【第一方案】高三数学一轮复习 第十二章 计数原理、概率、随机变量及其分布第八节 离散型随机变量的均值与方差课件 （理）

第八节离散型随机变量的均值与方差(理)点击考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.关注热点1.以选择、填空的形式考查离散型随机变量均值与方差的概念和计算．2.以实际问题为背景，考查均值与方差的应用.1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称EX＝

为随机变量X的均值或

，它反映了离散型随机变量取值的

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度σX

2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

.(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则EX＝

，DX＝

．(2)若X～B(n，p)，则EX＝

，DX＝

．aEX＋ba2DXp(1－p)npnp(1－p)p随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．1．若随机变量X的分布列如表，则EX＝(

)X012345P2x3x7x2x3xx答案：C答案：A3．设随机变变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45答案：A4．已知X的分布列为为答案：B(1)写出ξ的分布列；；(2)求数学期望望E(ξ)．故ξ的分布列为为【方法探究】(1)随机变量的的数学期望望等于该随随机变量的的每一个取取值与取该该值时对应应的概率乘乘积的和．．(2)均值(数学期望)是随机变量量的一个重重要特征数数，它反映映或刻画的的是随机变变量取值的的平均水平平，均值(数学期望)是算术平均均值概念的的推广，是是概率意义义下的平均均．(3)E(X)是一个实数数，即X作为随机变变量是可变变的，而E(X)是不变的．．提醒：若随机变量量X服从二项分分布，即X～B(n，p)，则可直接接使用公式式E(X)＝np.(1)求该学生考考上大学的的概率；(2)如果考上大大学或参加加完5次测试就结结束，记该该生参加测测试的次数数为ξ，求ξ的分布列及及ξ的数学期望望．则ξ的分布列为为：甲、乙两个个野生动物物保护区有有相同的自自然环境，，且野生动动物的种类类和数量也也大致相等等，这两个个保护区内内每个季度度发现违反反保护条例例的事件次次数的分布布列分别为为：甲：X10123P0.30.30.20.2乙：试评定这两两个保护区区的管理水水平．X2012P0.10.50.4【解析】甲保护区的的违规次数数X1的数学期望望和方差为为：EX1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，DX1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的的违规次数数X2的数学期望望和方差为为：EX2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，DX2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX1＝EX2，DX1>DX2，所以两个个保护区内内每季度发发生的违规规平均次数数是相同的的，但乙保保护区内的的违规事件件次数更集集中和稳定定，甲保护护区的违规规事件次数数相对分散散和波动．．∴乙保护区的的管理水平平相对要好好．【方法探究】数学期望反反映了随机机变量取值值的平均水水平，但有有时只知道道数学期望望还不能解解决问题，，还需要知知道随机变变量的取值值在均值周周围变化的的情况，即即方差．记乙项目产产品价格在在一年内的的下降次数数为X，对乙项目目每投资十十万元，X取0、1、2时，一年后后相应利润润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机机变量X1，X2分别表示对对甲、乙两两项目各投投资十万元元一年后的的利润．(1)求X1，X2的概率分布布列和均值值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)<E(X2)时，求p的取值范围围．【思路导引】(1)求分布列，，应先确定定X2的取值，再再求X2的取值对应应的概率；；(2)由E(X1)<E(X2)，找出关于于p的不等式，，即可求出出p的范围．【解析】(1)法一：X1的概率分布布列为故X2的概率分布布列为所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2法二：X1的概率分布布列为X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以当E(X1)<E(X2)时，p的取值范围围是0<p<0.3.3．(2009·陕西高考)某食品企业业一个月内内被消费者者投诉的次次数用ξ表示，据统统计，随机机变量ξ的概率分布布如下：ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的数学期望望；(2)假设一月份份与二月份份被消费者者投诉的次次数互不影影响，求该该企业在这这两个月内内共被消费费者投诉2次的概率．．解析：(1)由概率分布布的性质知知，0．1＋0.3＋2a＋a＝1，∴a＝0.2，则ξ的分布列为为ξ0123P0.10.30.40.2E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A表示“2个月内共被被投诉2次”，事件A1表示“2个月内有一一个月被投投诉2次，另一个个月被投诉诉0次”，事件A2表示“2个月内每个个月均被投投诉1次”，则由事件件的独立性性可得P(A1)＝C21P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝(0.3)2＝0.09，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17，故该该企企业业在在这这两两个个月月内内共共被被投投诉诉2次的的概概率率为为0.17.(2010·山东东，，12分)某学学校校举举行行知知识识竞竞赛赛，，第第一一轮轮选选拔拔共共设设有有A、B、C、D四个个问问题题，，规规则则如如下下：：①每位位参参加加者者计计分分器器的的初初始始分分均均为为10分，，答答对对问问题题A、B、C、D分别别加加1分、、2分、、3分、、6分，，答答错错任任一一题题减减2分；；②每回回答答一一题题，，计计分分器器显显示示累累计计分分数数，，当当累累计计分分数数小小于于8分时时，，答答题题结结束束，，淘淘汰汰出出局局；；当当累累计计分分数数大大于于或或等等于于14分时，答题结结束，进入下下一轮；当答答完四题，累累计分数仍不不足14分时，答题结结束，淘汰出出局；③每位参加者按按问题A、B、C、D顺序作答，直直至答题结束束．(1)求甲同学能进进入下一轮的的概率；(2)用ξ表示甲同学本本轮答题结束束时答题的个个数，求ξ的分布列和数数学期望Eξ.【解析】设A、B、C、D分别为第一、、二、三、四四个问题，用用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同学第第i个问题回答正正确，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同学第第i个问题回答错错误，则Mi和Ni是对立事件(i＝1,2,3,4)．由题意得因此随机变量量ξ的分布列为【考向分析】从近两年的高高考试题来看看，离散型随随机变量的均均值与方差是是高考的热点点，题型为填填空题或解答答题，属中档档题．常与排排列组合、概概率等知识综综合命题，既既考查基本概概念，又注重重考查基本运运算能力和逻逻辑推理、理理解能力．预测2012年高考，离散散型随机变量量的均值与方方差仍然是高高考的热点，，同时应特别别注意均值与与方差的实际际应用．1．已知ξ的分布列为：：答案：A2．某人进行射射击，每次中中靶的概率均均为0.8，现规定：若若中靶就停止止射击；若没没中靶，则继继续射击，如如果只有3发子弹，则射射击次数ξ的数学期望为为()A．2.14B．4.12C．1.24D．2.41解析：射击次数ξ的分布列为∴Eξ＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.答案：Cξ