发现）和演绎推理（用于证明），在推理时注重寻找合情的理由和合理的证明思路对几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。（2）《标准》中几何直观的含义

《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”。前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。几何直观的培养使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观重视变换——让图形动起来

几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转180度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。

学会从“数”与“形”两个角度认识数学数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手……，

n个人共握几次手？用归纳的方法探索规律，如下表:

人数握手次数规律

211331+2461+2+3………n1+2+3+…+(n-1)A1A2A3AN对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+…+(n-1)”这个规律并不容易，计算1+2+3+…+(n-1)得到

n（n-1）/2也有困难。但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n-1）条线段，因而n个点共可连接n（n-1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段AB与线段BA是同一条线段），所以共可连接

n（n-1）/2条线段。用“图形法”解决问题掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。培养几何直观的教学策略Proofswithoutwords三层次1）搜寻直观图2）重整直观图3）开发直观图4个平均值之间大小关系搜寻重整正余弦定理的引入问题塔高与仰角开发

（弧度制）弧度制（弧长、圆心角、半径三者关系）6个正数a,b,c,A,B,C,满足a+A=b+B=c+C=k,求证：aB+bC+cA<k2案例：让左右脑协调发展图解法1图解法2代数法1代数法2只要证明a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k2即，a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)>0事实上，令f(a)=a(b+c-k)+(k2+bc-bk-ck)有f(0)=(b-k)(c-k)>0f(k)=bc>0由于f(a)的图像是一条直线，所以当0<a<k时，恒有f(a)>0故原不等式成立提高学生几何推理能力核心概念之七：推理能力

此次《标准》提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。突出了合情推理与演绎推理二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

引导学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

三是强调推理能力的培养“应贯穿于整个数学学习过程中”。

其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程其三，它应贯穿于整个数学学习的环节也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展通过多样化的活动，培养学生的推理能力反思传统教学，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准》提出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，

”（总目标），“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）推理视频：归纳推理使学生多经历

“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。何为数学基本思想？

(抽象\推理\模型)德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯.劳厄：

“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命什么是数学学习中最本质的东西？波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”

数学思想方法数数形结合、抽象化的思想方法式抽象化、数形结合、运算归纳、类比、程序化、推理方程不等式模型、化归、类比函数运动与变化、模型、数形结合、关系与结构图形的性质结构化、构造、类比、数形结合比例结构化（分解与组合、等价）、类比证明推理图形的运动变化、模式、对称概率概括、模型统计数据分析、统计推断46

如何使数学思想从潜形态转变为显形态呢？

※分类

※化归

※归纳

渗透数学思想方法的教学策略在模仿与尝试中初步感受数形结合的思想在对比与运用中逐步深化认识数形结合思想在独立探索与合作交流中更好理解数形结合思想在解决问题过程中主动运用数形结合思想48丰富学生数学活动经验的教学基本活动经验：直接的活动经验（生活），间接的活动经验（创设构建），设计的活动经验（随机摸球）和思考的活动经验。如思考的活动经验，根据条件预测结果；根据特例概括一般规律；依据目标特征探究成因等。事后通过反思总结而得到获得经验。具有主体性、多样性、可错性、可发展性、双刃性丰富途径：让学生经历各种数学活动过程，如抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理。（做数学）活动方式：观察、试验、猜测、验证、推理与交流、模仿与练习、回顾与反思几何学习评价几何学习评价就是对学生的数学学习过程及其结果做出价值判断。（以课程目标和课程内容为依据，体现基本理念，全面评价学生的表现）主要目的：为了全面了解学生学习几何的全面历程，促进学生发展；提供反馈信息改善教师的教与学生的学侧重用几何的方式思考问题（方法论高度）；注意“延迟评价”（替换了推迟评价）和“网上评价”考试型学习评价试题特色分析：试题背景真实化，如，。。。能否在比赛开始前赶到体育馆问题？试题呈现多样化，如，。。。看不见的小正方体有多少个？试题设问层次化，如，。。。吧一个小正方形分割成n（n>=6）个小正方形问题试题求解开放化，如，。。。根据信息，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程试题编制设置数学活动过程，如，花园设计问题采用渐进式问题串，如，纸片拼图问题用较高思维水平的语言提问，如，求能否射进球门问题，解释理由？设置科学合理开放的评分标准，如设置承上分和误读分试卷合成构思：主要的考察目标、考核内容的主要领域；试卷的主要结构（题型结构、难度结构、分数结构）；设计供考生经历的主要数学活动非考试型评价1)表现性评价：通过实际任务来表现知识和技能成就的评价方式，如收集数学日记、对深思型学生在规定时间完不成答题任务的信息等2)成长记录袋：通过在记录袋中系统的选择和收集学生作品，评价学生展示进步。3)专题作业：不是以系统掌握知识维目的，而是以解决实际问题为目的，以培养和考查学生综合运用知识解决问题的能力、创新精神和实践能力。【学习内容】

本专题主要解决以下问题：问题1：转变观念？问题2：打好四基？问题3：学会思考？问题4：走向创造？

【问题1：转变观念】一、学习习惯二、数学观念三、思维方式一、学习习惯

自学习惯：预习-上课-整理-作业-总结思考习惯：数学的论理性强、抽象性强、应用性强，就需要在知识的理解上下功夫，要多思考多研究，搞清知识脉络。探究习惯：发问-审题-探索-表达-反思应用习惯：加强训练（实践中锻炼，反复锻炼）案例：思考是怎么开始的让我们看一个具体问题，假定你有三个容量不同的玻璃杯：3升、5升和8升，最大的杯子是盛满液体的。你的任务是设法使两个较大的杯子各装4升液体。试一试？从尝试错误到换个方法再试，这样便开始了对问题的思考解答：画个图（3，5，8）：（0，0，8）-（0，5，3）-（3，2，3）-（0，2，6）-（2，0，6）-（2，5，1）-（3，4，1）-（0，4，4）二、数学观念1.数学为什么难以理解（1）研究对象：数量关系与空间形式（2）研究方法：数学直觉与数学抽象学习数学需要的素质：

非常确切的记忆力异常敏锐的注意力非常理智的思维力（3）研究主线：发现问题与解决问题（1）研究对象数学研究的对象，是由对象组成的整个集合中任意选取的．当我们需要叙述一个有关整个集合中任意选取的对象的事实的时候,利用变量是方便的.如，三角形内角和四边形内角和

五边形内角和

…n边形内角和

n边形外角和“…”背后的规律是什么?变中不变的东西是什么?(1)第一个命题已知是真的(2)从第2个命题开始都能以同样的方式由前一个命题推出这是与正整数有关的数学命题的有效证明方法(高中学习的“数学归纳法”初始命题与随后的命题证明方法不同,必须给出这种细致的证明（2）研究方法数学直觉与数学抽象关系：直观与逻辑。顺序：直观-逻辑-直观形式：先猜想后证明如，图像的升降与函数的单调性（3）研究主线即发现问题、分析问题、解决问题、拓展问题．如,探寻(a+b)n展开式的系数规律第n行(a+b)n展开式的系数,它是按照a的递增的幂，b的递减的幂排列的。每行系数可以用高中学到的一组有序组合数：来表示证明可以用数学归纳法数学归纳法依据以下事实：（1）每个自然数都有后继（2）自然数可以从1开始2.理解性地学习数学（1）运用已有知识经验（2）注意新旧知识联系（3）通过解题深化认识（4）善于自我纠正错误

课题引入(1)三角形三边关系？三内角关系？(2)拼图法得出结论可靠吗？为什么导语：能否找出可靠地方式说明结论新知探求(1)实验反思(留足思考的机会和时间)(2)设想辅助线的添加方法(3)实验与设想结合给出证明巩固小结(1)直接应用(2)命题推广:4,5,…,n边形内角和(背后规律)小结:发现真理（实验与证明）；辅助线待研问题：外角和？边角关系？三角形内角和（正余弦定理的生长点）66三、思维方式1.数学的一般思维方式比较异同点分析与综合抽象与概括特殊与一般2.数学的特殊思维方式①化归原则；②先猜后证；③数学活动【问题2:打好四基】创造源自基础，基础孕育创造一、基础知识（“懂”）二、基本技能（“熟”）三、基本思想（“识”）四、基本经验（“巧”）一、基础知识（懂）

懂：透彻理解知识，从薄到厚，融会贯通如，相似比例—全等（平移旋转反射）—圆（旋转）

—相似—锐角三角函数（正切等）

—直线的斜率—导数—圆幂定理二、基本技能（熟）熟：基本技能的自动化、程序化这里的熟也包括广义的基础知识、基本技能、基本精神和基本原理的熟。非常确切的记忆力三、基本思想（识）1.自己的数学认识如，看到(n+1)2-n2=2n+1你发现了什么？2.高中数学基本思想（几何直观、函数思想、算法思想、随机思想）3.应用基本思想四、基本经验（巧）掌握数学精神和基本原理并能灵