【公开课】任意角+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角第五章

§5.1任意角和弧度制了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。课程标准学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角

所组成的集合.(重点)3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题.(难点)引入引语：现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.例如：地球自转地球与太阳公转月亮圆缺潮汐变化运动员的翻滚动作也可以看做周期运动，视频中出现了那些角？开场直体720°，后直540°接前团1080°，360°成翻滚……旋转方向和旋转量

刻画这些角的关键是什么？从这个实例可以看出0°～360°的角度已经不在适用，需要进行扩充类比实数的学习，角的范围我们可以怎样扩充?

分类：角正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”1、任意角2、角的运算类似于实数a的相反数是-a，我们引入任意角α的相反角的概念.1、相等的两个角如何规定？3、类比相反数，怎么定义相反角？角的减法也可以变成加法吗2、两角相加又如何规定的？类比实数的运算，思考下列问题①相等角：旋转方向相同，旋转量相同②角的加法：OBAC③相反角：旋转方向相反，旋转量相同COBA50°－80°=50°+(－80°)④（减法变加法）

例一：如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝

.∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.为了进一步研究角，我们需要在直角坐标系内讨论角3.象限角角的顶点与坐标原点重合角的始边与x轴的非负半轴重合.如果角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何一个象限.yxO角的终边角的始边角的终边落在第几象限就是第几象限角轴线角xyo始边

终边

终边终边终边

(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；(2)每一个象限都有正角和负角，无法比较哪一个象限角的大小.注意点：

例二：(多选)下列结论正确的有A.－75°是第一象限角

B.225°是第三象限角C.475°是第二象限角

D.－315°是第四象限角√√因为－90°<－75°<0°，所以－75°是第四象限角；因为180°<225°<270°，所以225°是第三象限角；因为360°＋90°<475°<360°＋180°，所以475°是第二象限角；因为－360°<－315°<－270°，所以－315°是第一象限角.所以B，C正确.思考给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如-30°角的终边和-390°角的终边相同，它们正好相差了360°.｛β︱β=-30°＋k·360°,k∈Z｝归纳:

与

-30°角终边相同的角4.终边相同的角用集合表示终边与45o相同的角轴线角终边与x轴负半轴重合的角终边与y轴正半轴重合的角终边与y轴负半轴重合的角终边与x轴正半轴重合的角终边与x轴重合的角终边与y轴重合的角

例三

：

在与2110°角终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角；与2110°终边相同的角的集合为{β|β＝2110°＋k·360°，k∈Z}，由－360°<2110°＋k·360°<0°，k∈Z，得－2470°<k·360°<－2110°，k∈Z，解得k＝－6，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)最小的正角；由0°<2110°＋k·360°<360°，k∈Z，得－2110°<k·360°<－1750°，k∈Z，解得k＝－5，故所求的最小正角为β＝310°.(3)在360°～720°范围内的角.由360°≤2110°＋k·360°≤720°，k∈Z，得－1750°≤k·360°≤－1390°，k∈Z，解得k＝－4，故所求的角为β＝670°.45O1、用集合表示终边与45o相同的角2、用集合表示终边落在阴影部分的角5.区间角先定边界，再定周期

例四：1、已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.2.已知α是第一象限角.(1)2α是第几象限角？∵α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z).∵2k·360°<2α<180°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上的角.

（2）因为α是第一象限角，∴k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，课堂练习1.已知集合A＝{第二象限角}，B＝{钝角}C＝{小于180°的角}，

则下列关系正确的是A.B＝A∩C

B.ACC.B∪C＝C

D.A＝B＝C√1234由题意得BA∩C，故A错误；A与C互不包含，故B错误；由B＝{钝角}{小于180°的角}，所以B∪C＝C，故C正确；由以上分析可知D错误.2.若α＝45°＋k·180°，k∈Z，则α的终边在A.第一、三象限

B.第一、二象限C.第二、四象限

D.第三、四象限√1234因为α＝45°＋k·180°，k∈Z，所以当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＋180°＝225°＋n·360°，n∈Z，其终边在第三象限；当k＝2n，n∈Z时，α＝45°＋2n·180°＝45°＋n·360°，n∈Z，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.3.亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的角度为

.1234因为钟表的分针转了两圈，且是按顺时针方向旋转，所以钟表的分针转过的角度为－720°.－720°12344.如图所示.终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为

.终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.故终边落在阴影部分