【学海导航】高三数学第一轮总复习 4.6 三角函数的应用课件

第四章三角函数14.6

三角函数的应用考点搜索●与三角函数图象有关的应用题●设角为参数，利用三角函数有关知识求最值高考猜想实际应用问题往往与解三角形有关，单纯以纯三角函数作为背景的题不多见.2

三角函数应用问题的特点和处理方法1.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题.2.三角函数应用题的特点是：①实际问题的意义反映在三角形中的边、角关系上;②引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题.3.解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后作出结论并回答问题.3设实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且a≠b),那么mx+ny的最大值是()

解：因为实数x,y,m,n满足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常数且a≠b)，

所以可设4则mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故选B.5

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________.6解：设直角三角形的短边为x，则解得x=3，所以则7如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为那么单摆来回摆动一次所需的时间为____秒.

解：由条件知周期8

1.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：经过长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.题型1与三角函数图象有关的应用题t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.59(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放.请根据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动?

解：(1)由表中数据知，周期T=12，则由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，①由t=3，y=1.0，得b=1.0.②10由t=3，y=1.0，得b=1.0.②所以A=0.5，b=1，所以振幅幅为12，所以(2)由题知，当当y＞1时才可对冲冲浪爱好者者开放.所以所所以所以即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③因为0≤t≤24,故可令③中中的k分别为0,1,2,11得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在规定时时间上午8：00至晚晚上上20：00之间间，，有有6个小小时时时时间间可可供供冲冲浪浪爱爱好好者者运运动动，，即即上上午午9：00至下下午午15：00.点评评：：解决决实实际际应应用用题题的的关关键键在在于于建建立立数数学学模模型型.若建建模模已已确确定定时时，，就就化化为为常常规规问问题题，，再再选选择择合合适适的的数数学学方方法法求求解解.如本本题题第第(2)问转转化化为为相相应应的的不不等等式式进进行行解解决决.12以一一年年为为一一个个周周期期调调查查某某商商品品出出厂厂价价格格及及该该商商品品在在商商店店销销售售价价格格时时发发现现：：该该商商品品的的出出厂厂价价格格是是在在6元基基础础上上按按月月份份随随正正弦弦曲曲线线波波动动的的.已知知2月份份出出厂厂价价格格最最高高为为8元，，8月份份出出厂厂价价格格最最低低为为4元.而该该商商品品在在商商店店内内的的销销售售价价格格是是在在10元基基础础上上按按月月份份也也是是随随正正弦弦曲曲线线波波动动的的，，并并已已知知5月份销售价最最高为12元，11月份销售价最最低为8元.假设某商店每每月购进这种种商品m件，且当月能能售完，请估估计哪几个月月每件盈利可可超过6元？并说明理理由.13解：由条件可得：：出厂价格函函数为销售价格函数数为则单价利润函函数y=y2-y114所以，由得即所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.又因为x∈N*，所以x=6，7.答：6月、7月这两个月每每件盈利超过过6元.152.水渠横断面为为等腰梯形，，如图所示，，渠道深为h，梯形面积为为S.为了使渠道的的渗水量达到到最小，应使使梯形两腰及及下底之和达达到最小，此此时下底角α应是多大？题型2反映在三角形形或四边形中中的实际问题题16解：设CD=a,则所以则则设两腰与下底底之和为l，则因为S，h均为常量，欲欲求l的最小值，只只需求出的的最小小值.17令则则ksinα+cosα=2，可化为其中因为0＜sin(α+φ)≤1，所以所所以k2≥3，故kmin=3，此时所所以18点评：与多边形有关关的实际问题题，一般是转转化为三角形形中的问题，，然后利用三三角形的边角角关系式转化化为角的问题题，如设角参参数，再利用用三角函数的的性质解决所所求问题.19某岛屿观测站站C在海岸边灯塔塔A的南偏西20°的方向上.航船B在灯塔A南偏东40°的方向上向海海岸灯塔A处航行，在C处先测得B离C的距离是31海里，当航船船B航行了20海里后，到达达D处，此时C、D间的距距离为为21千米，，问这这人还还需走走多少少海里里到达达海岸岸边灯灯塔A处？解：根据题题意得得右图图，其中BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,∠CAB=60°.20设∠ACD=α，∠CDB=β.在△CDB中，由由余弦弦定理理得：：所以在△ACD中，由由正弦弦定理理得：：所以此此人还还需走走15千米到到达海海岸边边灯塔塔A处.213.如图,ABCD是一边边长为100m的正方方形地地皮,其中AST是一半半径为为90m的扇形小山山，其其余部部分都都是平平地.一开发商商想在平平地上建建一个矩形停车车场，使使矩形的的一个顶顶点P在ST上，相邻邻两边CQ、CR落在正方方形的边边BC、CD上.求矩形停车场场PQCR面积的最最大值和和最小值值.题型3引进角为为参数解解决最优优化问题题(22解：连结AP,设∠PAB=θ(0°≤≤θ≤90°°),延长RP交AB于M,则AM=90cosθ,MP=90sinθ,所以PQ=MB=100-90cosθ，PR=MR-MP=100-90sinθ.所以S矩形PQCR=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.23令t=sinθ+cosθ(1≤t≤2)，则所以S矩形PQCR=故当t=时，S矩形PQCR有最小值值950m2;当t=时,S矩形PQCR有最大值值(14050-9000)m2.点评：与多边形形有关的的最值问问题，常常常构造造以角为为变量的的三角函函数，然然后利用用求三角角函数的的最值方方法求得得实际问问题的解解，同时时，注意意变量取取值的实实际意义义及范围围.24如图，在在直径为为1的圆O中，作一一个关于于圆心对对称、邻邻边互相相垂直的的十字形形，其中中y＞x＞0.求当θ为何值时时，十字字形的面面积最大大？最大大面积是是多少？？25解：设十字形形的面积积为S，则其中所以，当当s