【高考风向标】年高考数学一轮复习 第五章 第6讲 不等式选讲课件 理

第6讲不等式选讲1．常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法包括作差比较法和作商比较法．

(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．

(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法．

(5)放缩法：要证明不等式A<B成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．2．绝对值不等式(1)含绝对值不等式的解法设a>0，|f(x)|<a⇔－a<f(x)<a；|f(x)|>a⇔f(x)<－a或f(x)>a.(2)理解绝对值的几何意义|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.{x|－1<x<2}1．用反证法证明时：其中的结论“a>b”，应假设为()A．a>bB．a<bC．a＝bD．a≤bD2．(2010年广东广州测试)若关于x的不等式|x－a|<1的解集为(1,3)，则实数a的值为()A(－∞，1)∪(2，＋∞)A．2B．1C．－1D．－2

4．不等式|2x－3|>1的解集为____________________．5．(2010年陕西)不等式|2x－1|<3的解集为_____________．3．不等式|2x－1|>|x|的解集为__________________．考点1比较法证明不等式证明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a，b∈R＋，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.比较法证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式．第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论．第三步：得出结论.

考点2综合法证明不等式

利用某些已经证明的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．综合法证明不等式的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.考点3分析法证明不等式分析法证明不不等式，就是是“执果索因”，，从所证的不等式出发，，不断用充分分条件代替前前面的不等式式，直至使不不等式成立的条件已已具备，就断断定原不等式式成立．当证证题不知从何何入手时，有时可以以运用分析法法而获得解决决，特别对于于条件简单而而结论复杂的题目往往往是行之有有效的方法．．用分析法论证证“若A则B”这个命题的模模式是：欲证证命题B为真，只需证证明命题B1为真，从而又又只需证明命命题B2为真，从而又……只需证明命题题A为真，今已知知A真，故B必真．简写为为：B⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A.考点4利利用放缩法证证明不等式时时应把握好度度要证A>B，可适当选择择一个C，使得C≥B，反之亦然．主要要应用于不等等式两边差异异较大时的证明．一一般的放缩技巧有：①分式放缩：：固定分子，，放缩分母；；固定分母，，放缩分子．．多见于分式类类不等式的证证明．②添舍放缩：：视情况丢掉掉或增多一些些项进行放缩缩，多见于整整式或根式配方方后需要放缩缩的不等式的的证明．考点5解绝对值不等等式A．(0,2)B．(－∞，，0)AC．(2，＋＋∞)D.(－∞∞，0)∪(0，＋∞)x－2解析：考查绝对值不等式的化简．绝对值大于本身，值为负数.x<0，解得A.或者选择x＝1和x＝－1，两个检验进行排除．②(2011年广东)不等式|x＋1|－－|x－3|≥0的的解集集是____________．．[1，，＋∞∞)解析：：|x＋1|－|x－3|≥≥0⇔⇔(x＋1)2≥(x－3)2，∴原原不等等式的的解集为[0，，＋∞∞)为___________．

③(2011年江西)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集考查含含绝对对值不不等式式的解解法，，对于于含绝绝对值值不等等式主要要是去去掉绝绝对值值后再再求解解，可可以通通过绝绝对值区间法、平方等方法去掉绝对值．题①利用代值法最好；题②利用平方法最好；题③利用零点分区间法最好．考点6不等式式||a|－|b||≤≤|a±b|≤|a|＋|b|的应用用图5－6－1例6：：设函数数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不不等式式f(x)>2；(2)求函函数y＝f(x)的最最小值值．对于比比较复复杂的的含绝绝对值值不等等式的的问题题，若若用常常规解法法需分分类讨讨论，，去掉掉绝对值符符号，，解法法繁琐琐，而而灵活活运用用绝对值的的几何何意义义，往往往能能简便便、巧巧妙地地将问问题解解决．．【互动动探究究】1．若若不等等式|x－4|＋|x－3|<a的解集集为非非空集集合，，则实实数a的取值范范围是是()Ca≥3或或a≤1A．a>7B．1<a<7C．a>1D．a≥12．(2010年广东东佛山山检测测)若不等等式|x－a|＋|x－2|≥1对对任意意实数x均成立立，则则实数数a的取值值范围围为____________.解析因为不等式|x－a|＋|x－2|≥1对∀x∈R恒成立，所以|a－2|≥1，解得：a≥3，或a≤1.1．利利用比比较法法证明明不等等式时时，为为了判判断作作差后后的符符号，，有时时要把这这个差差变形形为一一个常常数，，或者者变形形为一一个常常数与与一个个或几几个平方方和和的的形形式式，，也也可可变变形形为为几几个个因因式式的的积积的的形形式式，，以以便便判判断断其其正正负．．2．．放放缩缩法法证证明明不不等等式式的的理理论论依依据据主主要要有有：：(1)不不等等式式的的传传递递性性；；(2)等等量量加加不不等等量量为为不不等等量量；；(3)同同分分子子(分分母母)异异分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩．3．．特特别别注注意意：：对对于于含含绝绝对对值值的的不不等等式式，，从从2010年年高高考考开开始始由选选考考内内容容改改为为必必考考内内容容，，成成为为这这两两年年高高考考的的热热点点，，特特别别是是2010年的的压压轴轴题题就就是是绝绝对对值值不不等等式式，，应应掌掌握握绝绝对对值值不不等等式式的的解解法法和和利利用||a|－－|b||≤≤|a±b|≤≤|a|＋＋|b|证4．．含含绝绝对对值值不不等等式式的的解解法法：：等等价价转转化化法法、、分分类类讨讨论论法法及及平平方方法5．．理理解解绝绝对对值值的的几几何何意意义义，，并并了了解解下下列列不不等等式式成成立立的的几几何何意意义及及取取等等号号的的条条件件：：|a＋b|≤≤|a|＋＋|b|(a，b∈R)；；|a＋b|≤≤|a－c|＋＋|c－b|(a，b∈R).1．．分分析析法法和和综综合合法法是是对对立立统统一一的的两两种种方方法法，，分分析析法法的的证证明明过过程，恰好好是综合合法的分分析、思思考过程程，即综综合法是是分析法法的逆过过程．混淆淆了它们们间的区区别与联联系易产产生思维维障碍．．要注意意两种证证明方法的的书写格格式，