第三章统计案例1《回归分析》课时2

3.1

回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时）

1．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．

2．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数，运用相关指数进行数据分析、处理的方法．

3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高学习兴趣．

本节课通过例题线性相关关系知识，通过实际问题中发现已有知识的不足，引导学生寻找解决非线性回归问题思想与方法，培养学生化归数学思想。通过知识的整理，通过例题讲解掌握解决非线性回归问题。

本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型案例的探究，练习进行巩固解决非线性回归基本思想方法及初步应用．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．(6)参数R2与相关系数r提示:它们都是刻画两个变量之间的的相关关系的,区别是R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率,其表达式为R2=1-;相关系数r是检验两个变量相关性的强弱程度,其表达式为

（7）相关系数r与R2(1)R2是相关系数的平方,其变化范围为[0,1],而相关系数的变化范围为[-1,1].(2)相关系数可较好地反映变量的相关性及正相关或负相关,而R2反映了回归模型拟合数据的效果.(3)当|r|接近于1时说明两变量的相关性较强,当|r|接近于0时说明两变量的相关性较弱,而当R2接近于1时,说明线性回归方程的拟合效果较好.例：一只红铃虫产卵数y和温度x有关，现收集到的一组数据如下表1-3表，试建立y与x之间的回归方程。画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系．（1）是否存在线性关系？（2）散点图具有哪种函数特征？（3）以指数函数模型为例，如何设模型函数？非线性关系指数函数、二次函数、三次函数cc21设指数函数曲线其中和是待定参数。ecyxc12=我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系()这样就可以利用线性回归模型来建立z与x回归模型，进而找到y与x的非线性回归方程。*则变换后样本点分布在直线的周围。令)cb,clna(abxz21==+=ylnz=现在问题变为如何估计待定参数和？cc21非线性回归模型(6)eyˆ0.272x-3.843(1)=另一方面,可以认为图11-4中样本点集中在某二次曲线因此可以对温度变量做变换,即令然后建立y与t之间的线性回归方程，从而得到y与x之间的排线性回归方程。,2xt=的附近,其中和为待定参数.43cc423cxcy+=表1-5是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方，图1.1-6是相应的散点图.()()()(),b,xgy~a,xfy~21==和对于给定的样本点,两个含有未知数的模型其中a和b都是未知参数,可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果.bˆaˆ其中和分别是参数a、b的估计值（1）分别建立对应于两个模型的回归方程()(),bˆ,xgyˆ2=()()aˆ,xfyˆ1=()()();yˆyQˆn1i22ii2å=-=()Qˆ1()()yˆyn1i21iiå=-=与（2）分别计算两个回归方程的残差平方和()()()()()()()()()().bˆ,xgyˆaˆ,xfyˆ,;bˆ,xgyˆaˆ,xfyˆ,QˆQˆ212121的好的效果不如反之的好的效果比则（3）若====<非线性回归问题的处理方法(1)两个变量不呈线性关系,不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系,可以通过变换的方法转化为线性回归模型,如y=,我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的周围.(2)非线性回归方程的求法①根据原始数据(x,y)作出散点图;②根据散点图,选择恰当的拟合函数;③作恰当的变换,将其转化成线性函数,求线性回归方程;④在③的基础上通过相应的变换,即可得非线性回归方程.(3)非线性相关问题中常见的几种线性变换在实际问题中,常常要根据一批实验数据绘出曲线,当曲线类型不具备线性相关关系时,可以根据散点分布的形状与已知函数的图象进行比较,确定曲线的类型,再作变量替换,将曲线改为直线.下面是几种容易通过变量替换转化为直线的函数模型:①y=a+,令t=，则有y=a+bt；②y=axb，令z=lny，t=lnx，m=lna，则有z=m+bt；③y=aebx，令z=lny，m=lna,则有z=m+bt；④y=,令z=lny,t=，m=lna，则有z=m+bt；⑤y=a+blnx，令t=lnx，则有z=a+bt；⑥y=bx2+a,令t=x2，则有y=bt+a.例某种食品每公斤的生产成本y(元)与该食品生产的重量x(公斤)有关，经生产统计得到以下数据：x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15通过以上数据判断该食品的成本y(元)与生产的重量x(公斤)的倒数1/x之间是否具有线性相关关系？若有，求出y关于1/x的回归直线方程，并借此估计一下生产该食品500公斤时每公斤的生产成本是多少？(精确到0.01)

于是y与1x的回归方程为y^＝8.973x＋1.125.

当x＝500(公斤)时，y^＝8.973500＋1.125≈1.14.即估计生产该食品500公斤时每公斤的生