第四章 浅基础

第四章浅基础4.1概述（略）4.2条形基础柱下条形基础广泛用于框架结构，也间或用于排架结构下的基础，它在局部软土上具有跨越作用。基础宽度B由地基承载力和变形条件决定，高度H经常取为跨径的1/6。不应片面强调减少基础断面以降低造价，而应当这样来选择断面及其劲度，使整个建筑物的形变状态和内力分布处于最优状态图4.1条形基础的挠度、分布反力和集中反力图4.2基础的内力在图4.1中，把条形基础分为若干长度为L的梁单元。每一跨径则分成四个最好是六个单元，以便更准确地把握挠曲和内力的分布每个单元有i,j两个结点，每个结点两个自由度，挠度ω和转角θ。相应的结点力为剪力V和弯矩M(图4.2)。联系结点力和结点位移的单元劲度矩阵可以用Galerkin原理建立。

或式中把所有的单元劲度矩阵集合成总劲度矩阵[K]，它是对称的带状矩阵，同时把单元荷载列向量集合成总荷载列向量{P}。于是得条形基础的平衡方程：式中{P}是外荷列向量，而{R}是地基集中反力列向量。为了求{R}我国设计单位很多采用基床系数假说，即假设某点地基反力分布p(x)只与该点沉降s成正比，而与邻近各点的沉降无关，即或写成矩阵形式如下：或式中k(kN/m3)是地基的基床系数，表示基础产生单位沉降所需的反力。因为地基上的每点只有竖直位移自由度，而基础梁每个结点有两个自由度。应当把地基劲度矩阵[KS]增广以后才能迭加到基础梁总劲度矩阵[K]的主对角元中去。现在考虑地基沉降{s}与基础挠曲{ω}之间的位移连续性条件：将式（4.5）和（4.4a）带入式（4.2），于是有对于自由支承在地基上的条形基础，有边界条件V1=M1=0以及Vn=Mn=0因此在端结点1和n的平衡方程中，使主对角元为1，并划行划列，同时在右端项的相应位置上以、和、代替，即表示已考虑了全部边界条件。求解方程式（4.6），得到全部挠度和转角。回代式（4.1a），用以计算弯矩和剪力分布。4.3片筏基础4.31板单元的劲度矩阵设基础-图体系的总坐标系为XYZ，而基础单元的局部坐标系xyz。矩形板单元ijmp有四个结点，相邻单元通过这些结点劲性地联结，使之即能传递横向力，又能传递弯曲应力。每个结点有三个自由度，即挠度，转角和相应地，有三个结点力，即剪力V，弯矩和。以结点i为例联系单元结点和结点位移的单元劲度矩阵(B表示板)已经建立。它是12阶方阵。用子矩阵表示为或记为对称式中E，v为基础板材料的弹性模量和泊松比，而2a,2b,t分别为分别为板单元的长度和厚度。板单元劲度矩阵[KB]中有21个独立变量，它们是：利用式（4.9）和（4.10）很容易编写板单元劲度矩阵[KB]的子程序。先完成下三角，然后利用对称性，再完成上三角。4.3.2基础梁单元劲度矩阵zxy图4.4基础梁的受力状态每个梁单元有两个结点i，j。略去轴向变形，每个结点也有三个自由度，ω、和与此相对应的结点力为剪力V、弯矩M，和扭矩T。纵向梁在某一结点的转角必然使横向梁在同一结点产生，于是横向梁就产生扭矩T。反之依然（图4.4）。在局部坐标系xyz中，联系结点力与结点位移的单元劲度矩阵[KL](L表示梁)如下：或记作式中G-基础材料的剪切模量；J-矩形断面梁在扭曲时的惯性矩，可由梁断面的高宽比h/b按式（4.12）求得有的单元板的边界有一个或几个梁单元，有的一个也没有。要按照板单元上梁单元的方位和个数分为几种类型，以便集合成总劲度矩阵：式中{R}—地基集中反力列向量。4.3.3地基柔度矩阵为了表达（4.13）中的集中反力列向量{R}，需要建立地基的劲度矩阵或柔度矩阵。为此目的，有各种不同的土本构关系可供使用。目前经常用基床系数法以及分层总合法。基床系数法大多数的房屋基础的边长比L/B=3～5。把基础的底面积分为40块，将实测反力的平均值P0除以实测沉降平均值就得到基床系数k。它在940～2400kN/m3之间变化，而平均值为1620kN/m3。比目前设计单位使用的数值k=8000～10000kN/m3小很多。对各个建筑物的反力实测资料作统计分析，得到淤泥质粘土和粉质粘土上的反力系数，即平均反力的倍数。根据反力系数对基床系数进行调整，即用代替原来的平均值k值，使基床系数的变化与实测反力的分布相协调，这样，基础的计算挠曲与实测挠曲就比较接近。基于上述想法，可以将反力分布表示为在式（4.14）中已包括了基础挠度与地基沉降相协调的连续性条件。集中反力R为式中A为地基单元面积。当i分别为内部结点、边缘结点或角结点时，A分别为4ab,2ab或ab。地基位移只有一个自由度，而基础结点有三个自由度，因此，应当把式（4.15）增广，然后把式（4.13）改写为解出{ω}以后，带入式（4.8）和（4.11），便可以求得基础板和基础梁的内力；代入式（4.15），可以的反力分布。分层总和法用土力学中熟知的分层总和法来建立地基柔度矩阵。其中系数（i=1,2,…,n为计算点，j=1,2,…,n为荷载点，n为结点数）表示当j点有单位反力时，在i点引起的沉降为若干。地基各点的沉降{s}通过柔度矩阵[f]与反力向量{R}建立关系，即用分层总和法建立地基柔度矩阵或式中为j点有反力作用时，在i点下土层k的中点产生的附加应力；而m为自基础底面到压缩层下限的分层数目；及分别为土层k的压缩模量和层厚。为了减少工作量，可以利用片筏基础、荷载以及边界条件的对称性，而只取二分之一或四分之一基础来分析。ⅠⅡⅠⅡⅢⅣ分析二分之一或四分之一片筏基础当仅分析二分之一基础时，沿图中对称轴y的法线方向，有边界条件同时地基的柔度矩阵[f]为当分析四分之一基础时，沿图的两个对称轴线上有边界条件：以及同时，地基的柔度矩阵[f]为ⅠⅡⅢⅣ应当注意，在建立基础板的劲度矩阵时，只需要考虑二分之一或四分之一板块即可。4.3.4地基-基础体系在建立地基柔度矩阵[f]以后，对[f]求逆，即可得地基的劲度矩阵[KS]，如式（4.18）所示。于是得地基-基础体系的矩阵方程式中KB,KL及KS分别为基础板、梁和地基土的劲度矩阵。{ω}为总位移列向量；{P}为荷载列向量。由于地基表面与基础底面之间没有转角的连续性，而只有竖直位移的连续性，即为了使基础的劲度矩阵(KB+KL)得以与地基劲度矩阵[KS]相加，有必要把与当作内部自由度处理。即从（KB+KL）中把与ω有关的自由度与、分离开来：或由上式中的第二式解出：并代入第一式，得或记作式中为经过自由度凝聚所形成的外荷载。把地基集中反力列向量{R}引入式（4.28），并考虑到式（4.25），于是有或由式（4.29）解出基础板所有结点的挠度，代入式（4.27）再求得板结点的转角。通过回代，求基础弯矩的分布；将代入中，可求得反力分布。用反力总和与外荷载合力是否相等来检查计算结果的正确性。4.4不规则片筏基础三角薄单元有三个结点，每个结点有三个相应于总坐标系的自由度和。zxzxzzzx三角形板单元的位移和几何性质面积坐标单元结点位移为而相应的单元结点力为单元内任意一点P的位置用面积坐标L表示：同时有其中A为三角形单元的面积，而为结点i的对边与P点所形成的三角形面积，余类推。等由式定义，其中式中为结点i的对边与坐标系原点0所围成面积的一半，而及分别为i点的对边jm在坐标轴上的投影。由式（4.32）、（4.33）和（4.34）可以建立面积坐标与直角坐标之间的关系：解出x,y得单元内任一点的位移分量为式中的形函数使式（4.39）中的下标ijm轮转，可以写出其它的形函数。在建立形变矩阵时，需要求形函数N的偏导数：对面积坐标的幂函数在单元范围内求积分时，应用下式将更方便：4.4.1单元内力矩阵可以证明，单元各结点的内力可以由下式决定：式中[D]是基础板的弹性矩阵将坐标原点放在单元的形心，则矩阵是矩阵如下：矩阵由六个列阵组成式中各个表达式如下：4.4.2单元劲度矩阵三角形板单元的劲度矩阵为方阵，式中和的形式同前,而矩阵为式中E，v分别为基础材料的弹性模量和泊松比；t为基础板厚度。在将各个单元劲度矩阵集合成总劲度矩阵,并把单元荷载列阵集合成总荷载列阵以后，就可以写出不规则片筏基础的矩阵方程：式中基础底面反力列向量可以用式（4.16）的方式来建立，于是有式中A是各结点i周围由各单元形心所围成的面积。解出基础板的挠度和转角以后，代入式（4.42）便可求出片筏基础的内力分布。4.5箱形基础箱形基础由顶板、底板和若干纵横隔墙组成。上部结构的柱子就放在纵横隔墙的交点上。箱形具有很大的劲度和很好的整体性，因而能抵抗不均匀沉降。广泛用于高层房屋的浅基础，也间或用作重力式采油平台、火力发电厂和人造卫星地面接收站的基础。4.5.1单元的形变和应力状态用四结点的矩形板单元将箱形基的顶板、底板和纵横隔墙离散。箱基是整个建筑物的组成部分，在荷载和反力的作用下会产生弯曲：顶板受压，底板受拉，偶尔也观测到相反的情况，这是在浇筑箱基时，由于中间大，两端小的基坑底面回弹而引起的。这时各个单元处于中面应力状态（如图）。顶板和底板以纵横隔墙为支座，分别在楼面荷载和地基反力作用下产生局部弯曲；外墙在土压力和水压力作用下也是这样（如图）。板单元的中面位移和应力状态以及弯曲位移和应力状态箱基中不同方位的单元有不同的局部坐标。单元结点ijmp编号，其几何尺寸。不同板单元的局部坐标4.5.2中面应力状态板单元的形变和结点力均在此发生板的中面内，因而经受拉伸或压缩。每个结点有二个自有度u和v，而相应的结点力为U和V。取阶位移模式：可以建立联系结点力与结点位移的单元劲度矩阵：式中P表示平面应力状态：4.5.3弯曲状态顶板和底板单元分别受到楼面荷载或地基反力作用，而外墙单元在土压力和水压力作用下，使单元受到挠曲变形。相应的单元劲度矩阵已经建立（式4.8）式中结点力和结点位移分别为:而单元劲度矩阵4.5.4两种形变状态的叠加由于箱基中的各个单元处于中面应力和弯曲应力的共同作用下，必需将二者叠加。为了便于坐标变换矩阵的建立，再加上绕竖直轴z的转动自由度。于是每个结点有六个运动自由度。单元矩阵矩阵为：或记作式中上面的一撇表示相对于局部坐标系。单元劲度矩阵是个由16个子阵组成的24阶方阵。把整个箱基放在整体坐标系XYZ中，不同方位的单元均有各自的局部坐标，在集合成总劲度矩阵以前，应先进行坐标变换，以便把所有变量均统一到总坐标系中去。结点i在局部坐标中的位移与整体坐标系中的位移通过坐标变换矩阵[T]相联系：或记作式中（4.62）中，第一行的前三列表示整体坐标系中的位移分量u,v,w分别投影到局部坐标系的x轴上，并构成的组成部分。角位移分量不会产生线位移分量，所以后三列等于零。同理，线位移分量也不会产生角位移，所以下面三行的前三列等于零。一个单元有四个结点i，j,m和p,于是有或记作同理，总坐标系中的单元结点力与局部坐标中的也存在类似的关系，即用式(4.61a)和(4.63a)代入上式，并注意到[L]是正交矩阵，于是有或4.55荷载列阵作用在结点上的柱荷载和柱端力矩可直接集合总荷载列阵中去。而分布荷载（反力、土压力和水压力）则应先化成静力等效的结点荷载。单元瘦均布荷载q时，结点力为或若有三角形分布荷载作用于单元上，则均布荷载下的结点荷载三角形荷载下的结点荷载或4.5.6总劲度矩阵将所有单元矩阵集合成总劲度矩阵，同时将单元荷载列阵集合成