【学海导航】高三数学第一轮总复习 2.5 函数的奇偶性、周期性课件

第二章函数1考点搜索●奇函数、偶函数的概念●周期函数●判断函数的奇偶性的一般方法●函数奇偶性的应用●奇偶性、周期性与单调性在不等式中的运用2.5函数的奇偶性、周期性2高考猜想函数的奇偶性与周期性是高考常考内容之一.可能单独考查，如判断奇偶性、奇偶性的应用，由解析式求最小正周期，由最小正周期确定解析式中相关字母的值及周期性的应用等，也可能与函数的其他性质综合考查；考试题型可能是客观题和基础题，也可能是难度较大的综合题.3

一、奇(偶)函数的定义及图象特征1.若f(x)的定义域①_____________，且f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),则函数f(x)叫做②______(或③_______).2.奇函数的图象关于④_____对称，偶函数的图象关于⑤_____对称，反之亦然.

二、奇(偶)函数的性质1.若f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=⑥____.关于原点对称

偶函数奇函数原点y轴04

2.若f(x)为偶函数，则f(x)=⑦_______，反之亦然.3.在定义域的公共部分，两奇函数的积(或商)为⑧____函数；两偶函数的积(或商)为⑨____函数；一奇一偶函数的积(或商)为⑩____函数；两奇函数(或两偶函数)的和、差为11____函数(或12____函数).

三、函数的周期性f(|x|)偶偶奇奇奇51.如果存在一个非零常数T，使得对于y=f(x)定义域内的每一个x值13_____________都有成立，那么y=f(x)叫做周期函数，T叫做y=f(x)的一个周期，nT(n∈Z)均是该函数的周期，我们把周期中的14__________叫做函数的最小正周期.2.若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)，其中a＞0，则f(x)的最小正周期为15___.f(x+T)=f(x)最小正数2a6

盘点指南：①关于原点对称；②偶函数；③奇函数；④原点；⑤y轴；⑥0;⑦f(|x|);⑧偶；⑨偶；⑩奇；11奇；12偶；13f(x+T)=f(x);14最小正数；152a7

1.若是奇函数，则a=___.

解法1：f(-x)=-f(x)故a=.

解法2：f(-1)+f(1)=0a=.8

2.若函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)，则α-θ的值是____.

解：函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］为偶函数，其中θ∈(0,π)2α-5π+3α=0,θ=kπ+(k∈Z)α=π,θ=α-θ=.9

3.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5,则f［f(5)］=_____.

解：由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x).所以f(5)=f(1)=-5，则f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.101.判断断下列函数数的奇偶性性：(1)f(x)=(x-1)·;(2)f(x)=;题型1函数奇偶性性的判断第一课时11(3)f(x)=;(4)f(x)=;(5)f(x)=;(6)f(x)=解：(1)≥0，得定定义域为［［-1，1)，关于于原点不对对称，故f(x)为非奇非非偶函数.12(2)由得得x∈(-1，这时，f(x)=.显然，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(3)当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);当x＞0时，-x＜0，则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).综上，f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.13(4)由x2=1x=±1.此时，f(x)=0，x=±1.所以f(x)既是奇函数数又是偶函函数.(5)>|x|≥-x+x>0f(x)=loga(+x)的定义域是是R.又f(-x)+f(x)=loga［-x］+loga(+x)=0,所以f(x)=loga(+x)是奇函数.(6)因为x=时，1+sinx+cosx=2;x=-时，1+sinx+cosx=0，14所以f(x)=的定定义义域域不不对对称称，，故f(x)=是非非奇奇非非偶偶函函数数.点评评：：利用用定定义义法法判判断断函函数数的的奇奇偶偶性性的的要要点点是是：：①①判判断断定定义义域域是是不不是是关关于于原原点点对对称称.若不不关关于于原原点点对对称称，，则则函函数数是是非非奇奇非非偶偶函函数数；；②②比比较较f(-x)与f(x)是相相等等还还是是相相反反关关系系，，有有些些函函数数有有时时须须化化简简后后才才可可判判断断.注意意还还有有一一类类函函数数既既是是奇奇函函数数，，也也是是偶偶函函数数，，如如第第(4)小题题中中的的函函数数.15判断断下下列列函函数数的的奇奇偶偶性性：：(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)f(x)=.解：：(1)函数数的的定定义义域域为为(-∞∞,-1)∪∪(1,+∞∞)，且f(x)+f(-x)==0，所以以f(-x)=-f(x)，所所以以f(x)为奇奇函函数数.16(2)函数数f(x)的定定义义域域为为(-∞∞，0)∪∪(0，+∞∞)，f(-x)=所以f(x)为偶函数数，(3)因为f(x)的定义域域为R，且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数数.(4)f(x)的定义域域为{1}，关于原原点不对对称，所所以f(x)是非奇非非偶函数数.172.已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab≠0)，若f(5)=5，则f(-5)=___.解：由f(x)=ax3+bsinx+2，得f(x)-2=ax3+bsinx为奇函数数，又f(5)-2=3，所以f(-5)-2=-3，即得f(-5)=-1.点评：定义域为为R的非奇非非偶函数数f(x)可以表示示为一个个奇函数数g(x)和一个偶偶函数h(x)的和.在已知f(a)=g(a)+h(a)的情况下下，则f(-a)=-g(a)+h(a)，可得出出f(-a)=2h(a)-f(a).题型2利用函数数的奇偶偶性求函函数值18已知函数数y=f(x)-1为奇函数数，且f(x)的最大值值为M，最小值值为N，则有()A.M-N=4B.M-N=2C.M+N=2D.M+N=4解：由条件知知：函数数y=f(x)-1的最大值值为M-1，最小值值为N-1，且M-1+N-1=0，所以M+N=2，故选C.193.已知定义义域为R的函数f(x)=是奇函数数.(1)求a，b的值；(2)若对任意意的t∈R，不等式式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，，求k的取值范范围.题型3函数奇偶偶性质的的应用

解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即，所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)，知，解得a=2.20(2)由(1)知f(x)=，易知f(x)在(-∞，+∞)上为减函函数.又因为为f(x)是奇函函数，，所以f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0等价于于f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(k-2t2)，因为f(x)为减函函数，，由上上式推推得t2-2t＞k-2t2.即对一一切t∈R有3t2-2t-k＞0恒成立立，从而判判别式式Δ=4+12k＜0，解得得k＜-.所以k的取值值范围围为(-∞∞，-).21点评：：若奇函函数在在x=0处有定定义，，则f(0)=0，对定定义域域上任任一非非零自自变量量t，都有有f(-t)=-f(t)，利用用这两两个性性质常常用来来解决决含参参奇函函数问问题.22设定义义在［［-2，2］上的的偶函函数f(x)在区间间［0，2］上单单调递递减，，若f(1-m)＜f(m)，求实实数m的取值值范围围.解:因为f(x)是偶函函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|)，所以不等式式f(1-m)＜f(m)f(|1-m|)＜f(|m|).又当x∈［0，2］时，f(x)是减函数，，所以解解得-1≤m＜.故实数m的取值范围围是［-1，).231.判定函数奇奇偶性时