【创新设计】2011届高三数学一轮复习 不等式的性质、含有绝对值的不等式课件 理 苏教版选修4-5-1

选修4－5不等式选讲第1课时不等式的性质、含有绝对值的不等式理解不等式的基本性质，理解含绝对值不等式的求解方法．【命题预测】

1．不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式和解不等式的依据，常综合考查，几乎可以渗透到高考的各个考点中．2．要能解几种特殊类型的绝对值不等式，但不要求会解各种类型的含有绝对值的不等式．【应试对策】1．解含绝对值符号的不等式的基本思路是去掉绝对值的符号，将其转化为不含绝对值的不等式求解，体现了等价转化思想的应用．在转化的过程中，要注意正确地应用绝对值的意义和不等式的性质，防止转化过程的不等价而导致的错误．2．证明含绝对值符号的不等式的基本思路是创造条件使用绝对值不等式的性质，有时也可以通过构造函数，运用函数的单调性来实现证明．【知识拓展】 含绝对值不等式的解法 (1)讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式． 适合解这类绝对值不等式：|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c.(2)等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形．|x|<a⇔x2<a2⇔－a<x<a(a>0)；|x|>a⇔x2>a2⇔x>a或x<－a(a>0)；一般有：|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)．(3)|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c的解集．①|ax＋b|≤c，c<0，x∈∅；c≥0，－c≤ax＋b≤c；－b－c≤ax≤c－b.a>0，x∈；a<0，x∈

②|ax＋b|≥c，c<0，x∈R；c≥0，ax＋b≥c或ax＋b≤－c.a>0，x∈ ；a<0，x∈1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a＞b⇔a－b

0，a＜b⇔a－b

0，a＝b⇔a－b

0.2．不等式的性质 (1)a＞b⇔b

a，a＜b⇔b

a(反对称性)． (2)a＞b，b＞c⇒a

c，a＜b，b＜c⇒a

c(传递性)． (3)a＞b⇒a＋c＞b＋c，故a＋b＞c⇒a＞c－b(移项法则)；

推论：a＞b，c＞d⇒

(同向不等式相加)．＞＜＝＜＞＞＜a＋c＞b＋d (4)a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b，c＜0⇒

.

推论1：a＞b＞0，c＞d＞0⇒

； 推论2：a＞b＞0⇒an

bn(n∈N，且n＞1)； 推论3：a＞b＞0⇒

(n∈N，且n＞1)．3．绝对值不等式的解法 (1)设a＞0，a∈R，则|x|＝a⇔

⇔x2＝a2； |x|＜a⇔x2＜a2⇔

； |x|＞a⇔x2＞a2⇔

. (2)形如|x－a|＋|x－b|＜c或|x－a|－|x－b|＞c的绝对值不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．ac＜bcac＞bd＞0＞＞x＝±a－a＜x＜ax＜－a或x＞a 思考：|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？ 提示：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；|x－a|±|x－b|表示数轴上的一点x到点a、b的距离之和(差)．4．含有绝对值的不等式的性质

≤|a±b|≤

. 思考：|a＋b|与|a－b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.|a|－|b||a|＋|b|1．设m＝(x＋6)(x＋8)，n＝(x＋7)2，则m与n的大小关系是________． 解析：∵m－n＝(x＋6)(x＋8)－(x＋7)2＝x2＋14x＋48－(x2＋14x＋49) ＝－1<0，∴m<n. 答案：m<n2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)． 解析：f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)＝(x－1)2＋1>0. 答案：>3．若a2>b2，且ab>0，则的大小关系为________． 解析：∵ab>0，∴>0.又a2>b2，∴

也可用作差法判断． 答案：<4．若角α、β满足，则α－β的取值范围是________． 解析：∵α≤β，∴α－β≤0.又

∴

∴－π<α－β≤0. 答案：－π<α－β≤0比较两个代数式的大小，作差后在变形的过程中有时分解因式，有时写成几个非负数或非正数的和的形式，有时这两者结合起来用．注意本题的结果常常作为结论来用．【例2】解下列不等式： (1)1<|x－2|≤3； (2)|2x＋5|>7＋x； (3)|x2－9|≤x＋3; (4)|x－1|＋|x＋2|<5. 思路点拨：(1)利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)利用绝对值的定义或|f(x)|≤a(a>0)⇒

－a≤f(x)≤a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解．(4)不等式的左边含有两个绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”．此题亦可利用绝对值的几何意义去解．含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件，切不可用似乎很显然的理由代替不等式的性质．2．解绝对值符号里是一次式的不等式，常用零点分段法，其一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，并把实数集分为若干个区间； (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．3．对于形如|x－a|＋|x－b|＞c或|x－a|＋|x－b|＜c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，这又一次体现了数形结合思想方法的优越性.【规律方法总结】

【高考真题】【命题探究】本题是根据解绝对值不等式的基本方法——分段去绝对值转化为不等式组的解而命制的一道试题，试题考查的重心就是解绝对值不等式的基本方法．【方法探究】带有绝对值的函数一般可以通过去掉绝对值转化为分段函数，去掉绝对值的方法是采用“零点分区法”，|x－a1|＋|x－a2|＋…＋|x－an|，其中a1<a2<…<an，分区的方法是x≤a1，a1<x≤a2，…，x>an，然后根据绝对值的性质去绝对值，其中规律很明显，如当a2<x≤a3时，|x－a1|＝x－a1，|x－a2|＝x－a2，|x－a3|＝－(x－a3)，…，|x－an|＝－(x－an)，即当x的取值在某两个零点之间时，其前面的直接去掉绝对值，后面的去掉绝对值时要加负号．如果绝对值号内x的系数不是1，可以提取这个系数后转化为x的系数是1的情况．【