【绿色通道】高考数学总复习 95数学归纳法课件 新人教A

考纲要求1.了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．热点提示数学归纳法是证明关于自变量n的命题的一种方式，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一．纵观近几年的高考题，数学归纳法不可能在解答题中单独命题，往往与函数、不等式、数列结合命题．预测2011年高考对本节内容的考查为：与数列或不等式结合考查数学归纳法.1．由一系列有限的

得出

的推理方法，通常叫做归纳法．2．对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时，命题成立；证明当n＝k＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做

特殊事例一般结论数学归纳法．3．用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题时，其步骤为：(1)

：证明当n取第一个值n0(n0∈N)时命题成立；(2)

：假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题成立．(3)归纳结论：由(1)(2)得出结论．归纳奠基归纳递推1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验n等于 ()A．1 B．2C．3 D．0解析：边数最小的凸多边形是三角形．答案：C解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k](2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，∴应增乘2(2k＋1)．答案：B3．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．解析：∵由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋64．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋__________.解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π5．对于于n∈N，用数学学归纳法法证明：：1·n＋2·(n－1)＋＋3·(n－2)＋＋…＋(n－1)··2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)．．思路分析析：按数学归归纳法的的证明步步骤．【例2】已知函函数f(x)＝x－sinx，数列列{an}满足足：0<a1<1，，an＋1＝f(an)，n＝1,2,3，，…证明：：0<an＋1<an<1.思路分分析：：要证的的不等等式与与自然然数n有关，，故可可用数数学归归纳法法证明明．解：先证0<an<1.(1)当n＝1时时，已已知0<a1<1，，即n＝1时时，不不等式式成立立．(2)假设设n＝k(k∈N*)时，，不等等式成成立，，即0<ak<1.又∵f′(x)＝1－cosx>0(0<x<1)，∴函数数f(x)在(0,1)上递递增，，∴由0<ak<1知知，f(0)<f(ak)<f(1)．又ak＋1＝f(ak)，∴0－－sin0<ak＋1<1－－sin1<1，∴0<ak＋1<1.∴n＝k＋1时时，不不等式式成立立．又∵0<an<1时时，an＋1－an＝f(an)－an＝an－sinan－an＝－sinan<0，，∴an＋1<an，综上上所述述0<an＋1<an<1.用数学学归纳纳法证证明不不等式式的关关键是是由n＝k成立得得n＝k＋1成成立，，主要要方法法有：：①放缩法法；②利用基基本不不等式式法；；③作差比比较法法等.【例3】是否存存在正正整数数m，使得得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对对任意意自然然数n都能被被m整除，，若存存在，，求出出最大大的m的值，，并证证明你你的结结论，，若不不存在在说明明理由由．解：由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得得，f(1)＝36.f(2)＝3×36，，f(3)＝10××36，f(4)＝34××36，由由此猜猜想：：m＝36.下面用用数学学归纳纳证明明：(1)当n＝1时时，显显然成成立，，(2)假设设n＝k时，f(k)能被被36整除除，即即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能能被36整整除；；当n＝k＋1时时[2(k＋1)＋7]··3k＋1＋9＝＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是是2的的倍数数，故故18(3k－1－1)能被被36整除除，这这就说说，当当n＝k＋1时时，f(n)也能能被36整整除．．由(1)(2)可知知对一一切正正整数数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能能被36整整除，，m的最大大值为为36.本题解解决的的关键键是通通过n的取特特殊值值猜想想这样样的正正整数数m存在，然后后利用数学学归纳法加加以证明．．用数学归归纳推证n＝k＋1成立时时，关键是是掌握加一一个数与减减一个数的的恒等式变变形，将n＝k＋1的形式式用n＝k时的形式表表示.变式迁移3试证：当n∈N时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．．证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题题显然成立立．(2)假设设当n＝k(k∈N，k≥1)时，，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．．当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－－8(k＋1)－9，＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)∴n＝k＋1时命题题也成立．．根据(1)、(2)可知，对对于任意n∈N，命题都成成立．证法二：(1)当n＝1时，f(1)＝64命题显然成成立．(2)假设设当n＝k(k∈N，k≥1)时，，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．．由归纳假设设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到到f(k＋1)中中得得f(k＋1)＝＝9(64m＋8k＋9)－－8(k＋1)－－9＝64(9m＋k＋1)∴n＝k＋1时时命命题题也也成成立立．．根据据(1)、、(2)知知，，对对于于任任意意n∈N，命命题题都都成成立立．．变式式迁迁移移4设数数列列{an}的的前前n项和和为为Sn，且且方方程程x2－anx－an＝0有有一一个个根根是是Sn－1，，n＝1,2,3，，……(1)求求a1，a2；(2)求求{an}的的通通项项公公式式．．下面面用用数数学学归归纳纳法法证证明明这这个个结结论论．．①n＝1时时已已知知结结论论成成立立．．数学学归归纳纳法法是是用用来来证证明明与与正正整整数数n有关关的的数数学学命命题题的的一一种种常常用用方方法法，，应应用用时时应应注注意意以以下下三三点点：：1．验证证是是基基础础数学学归归纳纳法法的的原原理理表表明明：：第第一一个个步步骤骤是是要要找找一一个个数数n0，这这个个n0就是是要要证证明明的的命命题题对对象象的的最最小小自自然然数数，，这这个个自自然然数数并并不不一一定定都都是是““1””，，因因此此““找找准准起起点点，，奠奠基基要要稳稳””是是正正确确运运用用数数学学归归纳纳法法第第一一个个要要注注意意的的问问题题．．2．．递递推推乃乃关关键键数学归纳法的的实质在于递递推，所以从从“k”到“k＋1”的过程程，必须把归归纳假设“n＝k”作为条件来来导出“n＝k＋1”时的命命题，在推导导过程中，要要把归纳假设设用上一次或或几次．3．寻找递推推关系(1)在第一一步验证时，，不妨多计算算几次，并争争取正确写出出来，这样对对发现递推关关系是有帮助助的．