【走向高考】高三数学一轮复习 122排列与组合课件（北师大）

考纲解读1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．考向预测1．排列、组合问题每年必考．2．以选择题、填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查．3．以实际问题为背景以考查排列数、组合数为主，同时考查分类整合的思想及解决问题的能力．知识梳理1．排列(1)排列的定义：从n个

的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的

排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用Anm表示．(3)排列数公式：Anm＝

．不同顺序所有排列n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(4)全排列：n个不同的元素全部取出的

，叫做n个不同元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝

.于是排列数公式写成阶乘的形式为

，这里规定0！＝

.排列n！12．组合(1)组合的定义：从n个

的元素中取出m(m≤n)个元素为

叫作从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数，叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的组合数，用Cnm表示．不同一组所有组合(4)组合数的性质：①Cnm＝

；②Cn＋1m＝

＋

.11Cnn－mCnmCnm－1基础自测1．(2010·四川文)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是()A．36 B．32C．28 D．24[答案]

A[解析]

本题考查排列与组合知识．当5排在两端时，有C21C21A33＝24种排法；当5不排在两端，即放在3和4之间时，有A22A33＝12种排法．故共有24＋12＝36种排法．2．(2009·辽宁理)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种 B．80种C．100种 D．140种[答案]

A[解析]

考查排列组合有关知识．可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，∴共有C52·C41＋C51·C42＝70种，∴选A.3．(2009·全国卷卷Ⅰ文)甲组有有5名男同同学，3名名女同学；；乙组有6名男同学学，2名女女同学．若若从甲、乙乙两组中各各选出2名名同学，则则选出的4人中恰有有1名女同同学的不同同选法共有有()A．150种B．180种C．300种D．345种[答案]D4．(2010·辽宁理理)如果执执行右面的的程序框图图，输入正正整数n，m，满足n≥m，那么输出出的p等于()A．Cnm－1B．Anm－1C．CnmD．Anm[答案]D[解析]由程序框图图知k＝1，p＝1，p＝1×(n－m＋1)k＝2，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)⋮⋮k＝m－1，p＝(n－m＋1)(nk＝m，p＝(n－m＋1)(n－m＋2)·…·(n－1)n＝Anm.5．将4名大学学生分配到3个乡镇去当当村官，每个个乡镇至少一一名，则不同同的分配方案案有________种种(用数字作作答)．[答案]36[解析]因为每个乡镇镇至少一名，，所以有一个个乡镇有2名名的情况，假假设A乡镇有2名学学生，则有C42A22＝12(种)情况．所以不同的分分配方案共有有3×12＝36(种)情况6．2010年年广州亚运会会火炬接力传传递路线共分分6段，传递递活动分别由由6名火炬手手完成，如[答案]

96[解析]

先安排最后一棒(A21)，再安排第一棒(A21)，最后安排中间四棒(A44)，∴不同的传递方案有A21A21A44＝96(种)．7．对某种产品品的6件不同同正品和4件件不同次品一一一进行测试试，直至区分分出所有次品品为止．若所所有次品恰好好在第5次测测试时被全部部发现，则这这样的测试方方法有多少种种可能？[解析]恰好在第5次次把次品全部部发现，说明明第5次一定定是最后一个个次品．前4次共检测了了三个次品，，一个正品．．所以可能的的测试方法有有C61C43A44＝576种．．[例1]解解方程或不等等式：(1)3Ax3＝2Ax＋12＋6Ax2；(2)A9x>6A6x－2；[分析]利用排列数、、组合数的定定义及公式求求解，注意定定义中m≤n条件的应用．．[点评]在解有关排列列数、组合数数的方程或不不等式时，必必须熟练掌握握排列数、组组合数公式的的两种形式．．注意Anm(Cnm)中的n必须为正整数数，m为非负整数，，且n≥m.由此求出方方程或不等式式的解后，要要进行检验，，把不符合要要求的解舍去去．(1)求值Cn5－n＋Cn＋19－n(2)证明恒恒等式Cn－1m＋Cn－2m＋…＋Cm＋1m＋Cmm＝Cnm＋1.∵n∈N∴n＝4或5.当n＝4时，原式式＝C41＋C55＝5.当n＝5时，原式式＝C50＋C64＝16.(2)证明：：左边＝Cmm＋Cm＋1m＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋1m＋1＋Cm＋1m)＋Cm＋2m＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝(Cm＋2m＋1＋Cm＋2m)＋…＋Cn－2m＋Cn－1m＝……＝(Cn－2m＋1＋Cn－2m)＋Cn－1m＝Cn－1m＋1＋Cn－1m＝Cnm＋1＝右边.[例2]六六人按下列要要求站一横排排，分别有多多少种不同的的站法？(1)甲不站站两端；(2)甲、乙乙必须相邻；；(3)甲、乙乙不相邻；(4)甲、乙乙之间间隔两两人；(5)甲、乙乙站在两端；；(6)甲不站站左端，乙不不站右端．[分析]本题主要考查查有限制条件件的排列应用用题的解法及及分类讨论的的思想和分析析问题、解决决问题的能力力．[解析](1)方法一一要使甲不不站在两端，，可先让甲在在中间4个位位置上任选1个，有A41种站法，然后后其余5人在在另外5个位位置上作全排排列有A55种站法，根据据分步乘法计计数原理，共共有站法：A41·A55＝480(种种)．方法二由于于甲不站两端端，这两个位位置只能从其其余5个人中中选2个人站站，有A52种站法，然后后中间4人有有A44种站法，根据据分步乘法计计数原理，共共有站法：A52·A44＝480(种种)．方法三若对对甲没有限制制条件共有A66种站法，甲在在两端共有2A55种站法，从总总数中减去这这两种情况的的排列数，即即共有站法：：A66－2A55＝480(种种)．(2)方法一一先把甲、、乙作为一个个“整体”，看作一个人人，有A55种站法，再把把甲、乙进行行全排列，有有A22种站法，根据据分步乘法计计数原理，共共有A55·A22＝240(种种)站法．方法二先把把甲、乙以外外的4个人作作全排列，有有A44种站法，再再在5个空档档中选一个供供甲、乙放入入，有A51种方法，最后后让甲、乙全全排列，有A22种方法，共有有A44·A51·A22＝240(种种)．(3)因为甲甲、乙不相邻邻，中间有隔隔档，可用““插空法”，，第一步先让让甲、乙以外外的4个人站站队，有A44种；第二步再再将甲、乙排排在4人形成成的5个空档档(含两端)中，有A52种，故共有站站法为A44·A52＝480(种种)．也可用“间接法”，6个人全排排列有A66种站法，由(2)知甲、、乙相邻有A55·A22＝240种站站法，所以不不相邻的站法法有A66－A55·A22＝720－240＝480(种)．．(4)方法一一先将甲、、乙以外的4个人作全排排列，有A44种，然后将甲甲、乙按条件件插入站队，，有3A22种，故共有A44·(3A22)＝144(种)站法．．方法二先从从甲、乙以外外的4个人中中任选2人排排在甲、乙之之间的两个位位置上，有A42种，然后把甲甲、乙及中间间2人看作一一个“大”元素与余下2人作全排列列有A33种方法，最后后对甲、乙进进行排列，有有A22种方法，故共共有A42·A33·A22＝144(种种)站法．(5)方法一一首先考虑虑特殊元素，，甲、乙先站站两端，有A22种，再让其他他4人在中间间位置作全排排列，有A44种，根据分步步乘法计数原原理，共有A22·A44＝48(种种)站法．方法二首先先考虑两端两两个特殊位置置，甲、乙乙去站，有A22种站法，然后后考虑中间4个位置，由由剩下的4人人去站，有A44种站法，由分分步乘法计数数原理共有A22·A44＝48(种)站法．(6)方法一一甲在左端端的站法有A55种，乙在右端端的站法有A55种，且甲在左左端而乙在右右端的站法有有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种种)站法．方法二以元元素甲分类可可分为两类：：①甲站右端有A55种，②甲在中间4个个位置之一，，而乙不在右右端有A41·A41·A44种，故共有A55＋A41·A41·A44＝504(种种)站法．[点评]排列问题本质质就是“元素素”占“位子子”问题，有限制制条件的排列列问题的限制制主要表现在在：某些元素素“排”或“不排”在哪个位子上上，某些元素素“相邻”或“不相邻”．对于这类问题题在分析时，，主要按“优先”原则，即优先先安排特殊元元素或优先满满足特殊位子子，如本题(1)中的方方法一、方法法二．对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对“不相邻”问题可用“插空法”，如本题(2)与(3)．当正面求求解较困难时时，也可用“间接法”，如本题(6)．(2011··江苏南京一一模)有5个个同学排队照照相，求：(1)甲、乙乙2个同学必必须相邻的排排法有多少种种？(2)甲、乙乙、丙3个同同学互不相邻邻的排法有多多少种？(3)乙不能能站在甲前面面，丙不能站站在乙前面的的排法有多少少种？(4)甲不站站在中间位置置，乙不站在在两端两个位位置的排法有有多少种？[分析]本题是有限制制条件的排列列问题，它们们分别属于相相邻问题、不不相邻问题、、顺序一定问问题、在与不不在问题等模模型，应采取取相应的捆绑绑法、插空法法、直接法、、间接法、排排除法等求解解．[解析](1)这是典典型的相邻问问题，采用捆捆绑法．先排排甲、乙，有有A22种方法，再与与其他3名同同学排列，共共有A22·A44＝48种不同同排法；(2)这是不不相邻问题，，采用插空法法，先排其余余的2名同学学，有A22种排法，出现现3个空，将将甲、乙、丙丙插空，所以以共有A22·A33＝12种排法法．(3)这是顺顺序一定问题题，由于乙不不能站在甲前前面，丙不不能站在乙前前面，故3人人只能按甲、、乙、丙这一一种顺序排列列．方法一：5人人的全排列共共有A55种，甲、乙、、丙3人全排排列有A33种，而3人按按甲、乙、丙丙顺序排列是是全排列中的的一种，所以以共有 ＝20种排法．．方法二：采用用插空法，先先排甲、乙、、丙3人，只只有一种排法法，然后插入入1人到甲、、乙、丙中，，有4种插法法，再插入1人，有5种种插法，故故共有4×5＝20种排排法．(4)方法一一：(直接法法)若甲排在在了两端的两两个位置之一一，甲有A21种，乙有A31种，其余3人人有A33种，所以共有有A21·A31·A33种；若甲排在在了第2和第第4两个位置置中的一个，，有A21种，这时乙有有A21种，其余3人人有A33种，所以一共共有A21·A21·A33种，因此符合合要求的一共共有A21·A31·A33＋A21·A21·A33＝60种排法法．方法二：(间间接法)5个个人全排列有有A55种，其中甲站站在中间时有有A44种，乙站在两两端时有2A44种，且甲站中中间同时乙在在两端的有2A33种，所以一共共有A55－A44－2A44＋2A33＝60种排法法．[点评]对于相邻问题题，可以先将将这些要求相相邻的元素作作为一个元素素与其他元素素进行排列，，同时要考虑虑相邻元素的的内部排列，，这称为“捆绑法”；对于不相邻邻问题，可先先排其他元素素，然后将这这些要求不相相邻的元素插插入空档，这这称为“插空法”；对于顺序一一定的排列问问题，可先将将全部元素进进行全排列，，再除以要求求顺序一定的的元素之间的的全排列数.[例3]某某旅游团要从从8个风景点点中选出两个个风景点作为为当天的游览览地，满足下下面条件的选选法各有多少少种？(1)甲、乙乙两个风景点点至少选一个个；(2)甲、乙乙两个风景点点至多选一个个；(3)甲、乙乙两个风景点点必须选一个个且只能选一一个．[解析](1)解法一一甲、乙至至少选一个有有两种情况：：甲、乙都选选有C22种，，或或者者甲甲、、乙乙两两个个中中只只选选一一个个有有C21C61种，，所所以以至至少少选选一一个个的的情情况况有有：：C22＋解法二甲、乙至少有一个可看成所有选法种数C82减去甲、乙都不选的种数C62，所以甲、乙至少选一个的种数为：C82－C62＝28－15＝13.(2)解解法法一一甲甲、、乙乙至至多多选选一一个个有有两两种种情情况况：：甲甲、、乙乙都都不不选选有有C62种选选法法或或者者甲甲、、乙乙两两个个中中只只选选一一个个，，有有C21C61，所所以以甲甲、、乙乙至至多多选选一一个个的的种种数数为为：：C62＋C21C61＝15＋＋12＝＝27.解法法二二甲甲、、乙乙至至多多选选一一个个可可看看成成所所有有选选法法种种数数C82减去去甲甲、、乙乙都都选选的的种种数数C22，所所以以甲甲、、乙乙至至多多选选一一个个的的种种数数为为：：C82－C22＝28－－1＝＝27.(3)甲甲、、乙乙必必须须选选一一个个且且只只能能选选一一个个的的种种数数为为：：C21C61＝12.[点点评评]对于于从从正正面面考考虑虑情情况况较较多多的的问问题题可可以以先先求求出出没没有有条条件件限限制制的的组组合合数数，，再再减减去去不不符符合合条条件件的的组组合合数数，，这这样样使使得得计计算算较较为为简简单单，，这这种种方方法法是是我我们们平平时时所所说说的的从从反反面面考考虑虑问问题题．．这这种种方方法法对对于于元元素素较较多多的的组组合合数数会会非非常常有有效效．．从7名名男男生生和和5名名女女生生中中选选取取5人人，，分分别别符符合合下下列列条条件件的的选选法法总总数数有有多多少少种种？？(1)A，B必须须当当选选；；(2)A，B必不不当当选选；；(3)A，B不全全当当选选；；(4)至至少少有有2名名女女生生当当选选；；(5)选选取取3名名男男生生和和2名名女女生生分分别别担担任任班班长长、、体体育育委委员员等等5种种不不同同的的工工作作，，但但体体育育委委员员必必须须由由男男生生担担任任，，班班长长必必须须由由女女生生担担任任．．[分析](1)(2)(3)属属于组合合问题，，可用直直接法，，(4)属于组组合问题题，可用用间接法法，(5)属于于先选后后排问题题，应分分步完成成．[解析](1)由由于A，B必须当选选，那么么从剩下下的10人中选选取3人人即可，，∴C103＝120种．(2)从从除去A，B两人的10人中中选5人人即可，，∴有C105＝252种．(3)全全部选法法有C125种，A，B全当选有有C103种，故A，B不全当选选有C125－C103＝672种．(4)注注意到““至少有有2名女女生”的的反面是是只有一一名女生生或没有有女生，，故可用用间接法法进行．．∴有C125－C51·C74－C75＝596种选法法．(5)分分三步进进行：第一步：：选1男男1女分分别担任任两个职职务为C71·C51；第二步：：选2男男1女补补足5人人有C62·C41种；第三步：：为这3人安排排工作有有A33.由分步乘乘法计数数原理共共有C71·C51·C62·C41·A33＝12600种种选法．．[点评]在解组合合问题时时，常遇遇到至多多、至少少问题，，此时可可考虑用用间接法法求解以以减少运运算量．．如果同同一个问问题涉及及排列组组合问题题应注意意先选后后排的原原则.[例4]按下下列要求求分配6本不同同的书，，各有多多少种不不同的分分配方式式？(1)分分成三份份，1份份1本，，1份2本，1份3本本；(2)甲甲、乙、、丙三人人中，一一人得1本，一一人得2本，一一人得3本；(3)平平均分成成三份，，每份2本；(4)平平均分配配给甲、、乙、丙丙三人，，每人2本；(5)分成成三份份，1份4本，，另外外两份份每份份1本本；(6)甲、、乙、、丙三三人中中，一一人得得4本本，另另外两两人每每人得得1本本；(7)甲得得1本本，乙乙得1本，，丙得得4本本．[解析析]这是一一个分分配问问题，，解题题的关关键是是搞清清事件件是否否与顺顺序有有关，，对于于平均均分组组问题题更要要注意意顺序序，避避免计计数的的重复复或遗遗漏．．(1)无序序不均均匀分分组问问题．．先选选1本本有C61种选法法，再再从余余下的的5本本中选选2本本有C52种选法法；最最后余余下3本全全选有有C33种方法法．故故共有有C61C52C33＝60种．．(2)有序序不均均匀分分组问问题．．由于于甲、、乙、、丙是是不同同的三三人，，在第第(1)题题基础础上，，还应应考虑虑再分分配，，共有有C61C52C33A33＝360种种．(3)无序序均匀匀分组组问题题．先先分三三步，，则应应是C62C42C22种方法法，但但是这这里出出现了了重复复．不不妨记记6本本书为为A、B、C、D、E、F，若第第一步步取了了AB，第二二步取取了CD，第三三步取取了EF，记该该种分分法为为(AB，CD，EF)，则则C62C42C22种分法法中还还有(AB、EF、CD)、(CD、AB、EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而而这A33种情况仅是是AB、CD、EF的顺序不同同，因此只只能作为一一种分法，，故分配方方式有＝＝15种种．(7)直接接分配问题题．甲选1本有C61种方法，乙乙从余下5本中选1本有C51种方法，余余下4本留留给丙有C44种方法．共共有C61C51C44＝30种．．[点评]均匀分组与与不均匀分分组、无序序分组与有有序分组是是组合问题题的常见题题型．解决决此类问题题的关键是是正确判断断分组是均均匀分组还还是不均匀匀分组，有4个不同同的小球，，4个不同同的盒子，，现要把球球全部放进进盒子内．．(1)恰有有1个盒子子不放球，，共有多少少种方法？？(2)恰有有2个盒子子不放球，，共有多少少种方法？？[分析]恰有1个空空盒，说明明必定有1个盒子内内要放入2个球，先先分组再排排列计算.4个球放放在2个盒盒子内要注注意分类计计数．[解析](1)确定定1个空盒盒有C41种方法；选选2个球捆捆在一起有有C42种方法；把捆在一起起的2个小小球看成“一个”整体，则意意味着将3个球分别别放入3个个盒子内，，有A33种方法．故共有C41C42A33＝144种种．[点评]解决排列、、组合综合合题目，一一般是将符符合要求的的元素取出出(组合)或进行分分组，再对对取出的元元素或分好好的组进行行排列．其其中分组时时，要注意意“平均分分组”与“不平均分组组”的差异及分分类的标准准．1．排列数数公式和组组合数公式式都有阶乘乘形式与乘乘积形式，，前者多用用于对含有有字母的式式子进行变变形与论证证，后者多多用于数字字计算，另另外要注意意公式自身身的条件．．2．对排列列、组合的的应用题应应遵循两个个原则：一一是按元素素的性质进进行分类；；二是按事事件发生的的过程进行行分步．3．对于有有附加条件件的排列组组合应用题题，通常从从三个途径径考虑：(1)以元元素为主考考虑，即先